大学数学高数微积分平面点集与多元函数课堂讲义

1、大学数学高数微积分平面点集与多元函数课堂讲义1.平面点集的一些基本概念坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平( ,) ( ,).Ex yx yP满满足足条条件件对 与平面上所有点之间建立起了一一对应.( , )x y在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数 义域是坐标平面上的点集, 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 面点集, 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 平面点集 记作后退 前进 目录 退出由于二元函数的定因此在讨论二元函数例如： (i) 全全平平面面: : 2R( ,)|,.(1)x yxy222(ii)( ,).Cx yxyr圆

2、圆: :(2)(iii)( ,),Sx yaxb cyd矩矩形形: :(3)00(iv)(,): A xy 点点的的邻邻域域00( ,)|,|()x yxxyy 与与方方形形 . . , , .Sa bc d也也常常记记作作：22200( ,)()()()x yxxyy 圆圆形形1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 CxyOr(a) 圆 C SxyOabcd(b)矩形 S A xyO(a) 圆邻域 A xyO(b) 方邻域 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一因此通常用“点 A 的 邻

3、 并用记号 或 来表示. ( ; )U A ( )U A点 A 的空心邻域是指:22200( ,)0()()()x yxxyy 圆圆0000( ,) |,|,( , )(,) (),x yxxyyx yxy 方方或并用记号 ()( ;)()UAUA 或或 来表示. 域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域, 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 方邻域之内(反之亦然), 00( ,) 0|, 0|.x yxxyy 注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出2.点和点集之间的关系以下三种关系之一 : 2RA 2RE 任意一点 与任意一个点集 之间

4、必有 是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为(i) 内点若0,( ; ),U AE 使使则称点 A E 的内部, 记作 int E. 错在何处? )1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 (ii) 外点若 0,( ; ),U AE 使使则称 点 A 是 E 的外点；c( ;)( ;)U AEU AE 且且0, (iii) 界点 若 恒有 c2R EE ( 其中 ), 则称点 A 是 E 的界点; .E 的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作注 E 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E; E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 并

5、请注意: 称为 E 的外部. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 由 E 的全体外点所构成的集合由 E EE cE只有当时, E 的外部与 才是两个相同的集合. 图 16 3xyO1222( ,)14 . (4)Dx yxy例1 设平面点集（见图 16 3）满足 的一切点也224xy 221xy 满足 的一切点是 D 的界点, 它们都属2214xy满足 的一切点都是 D 的界点, 但它们都不属于 D.1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 是 D 的内点; 于D; 点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分的. 此外，还可

6、按 “疏-密” 来区分，是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点 若在点 A 的任何空心邻域()UA内都 含有 E 中的点，注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 ()U A内都含有 E 中的无穷多个点”. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 即在点 A 的近旁则称点 A 是点集 E 的聚点d();EE 或或作 dEE 又称 为 E 的闭包, 记作 .E例如, 对于例1 中的点集 D, d22( , ) 14.Dx yxyD其中满足 224xy 的那些聚点不属于D, 而其余 所有聚点都

7、属于 D.(ii) 孤立点 若点 AE , 但不是 E 的聚点（即 有某 0, 使得 ( ;),UAE 则称点 A 是 E 的孤立点. 注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 它的导集与闭包同为为聚点; 例2 设点集 ( , ),.Ep qp q 为任意整数为任意整数 显然, E 中所有点 ( p, q ) 全为 E 的孤立点; 并有 d, int,.EEEE 3. 一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集. 注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必 1平面点集与多

8、元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点. E 为闭集. 在前面列举的点集中, 闭集若 E 的所有聚点都属于 E (),EE 即即则称 E 为闭集. 这时也称 222( ,)Cx yxyr是是开开集集，( ,),Sx yaxb cyd是是闭闭集集2R( ,)|,x yxy 22( ,)14Dx yxy既既不不是是开开集集又又不不是是闭闭集集. .开集 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 d(),E 即即若 E 没有聚点既既是是

9、开开集集又又是是闭闭集集，则称 E 为开域. 闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合, 统称为区域. 不难证明: 闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域. 开域若非空开集 E 具有连通性, 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 在平面点集中, 只有 R2 与 是既开又闭的. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 即 E 中任意两 简单地说, 开域就是非空连通开集.它是 I、 III 两象限之并集. 不具有连通性, 0,r 有界点集对于平面点集 E, 若使得 ( ; ),EU O r 其中 O 是坐标原点(

