数学史第一大危机

1、数学史危机数学史危机主讲人：陶秀峰5 4 3 2 1 数学史三大危机第一次数学危机无理数的发现第二次数学危机无穷小是零吗第三次数学危机悖论的产生 数学史三大危机第一次数学危机无理数的发现第二次数学危机无穷小是零吗第三次数学危机悖论的产生无理数的发现第一次数学危机 发生的时间地点发生的时间地点NO.1 主要涉及的对象主要涉及的对象NO.2怎样发生的怎样发生的NO.3第一次数学危机无理数的发现目录： 产生的意义及产物产生的意义及产物NO.5解决方法解决方法NO.4第一次数学危机无理数的发现NO.1 发生的时间地点时间：公元前时间：公元前580568年之间年之间地点：古希腊地点：古希腊第一次数学危机

2、无理数的发现图片欣赏毕达哥拉斯肖像毕达哥拉斯肖像第一次数学危机无理数的发现图片欣赏毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派第一次数学危机无理数的发现图片欣赏公元前公元前6世纪的世纪的毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派第一次数学危机无理数的发现NO.2 主要涉及的对象毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派希帕索斯希帕索斯毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派：亦称“南意大利学派” ，是一个集政 治、学术、宗教三位于一体的组织，由古希腊哲学家毕达哥拉斯创立。 是唯心主义流派。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。第一次数学危机无理数的发现毕达哥拉斯学派其思想在当时被认为是绝对权威的真理，该学派倡导的是一种称为

3、“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐。他们认为“万物皆数”。数只有两种，就是正整数数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，和可通约的数（即分数，两个整数的比），除此之两个整数的比），除此之外不再有别的数，即是说外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。世界上只有整数或分数。第一次数学危机无理数的发现第一次数学危机无理数的发现发现者希帕索斯希帕索斯（希帕索斯（HippasusHippasus）是古希腊数学家）是古希腊数学家毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）学派的弟子。）学派的弟子。发现了与毕达哥拉斯学说（发现了与毕达哥拉斯学说（“万物皆数万物

4、皆数”（指有理数）相悖的无理数。（指有理数）相悖的无理数。第一次数学危机无理数的发现发现者希帕索斯这一发现使该学派领导人惶恐，认为这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，坚持真于是极力封锁该真理的流传，坚持真理的希帕索斯被迫流亡他乡。理的希帕索斯被迫流亡他乡。第一次数学危机无理数的发现发现者希帕索斯不幸的是，在一条海船上他还是遇到不幸的是，在一条海船上他还是遇到了毕氏门徒，经过一番争论，理屈词了毕氏门徒，经过一番争论，理屈词穷、气急败坏、保守顽固的的学阀们穷、气急败坏、保守顽固的的学阀们残忍地将希帕索斯扔进了大海

5、。残忍地将希帕索斯扔进了大海。 第一次数学危机无理数的发现发现者希帕索斯希帕索斯找到一个数不能用两个希帕索斯找到一个数不能用两个整数之比来表示，这触犯了这个整数之比来表示，这触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在根律：谁都不准泄露存在根2（即无（即无理数理数 ）的秘密。）的秘密。另一说法：另一说法：第一次数学危机无理数的发现发现者希帕索斯天真的希帕索斯无意天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。发现，结果被杀害。 （希帕索斯）希帕索斯希帕索斯用自己的生命捍卫了用自己的生命捍卫了科学，他的坚持带给今天数学的新科学，他

6、的坚持带给今天数学的新纪元。他只身一人，犹如大海中那纪元。他只身一人，犹如大海中那一滴水，就是这滴水，改变了数学一滴水，就是这滴水，改变了数学发展的历史！发展的历史！第一次数学危机无理数的发现NO.3 如何发现的？211222d那么那么d 是多少呢？是多少呢？假设正方形边长为假设正方形边长为1，并设其对角线，并设其对角线长为长为d，依勾股定理应有：，依勾股定理应有：即即22d那它必是两整数之比。那它必是两整数之比。显然显然d 不是整数，不是整数，毕达哥拉斯学派认毕达哥拉斯学派认为为“万物皆数万物皆数”，即整数和分数即整数和分数第一次数学危机无理数的发现NO.3 如何发现的？希帕索斯花了很多时间

7、来寻找这希帕索斯花了很多时间来寻找这反而找到了两数反而找到了两数不可通约性不可通约性的证明，的证明，两个整数之比，结果没找着，两个整数之比，结果没找着，并用反证法证明了该结论。并用反证法证明了该结论。第一次数学危机无理数的发现NO.3 如何发现的？采用反证法证明：采用反证法证明：设设ABC,两直角边为两直角边为a=b, 则则由勾股定理有由勾股定理有22222abac设已将设已将a和和c中的公约数约去，中的公约数约去， 即即a、c已经互素，已经互素，于是于是c为偶数，为偶数，a为奇数，为奇数， 不妨令不妨令 mc 2第一次数学危机无理数的发现NO.3 如何发现的？即即222ma于是于是a为偶数为

8、偶数 ， 这与前面已证这与前面已证a为奇数为奇数矛盾！矛盾！,2)2(22am则则第一次数学危机无理数的发现NO.3 如何发现的？边长相等的正方形其对角线长并边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。不能用整数或整数之比来表示。结论：第一次数学危机无理数的发现有理数和无理数有理数有理数简单的几何解释：在一条水平直线上，标简单的几何解释：在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数端点分别表示数0和和1，则可用这条直线上的间隔，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在为单位长的点的集合来表

9、示整数，正整数在0的右的右边，负整数在边，负整数在0的左边。以的左边。以q为分母的分数，可以为分母的分数，可以用每一单位间隔分为用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。个有理数都对应着直线上的一个点。第一次数学危机无理数的发现有理数和无理数古代数学家认为，这样能把直线上所有的点古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，因为希帕索斯发现用完。但是，因为希帕索斯发现2的存在的存在即直线上存在不对应任何有理数的点，即直线上存在不对应任何有理数的点，因此因此 人们把不是有理数的数称为人们把不是有理数的数称为无理数无理数第一次数学危机无

10、理数的发现NO.4 解决方法：此次危机通过在几何学中引进此次危机通过在几何学中引进不可通约不可通约量量概念而得到解决。概念而得到解决。两个几何线段，如两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是就称这两个线段是可通约可通约的，否则就称的，否则就称为为不可通约不可通约的。的。第一次数学危机无理数的发现不可通约量不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收入他的几何原本中 正方形的一边与对角线，不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。第一次数学危机无理数的发现NO.5 产生的意义及产物第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。第一次数学危机无理数的发现同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。