概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度

1、第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度一、一、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度二、常用连续型分布二、常用连续型分布一、连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度定义定义如果对随机变量如果对随机变量X的分布函数的分布函数),(xF负可积函数负可积函数),(xf使得对任意实数使得对任意实数x有有 xdttfxXPxF,)()(则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量，称称)(xfX的的概率密度函概率密度函数数，简称为简称为概率密度概率密度或或密度函数密度函数.存在非存在非(1) ; 0)( xf(2) . 1)(dxxf易见概率密度

2、具有下列性质：易见概率密度具有下列性质：注注： 上述性质有明显的几何意义上述性质有明显的几何意义.反之反之，可证可证一个函数若满足上述性质，一个函数若满足上述性质，则该函数则该函数一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数数.Oxy)(xfxA 11. 对一个连续型随机变量对一个连续型随机变量,X若已知其密度函数若已知其密度函数),(xf则概据定义，则概据定义， 可求得其分布函数可求得其分布函数),(xF还可求得还可求得X的取值落在任意区的取值落在任意区间间,(ba上的概率：上的概率： badxxfaFbFbXaP)()()(Oxy)(xfx)(xF

3、Oxy)(xfabXaP b连续型随机变量分布函数的性质：连续型随机变量分布函数的性质：2. 连续型随机变量连续型随机变量X取任一指定值取任一指定值 的概率的概率)(Raa lim0aXxaPaXPx axaxdxxf, 0)(lim0故对连续型随机变量故对连续型随机变量,X有有bXaPbXaPbXaP .bXaP 为为0.3. 若若)(xf在点在点x处连续，处连续，则则)()(xfxF (1)由定义和积分上限函数导数公式即得，由定义和积分上限函数导数公式即得， 由由(1)式得：式得：xxFxxFx )()(lim0)(xfxxxXxPx lim0(2)可将上式理解为：可将上式理解为：X在点在

4、点x的密度的密度),(xf恰好是恰好是X落在区间落在区间,(xxx 上的概率上的概率x 之比的极限之比的极限(比比与区间长度与区间长度较线密度的定义）较线密度的定义）. 由由(2)式，式，若不计高阶无穷小，则若不计高阶无穷小，则有有,)(xxfxxXxP 即，即，X落在小区间落在小区间,(xxx 上的概率近似等于上的概率近似等于.)(xxf 例例1 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为,1, 110,0, 0)(2 xxxxxF求求 (1) 概率概率;7 . 03 . 0 XP(2)X的密度函数的密度函数. .解解 由连续型随机变量分布函数的性质由连续型随机变量分布函数的性质, ,有

5、有(1)3 . 0()7 . 0(7 . 03 . 0FFXP ; 4 . 03 . 07 . 022 (2)X的密度函数为的密度函数为 xxxx1, 010,20, 0., 010,2 其它其它xx)()(xFxf 二 常用的连续型分布（一）、（一）、 均匀分布均匀分布定义定义若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 , 0,1)(abxfbxa 其它其它).,(baU易见，易见，; 0)()1( xf . 1)()2(dxxf记为记为X上服从上服从均匀分布均匀分布，则称则称X在区间在区间),(ba注注：在区间在区间),(ba上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量

6、,X其取值落在其取值落在),(ba中任意等长度的子区间内的概率中任意等长度的子区间内的概率是相同的，是相同的， 且与子区间的和度成正比且与子区间的和度成正比.事实上，事实上，子区间子区间),(),(balcc 任取任取.1)(abldxabdxxflcXcPlcclcc 易求得易求得X的分布函数的分布函数 , 1, 0)(abaxxFax . bxa bx 例例2 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午 7 时起时起, , 每每 15 分钟来一分钟来一班车班车, , 即即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达等时刻有汽车到达此站此站, , 如果乘客到达此站时间如果乘客到

7、达此站时间X是是 7:00 到到 7:30 之之间的均匀随机变量间的均匀随机变量, , 试求他候车时间少于试求他候车时间少于 5 分钟的分钟的概率概率. .解解 以以 7:00 为起点为起点 0, , 以分为单位以分为单位, , 依题意依题意X),30, 0(U 其它其它, 0300,301)(xxf为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟分钟, , 乘客必须在乘客必须在 7:10 到到7:15 之间之间, , 或在或在 7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站, , 故所故所求概率为求概率为30251510 XPXP3130130130251510 dxdx即乘客候车时间少于即

8、乘客候车时间少于5分钟的概率是分钟的概率是 1/3. .指数分布指数分布定义定义若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为 , 0,)(xexf 0 x其中其中, 0 则称则称X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布，简记为简记为).( eX注：注：; 0)()1( xf . 1)()2(dxxf)(xf的几何图形如图的几何图形如图.Ox )(xf注注：指数分布常用来指数分布常用来描述对某一事件发生的等待描述对某一事件发生的等待时间，时间， 例如，例如， 乘客在公交乘客在公交车站等车的时间，车站等车的时间， 电子元件的寿命等，电子元件的寿命等，易求得易求得X的分布的分布 , 0,1)(

9、xexF 0 x其它其它服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X具有具有无记忆性无记忆性，, 0, ts有有因而它在可靠因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用性理论和排队论中有广泛的应用.函数函数即对任意即对任意.|tXPsXtsXP ( )*)()(|sXPsXtsXPsXtsXP sXPtsXP .)(1)(1)(tXPeeesFtsFtsts 若若X表示某一元件的寿命，表示某一元件的寿命， 则则式表明：式表明：( )*已知元件已知元件使用了使用了s小时，小时， 它总共能使用至少它总共能使用至少ts 概率与从开始使用时算起概率与从开始使用时算起率相等，率相等，一性质是指数分布具有广

