抽象函数型综合问题

1、阳光家教网全国最大家教平台抽象函数型综合问题100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测抽象函数型综合问题， 一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力， 考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势.范例选讲例1 定义在R上的函数f x满足：对任意实数m,n ,总有 f m n = f m f，且当 x 0 时，0 ： f x ： 1 .(1) 试求f 0的值；(2) 判断f x的单调性并证明你的结论；(3) 设 A = (x,y )

2、 f (x2 ) f (y2 )a f (1 卩,B=(x, y) f (ax-y + 72 )= 1,a乏 R ,若A ' B，试确定a的取值范围.(4) 试举出一个满足条件的函数f x .讲解：(1)在 f m，n 二 f m f n 中，令 m=1, n=0 .得：f f 1 f 0 因为f 1 -0 ,所以，f 0 =1.(2)要判断f x的单调性，可任取,x2 R，且设x1 x2.在已知条件fm，n=fmf n中，若取m n =x2,m =%，则已知条件可找家教上阳光家教网家教网；' ' L:j:阳光家教网全国最大家教平台化为：f X2 二 f X1 f x2

3、 -为由于 X2 - Xl 0，所以 1 f X2 -X!0 为比较f x2、f N的大小，只需考虑f Xj的正负即可.在 f m n = f m f n 中，令 m = x , n = -x,则得 f x f -x = 1. x 0 时，0 ： f x ：1,当 x : 0 时，f x10 .f (-x)又f 0=1，所以，综上，可知，对于任意 xr R，均有f xj-O . f X2 - f X1 = f 花X2 -花-1 : 0 .函数f x在R上单调递减.(3)首先利用f x的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含 f的式子.f x2 f y2f 1 即x2 y2 ：1，f ax -y

4、 .2 =1 二 f 0，即 ax-y = 0.由A、B ，所以，直线ax-y ,2=0与圆面x2 y2 < 1无公共点.所以,找家教上阳光家教网家教网；' ' L:j:阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网家教网；' ' L:j:阳光家教网全国最大家教平台解得：-1a1.(4)如 f x 二2X找家教上阳光家教网家教网；' ' L:j:阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网家教网；' ' L:j:阳光家教网全国最大家教平台点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值(如本题中令m =1,n =0 ;以及

5、m n =x2,m =为等)是解决有关抽象函数问题的非常重要的手 段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，贝U有助于问题的思考和解决.例2.已知定义在R上的函数f x满足:找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台函数 f x 存在gn3讲解：(I )在 f m n= f m中，令m >0 ,n = 0，则有家教网HTTFiZZWWlJJ.VIBJJ ”匚 口鬥/(1)值域为-1,1，且当 x 0 时，一1 ： f x <0;(2)对于定义域内任意的实数x,y，均满足：f m n f m f n1+ f (m)f (n)试回答下列问题：(I)试求f 0的值;(U)判断并证明函

6、数f x的单调性;函数 g x ， 求证：找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台fm=fmfT0-.即：fmfmf0 =f m f0.也即：f (0) (f (m) 1=0 .找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台由于函数f x的值域为-1,1 ,所以,(f (m)2 -0，所以 f (0)=0 .找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台(n )函数f x的单调性必然涉及到f x ；f y ，于是，由已知f m n = f m f n ，我们可以联

7、想到：是否有1+ f(mf (n )f m n 亠 A ?1-f(m)f( n)这个问题实际上是：f -n = -f n是否成立?为此，我们首先考虑函数f x的奇偶性，也即f -X与f X的关系.由于f 0 = 0,所以，在 f m n 二中，令 n 二-m，得 f m f m 予；0 .所以，函数f x为奇函数.故(*)式成立.0闻老H T T P ： Z / Ul W W . V E J .匚 n F所以，f m_f n 二 f m _n 屮-fmf n.任取xux2 R ,且 x x2 ,贝 Ux2 - x.(0 ,故 f x2-為:0 且-1 ： f x2 , f n ：1 .所以，f

8、 X2 - f Xi = f X2 -x； - f X2 f Xi : 0所以，函数f X在R上单调递减.(E)由于函数f X在R上单调递减，所以，函数f X必存在反函数g X , 由原函数与反函数的关系可知：g X也为奇函数；g X在-1,1上单调递减；且当 一1 ： x ： 0 时，g x 0 .为了证明本题，需要考虑g x的关系式.在(*)式的两端，同时用g作用，得：m-n = g f(mLf(n*1 _ f(m ) f(n)令f mi=x, f n =y，贝U m=gx, n=g y，则上式可改写为：/ 、x- yJ xy不难验证：对于任意的X,厂-1,1，上式都成立.(根据一一对应)

9、这样，我们就得到了 g X的关系式.这个式子给我们以提示：即可以将丁 写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端.n 3n 11 -xy事实上，由于1 1 _ 11_1=n 1 n2_n 1 _ n：n2 3n1一n 1 n2 一1 冷 1-1.1，(n 十 1 n +2 )In + 1 八n + 2丿所以,g 丁g丄-g丄.g n 3n 1 g n 1 g n 2找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台衍免家教网HTTPiZZmWW.VIBJJ -匚 口鬥/所卡AJ1 - 1g1-5g1 一(1 丫1 - ( 1Jg I - 12丿g I_5卩13丿Lg _+|g 15 + 1

10、丿n2 3 n 1-g ±1 ) G) 乔2g&找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网阳光家教网全国最大家教平台点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定 f 0的值.咼考真题1. ( 2001年全国高考题)设f x是定义在R上的偶函数，其图像关于直 线y =x对称，对任意x1,x2 - |0,1都有f x X二fK f2,且f 1 =a 0 .(I)求f 1及f12丿(U)证明：f x是周期函数；( 1 )(川)记 an =f .2n+，求 lim (ln a.).I2n丿-和2. (2002北京高考题)已知f x是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,bR都满足：f ab二af b bf a(I