10、也可以是其他固定点), 为有界点集. 前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 与 (5) 是无界集. 是闭域, ( ,)|0 ,(5)Gx yxy上页诸例中, C 是开域, S 是闭域, R2 既是开域又1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 又如虽然它是开集, 但因否则就为无界点集 (请具体写出定义). D 是区域 (既不是开域又不是闭域). 所以它既不是开域, 也不是区域. 则称 E 此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映. 所谓点集 E 的直径, 就是 1212,()sup(,),PPEd EPP 其中(P1, P2) 是 P1 (x1,

11、y1) 与 P2 (x2, y2)之间的距 离, 即 22121212(,)()() .P Pxxyy 于是, 当且仅当 d(E) 为有限值时, E为有界点集. E 为有界点集的另一等价说法是: , ,.a bc dE 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 存在矩形区域 例3 证明: 对任何2R ,S S 恒为闭集. 证 如图16 4 所示, S 为为的任一聚点，（即 亦为S0 xS 的界点）. 0 x为此0, 由聚点定义，0(;).yUxS SS 0 x0(; )Ux ( ; )U y y图 16 根据距离的定义, 不难证明如下三角形不等式: 121323(,)

12、(,)(,).P PP PPP 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 0 x设欲证存在的点. 内既有SS( ;)U y 的点, 又有非 S0 x0,xS 为的界点, 即也就证得 S 为闭集 注 类似地可以证明: 对任何点集2dR ,SS 导集导集 亦恒为闭集. ( 留作习题 ) S0(; )U x 内既有的点, 又有非 S 的点. y0( ;)(; ),U yU x 再由为界点的定义, 在 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 由此推知在 的任意性, 所以, 由 SS 0 x0(; )Ux ( ; )U y y图 16 证 下面按循环

13、流程来分别作出证明. dEEE 已知为闭集( 即 ), 欲证E.EEE ,pE pEE为为此此或或是是的的聚聚点点 或或是是的的孤孤立立点点. . dd,pEEEpE 若若， 则则由由得得；EE 从从而而，E于于；dccint()EEEEEEEE 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 反之显然有 .EEE 综合起来, 便证得 int.EEE 而而孤孤立立点点必必属属2R .E 例4 设 试证 E 为闭集的充要条件是： cint().cEEEEE 或或.EEE 故故 EEE ，cint().cEE 已知 欲证 为此 c,pEpE 则则外点, ,0,( ; ).U p

14、E 按按定定义义使使 c( ; ),U pE ccccint().int().EEEE有这就证得有这就证得反之显然 ccdint(),.EEEEE 已已知知欲欲证证 c(,pEpE 据据条条件件可可证证若若不不然然从从而而由由d,E c 0,( ; ),U pE 故故使使1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 ),pE与与 为为 的的聚聚点点相相矛矛盾盾dd.EEEEE 故故这这就就证证得得 从而 cint(),pE 条条件件推推知知,EEpE 而而由由故故必必为为的的ccc,int().pEEE 故故是是的的内内点点 即即p 为为此此注 此例指出了如下两个重要结论

15、: (i) 闭集也可用“EEE ”来定义 ( 只是使用 起来一般不如“dEEE ”方便, 有许多便于应用的性质 )(ii) 闭集与开集具有对偶性质集; 过讨论 来认识 E. cE1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 利用此性质, 有时可以通 开集的余集为闭集. 闭集的余集为开 因为有关聚点 例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的? (i) 既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是 “非空连通闭集”；D(ii) 要判别一个点集是否是闭域, 只要看其去除 边界后所得的是否为一开域, 即 DDD“若若为为开开域域, ,则则必必为为闭闭域域” . . 答 (i) 例

16、如取( ,)|0 ,Sx yxy 这是一个非空连 ),SGG 坐标轴) 的并集 (即从而 G 不是开域, 但因它是( ,)|0Gx yxy与其边界 (二1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 故 S 不是闭域 (不符合闭域的定义). 通闭集. E 为一开域, 据定义 F 则为闭域；,DEEF D故故不不是是闭闭域域，1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 (a)中的点集为 D; D(a) .FEE (c) 中的点集为 F(c)(ii) 如图所示, E(b) (b)中的点集为 ;EDD 易见 然而().DDD 从从而而与与不不一一定定相相同