10、泛应用的重要原因一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.即元件对它使用过即元件对它使用过s小时没有记忆小时没有记忆,t它至少能使用它至少能使用 小时的概小时的概具有这具有这小时的条件小时的条件例例5 某元件的寿命某元件的寿命X服从指数分布服从指数分布, , 已知其参数已知其参数,1000/1 求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时, , 至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率. .解解 由题设知由题设知, ,X的分布函数为的分布函数为.0, 00,1)(1000 xxexFx由此得到由此得到100011000 XPXP.)1000(11 eF各元件的寿命是否超过各

11、元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的小时是独立的, , 用用Y表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数, ,).1 , 3(1 ebY所求概率为所求概率为011 YPYP.1)()1(13310103 eeeC则则正态分布正态分布:定义定义若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为,21)(222)( xexf x其中其中 和和)0( 都是常数，都是常数， 则称则称X服服从参数为从参数为 和和2 的的正态分布正态分布， 记为记为).,(2 NX易见，易见，; 0)()1( xf又利用泊松积分又利用泊松积分.2 dtex参见相关知识点参见相关知识

12、点易证，易证，dxedxxfx 222)(21)()2( xt. 12122 dtet 注注： 正态分布是概率论中最重要的连续型分布，正态分布是概率论中最重要的连续型分布，在十九世纪前叶由高斯加以推广，在十九世纪前叶由高斯加以推广， 故又常称为故又常称为高高斯分布斯分布. 一般来说，一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，而其中每一个因素都不起主导作用，则它服从正态分布则它服从正态分布. 例如，例如，产品的质量指标，产品的质量指标， 元元件的尺寸，件的尺寸，某地区成年男子的身高、体重，某地区成年男子的身高、体重，

13、测量测量误差，误差，射击目标的水平或垂直偏差，射击目标的水平或垂直偏差，信号噪声，信号噪声，农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布.正态分布的图形特征正态分布的图形特征:xo)(xf 21, xx;. 1对对称称曲曲线线关关于于x ;21)(,. 2xfx 取取得得最最大大值值时时当当; 0)(,. 3 xfx时时当当 确定了曲线的位置；确定了曲线的位置； 确定了曲线的陡峭程度确定了曲线的陡峭程度. . 5. 5. 拐点和渐近线拐点和渐近线。;,)(,. 6轴作平移变换轴作平移变换只是沿着只是沿着不变不变图形的形壮图形的形壮的大小时的大小时改变改变当固

14、定当固定xxf.,)(,. 7图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形壮在改变而形壮在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xf标准正态分布：标准正态分布：正态分布当正态分布当1, 0 时称为时称为标准正态分布标准正态分布， 此时，此时，其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用)(x 和和)(x 表示：表示：,21)(22xex xtdtex2221)( 标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于， 任何一个一般的正态分任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.

15、Oxx)( Oxx )(0.51定理定理设设),(2 NX则则).1 , 0( NXY 证明证明 XY的分布函数为的分布函数为 xXPxYP xXP dtetx222)(21 tu)(2122xduexu 所以所以).1 , 0( NXY 标准正态分布表的使用标准正态分布表的使用,21)(22xex dtexxt 2221)( 1. 表中给出了表中给出了0 x时时)(x 的数值，的数值，利用正态分布的对称性利用正态分布的对称性(如下图如下图)，易见有易见有);(1)(xx Oxxx)( x )(2. 若若),1 , 0( NX则则);()(abbXaP 3.若若),(2 NX故故X的分布函数的

16、分布函数;)( xxXPxXPxF bYaPbXaP. ab例例6 设设),4 , 1( NX求求),5(F,6 . 10 XP.2|1| XP解解 这里这里, 1 , 2 故故)2(215 查表得查表得0.9772; 210216 . 16 . 10 XP)5 . 0()3 . 0( )5 . 0(16179. 0 15)5(xPXPF2 152;3094. 0)6915. 01(6179. 0 312|1| XPXP1)1(2)1()1( .6826. 018413. 02 11XP 12例例5解解假设某地区成年男性的身高假设某地区成年男性的身高(单位单位:厘米厘米),69. 7 ,170

17、(2NX求该地区成年男性的身高超过求该地区成年男性的身高超过175厘米的概率厘米的概率 .根据假设根据假设),69. 7 ,170(2NX且且175 X表表示该地区成年男性的身高超过示该地区成年男性的身高超过175厘米厘米 , 可得可得175 XP1751175 XPXP)65. 0(169. 71701751 .2578. 07422. 01 3准则准则设设),(2 NX则则 XP)1()1( ,6826. 01)1(2 同理，同理，22 XP33 XP 11 XP,9544. 0)2()2( ,9974. 0)3()3( 如图，如图，尽管正态随机变量尽管正态随机变量X的取值范围是的取值范围是), ,( 2 3 2 368.26%95.44%99.74%但它的值几乎全部集中在但它的值几乎全部集中在)3,3( 范围的可能性仅占不到此为范围的可能性仅占不到此为0.3%.这在统计学上称为这在统计学上称为 3准则准则 (三倍标准差原则三倍标准差原则).超出这个超出这个 2 3 2 368.26%95.44%99.74%如图，如图，尽管正态随机变量尽管正态随机变量X的取值范围是的取值范围是), ,(例例10格品的概率格品的概率.已