利用图形的旋转添加辅助线

1、动态几何的探究(一)利用图形的基本运动(旋转)添加辅助线 位育初级中学郑育丽一背景:1 研究的问题：在变化、运动过程中，如何发掘不变的性质与不变的量？如何利用旋转添加辅助线？2 研究的重点：利用旋转添加辅助线3选择该课题研究的目的：从学生实际出发，以学生为本，利用现代教学手段“几何画板”动态的直观性帮助学生解决学习中的两大难点：在变化、运动过程中，如何探究发掘不变的性质与不变的量及如何由旋转联想到辅助线的添加，使学生由感性认识上升到理性认识。利用实验操作发现猜想，利用几何画板验证猜想，利用论证几何证明猜想。只有在变化、运动中，不断发掘不变的性质与不变的量，才能把握住规律，才能增强探索、发现、归

2、纳的能力。二设计1教学目标：掌握动态几何的探究的方法。 .理解为何利用旋转可以添加辅助线。知道利用旋转添加辅助线的条件。掌握利用旋转添加辅助线的方法。渗透数学思想：利用特殊性寓于普遍性之中，以个（线段的运动）知全（线段所在的三角形的运动）。理解动与静的辨证关系,动中求静,静中窥动,在动动静静中揭示问题的本质。多角度的观察问题。多角度的描述辅助线的添加。发现条件的改变而结论不变的根本原因是产生结论不变的条件没有变。 渗透分类的数学思想及理解探究条件问题的充要性。2教学重点：掌握利用旋转添加辅助线的方法。3 教学难点：掌握利用旋转添加辅助线的方法。4 教学时间：两课时5 教学过程：（一）以旧引新，

3、提出问题复习 回顾例11：老师问：在前几节几何证明中，我们知道了辅助线有哪些作用？学生答：添加辅助线的作用是使分散的条件集中在一个三角形或使条件与问题在位置上有个有机的组合，使相应的定理能针对运用,即达到条件与问题有机的结合。老师问：还有什么作用？学生一时受阻老师启发：请翻开课本八年级第一学期第七十一页，请看：例11已知：如左下图，D是BC上的一点, BD=DC，1=2。求证：AB=AC 分析：在ABD和ACD中，虽然有1=2,AD=AD,BD=CD三个条件，但不能直接推出两个三角形全等。（想一想，为什么？）注意到已知条件，可知D是BC的中点，AD是ABC的中线。因此延长AD到G，使DG=AD

4、,连结CG。这样添加的辅助线，相当于把ABD绕点D旋转180° 从例11.中，我们可以知道：辅助线的添加可以使分散的条件集中在一个三角形或使条件与问题在位置上有个有机的组合，使相应的定理能针对运用,即达到条件与问题有机的结合。 从例11.中我们还可以知道：由辅助线的添加联想到三角形的旋转。 回顾旋转的知识： 旋转的三要素：旋转中心,旋转方向,旋转角。 旋转的作用：a. 图形经过旋转其形状、大小都不变。即构造全等三角形。b. 迁移线段和角的位置使分散的几何元素集中在一个三角形或条件与问题进行重新的组合，以便使相应的定理能够针对使用，达到有机的结合。 图形上的任何一点都旋转同样的角度。

5、全等的图形经过一种或几种基本运动能重合设问：如何联想到是旋转而非其他基本运动呢?是ABD而非其他三角形呢？若问题的信息量太大，思考的跨度太大，则做如下设问（适当地给一些铺垫）线段BD和DC能重合吗？经过什么基本运动能重合呢？(旋转能重合) 将哪个三角形绕哪个点、向哪个方向、旋转多少度?联想到将它所在的三角形旋转.(三角形的定义:三条线段顺次首尾连接的图形)即三角形是迁移几何元素的载体。设问：反过来，我们能否由旋转联想到辅助线的添加呢?这就是我们这节课所要研究的问题，在此提出课题：利用旋转添加辅助线（二）观察思考，归纳引出新课利用旋转添加辅助线例1：已知：如图在ABC中,BAC=90,M为BC的

6、中点。操作：将三角板的90角的顶点与点M重合,并绕着点M旋转,角的两边分别与边AB、AC相交于点E、F。探究：(1)线段BE、EF、FC能否构成三角形?若能构成，则是什么三角形?请证明你的猜想。 分析： 1) 线段的分散 集中方法1：学生试一试：以线段BE、EF、FC画三角形，能否构成三角形？是什么三角形？学生：能，是直角三角形。老师：对每一个学生来说，结论可能是一个偶然，但对老师来说则情况并非偶然。（渗透了不完全归纳法的思想）方法2：由几何画板的度量功能来验证同学们的猜想。方法3：利用论证几何来证明猜想。2) 旋转 添线：设问1：选中哪个三角形、绕着哪个点、向着哪个方向、旋转多少度？学生答：

