全等三角形培优讲义

1、全等三角形常见辅助线作法1精准诊查【知识导图】三边之和大于等于第三边概念（1稳定性高与三角形有关的线段中线三角形角平分线三角形内角和定理与三角形有关的角三角形的外角性质直角三角形判定多边形及其内角和【导学】全等三角形第一部分：知识点回顾常见辅助线的作法有以下几种：“对折”.1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”-3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线

2、的性质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明-这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.第二部分：例题剖析一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5AC=3贝忡线AD的取值范围是A例2'如图,ABC中，E、F分别在A

3、BAC上，DELDF,D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/BAE.二、截长补短1如图，ABC中，AB=2ACAD平分BAG，且AD=BD求证：CDLACACD求证;AB2、如图，AC/BD,EA,EB分别平分/CAB,/DBACD过点E,=AC+BD3、如图，已知在VABC内,BAC60,C40°,P,Q分别在BQCA±,并且AP,BM别是BAC,ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCDIf,BOBA,AD=CQBD平分ABC,求证：AC180°5、如图在 A

4、BC中，AB> AQ/1=/2,P为AD上任意一点，求证;AB-AC>PB-PCAB应用:如图*伍四也殿筋G9中hAD/BC.A应匙M上一牛动戊-若ZJf册m二血，n_4砺60。，判断W”穗坊厦的关系井证阴祢啊结论BC、平移变换例1AD为4ABC的角平分线，直线MNLAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为Pa,EBC周长记为Fb.求证pb>pa.例2如图，在ABC的边上取两点DE,且BD=CE求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等1如图，已知在Za ABC中，/ B=60°A ABC的角平分线AD,CE相交于点Q求证：OE=OD2、如图， ABC中,

5、AD平分/ BACDGL BC 且平分 BC, DEI AB 于 E, DF，AC 于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b，求 AE、BE 的长.五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/EAF的度数.ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC 120°，以D为顶点做一个 60°，使其两边分别交AB于点M交AC于点N,连接MN贝yAMN的周长为例3设点EAPI EF于点P,F分别在正方形ABCD的边BCCD上滑动且保持/EAF=4&(1) 求证AP=AB（2）若AB=5,求Za

6、ECF的周长°变式练习1、如图所示，正方形ABCD的BC边上有一点E,ZDAE的平分线交CD于F,试用旋转的思想方法说明AE=DF+BE3.( 1)如图 11 一， ADE 中，AE=AD 且/ AED2 ADE / EAD=90 , EC DB 分别平分/ AED / ADE 交AD AE于点C、B,连接BC.请你判断AB AC是否相等，并说明理由；(2)A ADE的位置保持不变，将 ABC绕点A逆时针旋转至图11-2的位置，AD BE相交于0,请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由.【课后作业】1.如图，在ABC中，/ACB=90°,AC=BC直线I经过顶点C,过AB两点分别作I的垂线AEBF,E、F为垂足.(1)当直线I不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF.(2)如图，将直线I绕点C顺时针旋转，使I与底边AB交于点D,请你探究直线I在如下位置时,EFAEBF之间的关系.AD>BDAD-BDAD<BD2 .如图3,RtAABC中，/ACB=90,AC=BCADLCD,BF_LCD,AB交CD于E.求证：DF=CD-AD.3 .如图，已知AC=BC/ACB=90,D为AB上任意一点,AEJ_CD延长线于E,BFJ_CDTF.求证：EF=BF-AE.4 .如图，在ABC中，AC_LB