4-1几何证明选讲第二讲(三)

1、定定理理圆圆的的切切线线的的性性质质及及判判定定三三.,;,;,.,称称直直线线与与圆圆相相离离公公共共点点直直线线与与圆圆没没有有称称直直线线与与圆圆相相切切公公共共点点直直线线与与圆圆只只有有一一个个称称直直线线与与圆圆相相交交点点直直线线与与圆圆有有两两个个公公共共刻刻画画的的数数共共点点个个这这是是从从直直线线与与圆圆的的公公离离三三种种位位置置关关系系和和相相直直线线与与圆圆有有相相交交、相相切切我我们们知知道道，.时时有有什什么么性性质质们们先先看看当当直直线线与与圆圆相相切切我我相相切切的的情情形形本本节节专专门门讨讨论论直直线线与与圆圆MlAO112图图?.,.,是否一定垂直呢

2、是否一定垂直呢半径半径与与那么那么图形可发现图形可发现观察、测量观察、测量为切点为切点切线切线的的是圆是圆直线直线如图如图OAlOAlAOl112.,.,.,一定垂直一定垂直与与因此因此的切线相矛盾的切线相矛盾是圆是圆这与这与相交相交圆圆就应与就应与于是于是的距离小于圆的半径的距离小于圆的半径圆心到直线圆心到直线这就是说这就是说可得可得性质性质垂线段最短垂线段最短根据根据垂足为垂足为可作可作点点那么过那么过不垂直不垂直与与假设假设OAlOlOllOMOAMlOMOOAl:于是有于是有:.,;,由此得到线也一定经过圆心直过切点且垂直于切线的反之定过切点线的直线一所以经过圆心垂直于切垂直线线与已知

3、直只有一条直过一点因为经.切切点点的的半半径径圆圆的的切切线线垂垂直直于于经经过过切切线线的的性性质质定定理理.必必经经过过切切点点的的直直线线经经过过圆圆心心且且垂垂直直于于切切线线推推理理1.必必经经过过圆圆心心的的直直线线经经过过切切点点且且垂垂直直于于切切线线推推理理 2.逆逆命命题题来来得得到到判判定定定定理理的的下下面面通通过过考考察察性性质质定定理理lAMO112图图B由此可得是圆的切线因此共点知圆与直线只有一个公的任意性由点在圆外点因此的斜边是而是直角三角形这是因为都有的点上任取异于点线在直的公共点且线与直是圆点如图.,.,.,.,lBBOBARtOBOBAOAOBBAlOAl

4、lOA112.的切线的切线于这条半径的直线是圆于这条半径的直线是圆直直经过半径的外端并且垂经过半径的外端并且垂切线的判定定理切线的判定定理.:.,的切线的切线是圆是圆求证求证的中点的中点过过圆圆径径的直的直是圆是圆如图如图例例ODEACDEDBCOOAB1221ABODCE122图图.OD连接证明,OBOACDBD因为.的中位线是所以ABCOD,/ ACOD则,090DEC又因为.090ODE所以所以在圆周上又因为,D.的切线是圆ODE.,打打开开几几何何画画板板实实验验单单击击图图示示.:.,DABACDCADOCOAB平分平分求证求证垂足为垂足为点的切线互相垂直点的切线互相垂直和过和过上一点上一点为圆为圆直径直径的的为圆为圆图图如如例例1322ABCDO,OC连结证明CD因为.,CDOCO所以的切线是圆由此得所以又因为./,ADOCCDAD .CADACO.,ACOCAOOAOC所以因为.DABACCAOCAD平分故则132图图.,打打开开几几何何画画板板实实验验单单击击图图示示 ?.;:,吗吗理理中中同同一一个个定定及及它它的的两两个个推推论论概概括括在在你你能能把把圆圆的的切切线线性性质质垂垂直直于于切切线线经