7、将BEM绕M向逆时针方向旋转180°到MEC。设问2：还可以旋转哪个三角形？（略）设问3：观察痕迹ME,EC与已知图形中的几何元素的量、位置的关系如何？ 学生答： 痕迹的位置： 延长 辅助线的描述： 截取 平行线 垂线 B的等角 .三练习讲评，双向反馈训练1.已知：如图在ABC中, BAC=90,AB=AC。操作：将三角板的45角的顶点与点A重合,并绕着点A旋转,角的两边分别与边BC相交与点E、F。探究：线段BE、EF、FC构成的三角形是什么三角形?请证明你的猜想。 分析： 痕迹的位置 AE的垂线 辅助线的描述：CB的垂线 B的等角 BAE的等角 截取 . 三小结归纳设问1：你们从例

8、11、例1、训练1中发现它们都具有什么共同的特点？旋转的条件是什么？学生答： 有两条线段相等。 有公共的端点。设问2：旋转添线的步骤？步骤： 首先由旋转条件及需要迁移的几何元素确定旋转三角形。 其次确定旋转中心、旋转方向、旋转角。 再次确定旋转三角形旋转到的位置(痕迹)。 最后观察痕迹与已知图形的几何元素在位置或量上的关系，从中联想到辅助线的添加。 （四）巩固练习训练2.如左下图在等边ABC中,APB=110,APC =120求:线段AP、BP、CP构成的三角形的三个内角的度数。设问：旋转的条件是什么？有什么补充？学生答：除以上两条件外，还要旋转角是特殊角。对学生的回答先不急与判断，继续观察训

9、练3。训练3已知：如左下图在ABC中,AB=AC, P是内一点, 且APB=APC。探究：线段PB与PC的大小关系,并证明你的猜想。 评析：旋转的条件：有相等的两条线段.有公共的端点.可以多角度的选择旋转三角形进行添加辅助线，旋转角并非要特殊角。 （五）因材施教，发展个性变式训练：思考1.在例1.中继续探究：.若角的两边分别与边AB、直线AC相交于点E、F,其它条件都不变的情况下,那么结论是否还存在?请证明你的猜想。设计此题的目的1是：在条件弱化的情况下，探究结论存在与否？试图让同学们，发现条件的改变而结论不变的根本原因。 目的2是：培养学生思维的序化设问：条件的改变而结论不变的根本原因是什么

10、？学生：产生结论的条件根本没有变。 思考2. 继续探究：在训练1 APC是多少度时,线段AP、BP、CP构成的三角形是直角三角形?设计此题的目的是：培养学生分类的思想即若有不确定的因素则对各种可能存在的情况进行讨论。六小结归纳：1.探究运动中、变化中,所产生的不变的性质、和不变量的方法：利用实验几何中的测量操作的方法得到猜想,利用论证几何证明猜想.2.为何添?分散 集中3.怎样添?旋转 添线4.这样添: 旋转的条件:有相等的两条线段.有公共的端点.添线的方法:确定三角形旋转到的位置.观察“痕迹”（旋转到的位置的几何元素）与已知的几何元素的位置关系.从中联想到辅助线的添加. 5.渗透的数学思想：

11、1) 特殊性寓于普遍性之中. 2) 渗透了不完全归纳法3) 动与静的辨证关系:动中求静,静中窥动,在动动静静中揭示问题的本质.4) 渗透分类的数学思想及理解探究条件问题的充要性.5) 理解条件的改变而结论仍然不变的根本原因是产生不变的结论的条件没有变. 六作业：练习1.继续探究：在思考1若角的两边分别与直线AB,AC相交,其他条件都不变,则上述结论是否还存在呢?练习2 继续探究：在思考2 APC是多少度时,线段AP、BP、CP构成的三角形是等腰三角形? 三反思：1教学措施与教学目标是否一致？注重知识的引入，以本为本，以纲为纲。注重知识的过程教学，给学生思考的空间和时间，注重知识的承上启下，即例

12、1的设计与书中例11的衔接。注重设计出学生熟悉的背景即学生手中的三角尺。达到由特殊性推广到一般性。注重培养学生思维的层次性，观察的多角度性：体现在题目的设计。2教学有效性如何？从学生实际出发，以学生为本，利用现代教学手段“几何画板”动态的直观性帮助学生掌握了动态几何的探究的方法，掌握了利用旋转添加辅助线的方法。感性认识上升到理性认识。利用实验操作发现猜想，利用几何画板验证猜想，利用论证几何证明猜想。只有在变化、运动中，不断发掘不变的性质与不变的量，才能把握住规律，才能增强探索、发现、归纳的能力。四点评：几何画板培训班、研讨班、中青年骨干教师培训班、市九中学的老师们及本校的数学教研组等等共同认为：三个新，一