17、同 定义11. 平面点列的收敛性定义及柯西准则系完备性的几个等价定理, 现在把这些定理推广到 R2, 它们同样是 二元函数极限理论的基础. 2RnP 20RP 设 为一列点, 为一固定点. 00,N ,(; ),nNnNPU P 若若使使当当时时 则称点列 Pn 收敛于点 P0 , 记作 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 R2上的完备性定理 论的基础. 00lim().nnnPPPPn 或或反映实数 构成了一元函数极限理 000(,)(,),nnnPPxyxy当与分别为与时 显然有当与分别为与时 显然有000limlimlim;nnnnnnPPxxyy 且且0

18、(,),nnPP若记若记 同样地有 0limlim0.nnnnPP 由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因 此立即得到下述关于平面点列的收敛原理. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 定理16.1（柯西准则）2RnP 收敛的充要条件是: 0,N ,NnN 使使当当时时 都都有有 (,),N .(6)nnpPPp 证（必要性）0lim,nnPP 设设N ,()NnNnpN 当当也也有有时时, ,00(,),(,).22nnpPPPP 应用三角形不等式, 立刻得到00(,)(,)(,).nn pnn pP PP PPP 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完

19、备性定理 二元函数 n元函数 1,0, 则则由由定定义义恒恒有有 定理16.1（柯西准则）2RnP 收敛的充要条件是: 0,N ,NnN 使使当当时时 都都有有 (,),N .(6)nnpPPp 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 当 (6) 式成立时, 同时有 |(,),n pnnn pxxPP |(,).n pnnn pyyPP 这说明 xn 和 yn 都满足关于数列的柯西准则, 所以它们都收敛. 从而由点列收敛概念, 推知Pn收敛于点 P0(x0, y0). 证（充分性）00lim, lim,nnnnxxyy 设设06,nPEPE 为为的的聚聚点点存存在在

20、各各项项互互异异的的例例0lim.nnPP使得使得 ( 这是一个重要命题, 证明留作习题.) 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 定理16.2（闭域套定理）2. 区域套定理. 设 Dn 是 R2 中的一列闭域, 它满足： 1(i),1, 2,;nnDDn (ii)(), lim0.nnnndd Dd 则存在唯一的点 0,1, 2,.nPDn 图 16 7 nD npD nPnpP 0P证 如图16 7所示, ,1, 2,.nnPDn ,n pnDD由由于于因因此此 ,nn pnPPD 从而有 (,)0,.nn pnPPdn 由柯西准则知道存在20R ,P使使得得

21、 任意取定 n, 对任何正整数 p, 有 .n pn pnPDD 0lim.nnPP 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 任取点列 再令,p 由于 Dn 是闭域, 故必定是闭集, 推论 因此 Dn 的聚点必定属于 Dn , 0lim,1, 2,.npnpPPDn 0P最后证明 的惟一性. 0,1, 2,nPD n 若还有 则由 0000(,)(,)(,)20,nnnPPPPPPdn 0000(,)0,.P PPP 得得到到即即 对上述闭域套 Dn , 0,N ,NnN 当当时时, ,0(; ).nDU P 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数

22、 n元函数 则得注 把 Dn 改为闭集套时, 上面的命题同样成立. E 定理16.3（聚点定理）证 现用闭域套定理来证明. 有界, 故存在一个闭正方形 .1DE 如图 16 8 所示, 把 D1分成四个相同的小正方形, 有一小闭正方形含有 E 中无限多1D2D图16 8 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 若2RE 为有界无限点集, 由于 E则在其中至少个点, 在 中至少有一E2R则个聚点. 把它记为 D2. E1D2D3D图16 8 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 D2 如上法分成四个更小的正方形, 其中又至少有一个小闭正方

23、形D3含如此下去, 得到一个闭正方形序列：123.DDD 很显然, Dn 的边长随着 n 而趋于零. 有 E 的无限多个点. 定理16.3（聚点定理）若2RE 为有界无限点集, 在 中至少有一E2R则个聚点. 推论 最后, 由区域套定理的推论, 0,n 当当充充分分大大时时0(; ).nDU M 又由 Dn 的取法, 知道0(; )U M 中中含有 E 的无限多个点, 任一有界无限点列 2RnP 必存在收敛子列.knP ( 证明可仿照 R 中的相应命题去进行. ) 于是由闭域套定理, 存在一点 0,1, 2,.nMD n 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 这就

