大学数学高数微积分21Laplace变换课堂讲义

1、一、问题的提出二、Laplace变换的概念三、Laplace变换的存在定理四、周期函数的Laplace变换五、小结 拉普拉（，1749-1827），法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者.拉普拉斯和拉格朗日、勒让德.法国的3L:一、 问题的提出n 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足Fourier变换的条件, 因而不存在Fourier变换.因此, 首先将j(t)乘上单位阶跃函数 u(t), 这样t小于零的部分的函数值就都等于零. 而大家知道在各种函数中, 指数函数 e-bt (b0) 的上升速度是最快的了, 因而 e-bt下降的速度也是最快的. 几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t

2、)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt的Fourier变换都存在.二、Laplace变换的概念n对函数 取Fourier变换, 可得0( )( )edstF sf tt - - j( )( ) ( )eedttGt u ttb b b b j j - - - - (j)00( )ed( )edtstf ttf ttbb-j,( )( ) ( ).sf tt u tb b j j ( ),jsF sGb bb b- - 其中若再设则得 ( ) ( )e0tt u tb bj jb b- - 定义:n设函数 当 时有定义, 而且积分0( )e dstf tt - - 在s的某一域内收敛,

3、 则由此积分所确定的函数可写为0( )( )e dstFf tt - - s( )f t0t (s为一个复参量)函数( )f t的Laplace变换式二、Laplace变换的概念n记作: ( )F s的Laplace变换. . .-1( )( )f tF s L ( ) ( ),F sf t L( )f t ( )F s若 是 的Laplace变换,则称( )f t( )f t ( )F s为 的Laplace逆变换.记作:称为二、Laplace变换的概念00( )10tu tt ，求单位阶跃函数的Laplace变换.根据Laplace变换的定义, 有0 ( )edstu tt- - L这个积

4、分在 时收敛, 而且有 Re0s 0011edeststtss- - - 1 ( )(Re( )0).u tss 所所以以 L( )ktf t e e求指数函数的Laplace变换(k为实数).()00 ( )e ededktsts k tf ttt-L根据 , 有这个积分在 时收敛, 而且有 eded0stF sf tt- - Re sk 1e (Re( ).ktsks k - -所所以以 L()()0011edes k ts k ttsksk - - - - - - - - ( )ktf t- - e e试求指数函数 的Laplace变换.练习:(k为实数)三、Laplace变换的存在定理

5、Laplace变换的存在定理:若函数 f (t) 满足:1)在t 0的任一有限区间上分段连续; 2)当t时, 的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 及 , 使得成立.0M 0c e e( ),0ctf tMt ( )f tn在半平面 上一定存在, 右端的积分在n 上绝对收敛而且一致收敛, 并且在n 的半平面内, 为解析函数.则 的Laplace变换 f t eded0stF sf tt- - 三、Laplace变换的存在定理Re( ) sc Re( ) sc 1Re( ) scc( )F s( )sinf tkt 求正弦函数的Laplace变换.(k为实数)根据 , 有0sinsined

6、stktktt- - L 220esincosstsktkktsk- - 22Re0kssk eded0stF sf tt- - 同理得余弦函数的Laplace变换 22cosRe0sktssk L求周期性三角波且 f(t+2b)=f (t)的Laplace变换.,0( )2,2ttbf tbtbtb - 根据 , 有 eded0stF sf tt- - 0 ( )( )e dstf tf tt - - L24022(1)2( )ed( )ed( )edbbststbkbstkbf ttf ttf tt- - - - - 2(1)20( )edkbstkbkf tt - - 2(1)2(2)2

7、0( )ed(2)edkbbstskbkbf ttfkb -2,tkb 令令 则220e( )edbkbssf - - - 而2200( )e de d(2)e dbbbstststbf ttttb tt- - - - - - 221(1e)bss- - 因此2200 ( )e( )edbkbsstkf tf tt- L2200( )edebstkbskf tt- 221 1e1tanh1e2bsbsbsss- - - - Re( )0s 2201e1ekbsbsk- - - - - 当 时 从而2201 ( )( )e d1 ebstbsf tf tt- - - - - L22211(1e)

8、1ebsbss- - - -根据 , eded0stF sf tt- - 求单位脉冲函数 的Laplace变换.( ) t利用性质: d d0f tttf- ，有 0 ( )( )edstttt - - L 0( )edsttt- - - - ( )edsttt - - - 0e1stt- - 四、周期函数的Laplace变换 e e01 ( )( )e dRe01TstsTf tf tts- - - - - L 设函数 的周期为 ,即 ,当 在一个周期上是分段连续的,则( )f tT ()( )0f tTf tt ( )f t周期函数的Laplace变换公式注意:0 ( )( )edstf

9、tf tt - - L 满足Laplace变换存在定理条件的函数 在 处有界时, 积分( )f t0t 的下限取 或 不会影响其结果.0 0- -证明:函数 在 处有界时, 积分( )f t0t 00( )ed0stf tt - - - 0( )( )edstf tf tt- - - - - L00( )ed ( )stf ttf t - - - L ( ) ( ).f tf t - - LL0 ( )( )edstf tf tt - - L为零故注意:0 ( )( )edstf tf tt- - - - - L 但当 在 处包含脉冲函数时,Laplace变换的积分下限必须明确指出是 还是 ,

10、( )f t0t 0 0- -因为0 ( )( )edstf tf tt - - L00( )e d ( )stf ttf t - - - L00( )ed0stf tt - - - 注意: ( ) ( ).f tf t - - LL故0 ( )( )edstf tf tt - - L 考虑上述情况.将进行Laplace变换的函数 ,当 时有定义扩大为在 及 的任意一个邻域内有定义.( )f t0t 0t 0t 因此0 ( )( )ed .stf tf tt- - - - - L应为注意: ( )0ttf ttu tb bb b b bb b- - - - - e ee e求函数的Laplac

11、e变换. 根据 , 有 eded0stF sf tt- - 0 ( )( )edstf tf tt - - L0e( )e( )edttsttu ttb bb b b b - - - - - - 1sssb bbbbb-()()00( )ededststtttb bb bb b - - - - - - ()()00eeststtsb bb bb bb b- 根据附录,得到求 的Laplace变换.( )sin2 sin3f ttt 222212sin2 sin3 (5 )(1 )sttss L2212(25)(1)sss 22122sin2 sin3 4251ssttss-L根据定义,由欧拉公式有j2j2j3j31sin2 sin3(ee)(ee)4tttttt- - -j5jjj51(eeee)4tttt- - - - - - 从而得2212(25)(1)sss 在附录中没有现成的结果,但是求 的Laplace变换. ( )cossin2btf tbtbt- - - -e e cossinsincoscossin442btbtbtbtbtbt- - - - - - - e ee esin4btbt- - - - e e根据附录可