24、证得了M0 是 E 的聚点. 定理16.4（有限覆盖定理）注 将本定理中的 D 改设为有界闭集, 而将 改设为一族开集, 此时定理结论依然成立 . 1.niiD ().D 即即盖了 D 12,n 个开域 它们同样覆盖了D, 即 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 设2RD 为一有界闭域 , 为一族开域 , 则则在在中必存在有限它覆qEqE证 (必要性) E 有界 有界, 由聚点定理 ,qE又因的聚点亦为 E 的聚点, 而 E 是 闭集, 所以该聚点必属于 E 2R .E 例7 设试证 E 为有界闭集的充要条是: .E于于E 的任一无穷子集 Eq 必有聚点, 且聚

25、点恒属 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 必有聚点. 证 (充分性) 先证 E 为有界集. 倘若 E 为无界集, 则 存在各项互异的点列,kPE |( ,),1,2,.kkPO Pk k 2R .E 例7 设试证 E 为有界闭集的充要条是: .E于于E 的任一无穷子集 Eq 必有聚点, 且聚点恒属 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 0lim.kkPP 现把 看作 , kPqE由条件 的聚点 (即 ) 必qE0P属于 E, 所以 E 为闭集. 易见kP这个子集无聚点, 这与已知条件相矛盾. 为此设 P0 为 E 的任一聚点, 由

26、聚 点的等价定义, 存在各项互异的点列 使 ,kPE 再证 E 为闭集. 使得 定义2设平面点集 , 若按照某对应法则 f , 2RD 一点 P ( x, y ) 都有惟一确定的实数 z 与之对应 , 则称 f 为定义在 D 上的二元函数R 的一个映射 ), 记作 :R .(7)fD 1. 函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对 R 到 R 的映射是一元函数, R2 到 R 的映 射则是二元函数. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 二元函数应关系. D 中每( 或称 f 为D 到 与一元函数相类似, 称 D 为 f 的定义域; 而称 ( )( , )zf

27、Pzf x y或或 为 f 在点 P 的函数值; 值域, 记作 ()R.f D 为 f 的自变量, 而把 z 称为因变量. 也可记作 ( ,),( ,);zf x yx yD 或点函数形式 ( ),.zf PPD1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 全体函数值的集合为 f 的 通常把 P 的坐标 x 与 y 称在 xOy 平面上的投影. 例8 函数25zxy的图像是 R3 中的一个平面, 其定义域是 R2, 值域是 R . 当把 和它所对应的 一起组成 ( , )x yD ( , )zf x y三维数组 ( x, y, z ) 时, 3( , )|( ,),( ,

28、)RSx y zzf x yx yD就是二元函数 f 的图像. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 通常该图像是一空间曲面, f 的定义域 D 是该曲面三维点集 例9 的定义域是 xOy 平面上的 221()zxy 单位圆域 , 值域为区间 0, 1 , 22( ,)|1x yxy它的图像是以原点为中心的单位球面的上半部分 ( 图16 9 ). xyzO1图16 9 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 例10 是定义在 R2 上的函数, 它的图像是过 zxy原点的双曲抛物面 ( 图 16 10 ). xyzO图16 10 1平面点

29、集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 图16 11 xyzOz1 z2 例11 是定义在 R2 上的函数, 值域 22zxy是全体非负整数, 它的图像示于图 16 11. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 2. 若二元函数的值域 是有界数集, 则称函数 ()f Df在 D上为一有界函数 ( 如例9 中的函数 ) . ()f Df若 是无界数集, 则称函数在 D上为一无界 函数 ( 如例8、10、11 中的函数 ). 与一元函数类似地, 设 2R ,D 则有 ,lim().kkkfDPDf P 在在上上无无界界使使1平面点集与多元函数平面点

30、集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 否则,(zc c ( , ),zf x y 解 用 为一系列常数 ) 去截曲面 得等高线方程 22222222()().xyxycxy xyc xyxy 或或例12 设函数 ( 此函数在以后还有特殊用处 ) 试用等高线法讨论曲面 ( , )zf x y 的形状. 2222, ( , )(0,0),( , )0,( , )(0,0).xyxyx yf x yxyx y 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 当 0c xOy时, 得 平面上的四条直线 0,0,.xyyxyx 当 0c 时, 由等高线的直角坐标方程难以看出它 的形状. cos ,sin ,xryr 得到22sin44 ,4sin4 .rcrc 或或如图16 12 所示, 族等高线. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 若把它化为极坐标方程, 即令0,1,3,5c 所对应的一 为+1 +1 +1 +1 +3 +5 +3 +5 +3 +5 +3 +5