高三数学二轮复习：数列专题及其答案

1、2018届高三第二轮复习一数列第1讲等差、等比考点【高考感悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：考什么怎么考题型与难度1 .等差(比)数列的基本运算主要考查等差、等比数列的基 本量的求解题型：三种题型均可出现 难度：基础题2.等差(比)数列的判定与证明主要考查等差、等比数列的定 义证明题型：三种题型均可出现 难度：基础题或中档题3.等差(比)数列的性质主要考查等差、等比数列的性 质题型：选择题或填空题 难度：基础题或中档题1 .必记公式等差数列通项公式：%=1+(一1城(2)等差数列前项和公式：S"=" 5产)=刈+""(3)等比数列通项公式：“必

2、/r.(4)等比数列前项和公式：na (g=l)Sn=ui (1-q”) cianq.；=； (产 1)i-q 1 一夕(5)等差中项公式：2“=a” -1 + 卜 1 (/? 2 2).等比中项公式：曷 wi(22).(7)数列m的前项和与通项小之间的关系：如=。.lSn-Sn-i (32)2 .重要性质通项公式的推广：等差数列中，加=,”+(一?)/等比数列中，。(2)增减性：等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列：若公差小于零，则数列为递减数列.等比数列中，若，“>0且g>l或1<0且OVqVl,则数列为递增数列：若可>0且0<夕<1或a <

3、0且夕>1,则数列为递减数列.3 .易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件.(2)漏掉等比中项：正数a, b的等比中项是即，容易漏掉一标.【真题体验】1. （2015新课标I高考）已知斯是公差为1的等差数列,S“为小的前n项和.若58=454,则io=（） 1719A.-yB.-C. 10 D. 122. （2015新课标I高考）已知等比数列“”满足"i=4，c=4（oi-1）,则"2=（）A. 2 B. 1 C.z D,J Z o3. （2015浙江高考）已知团“是等差数列，公差d不为零.若S,，小成等比数列，且2w+s=

4、l，则m =，cl=4. （2016全国卷1）已知勺是公差为3的等差数列,数列色满足伪=1, b2=-f 也+1+4+广曲，.（I）求”的通项公式；（II）求也的前n项和.【考点突破】考点一、等差（比）的基本运算1 . （2015湖南高考）设S”为等比数列%的前项和,若“1 = 1,且3S” 2s2, S3成等差数列，则如=Q2 .（2015,重庆高考）已知等差数列满足“3=2,前3项和S3=，.求（小的通项公式：（2）设等比数列瓦满足"=4”优= 415，求4,的前项和考点二、等差(比)的证明与判断【典例1】(2017全国1)记Sn为等比数列q的前项和，己知s=2, S3=-6.(

5、1)求q的通项公式：(2)求S，并判断S+” S，Sx是否成等差数列.【规律感悟】 判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法定义法：对于“21的任意自然数，验证4' L”,(或*)为同一常数.(2)通项公式法：若 an=6/)+ (zi 1 )cl=am+(nm)d 或 an=kn+b(n £ N),则%为等差数歹U:若则伍为等比数列.(3)中项公式法：若2a=Si+“M i(”£N*,-2),则小为等差数列:若欣=门研"22),且诙0,则斯为等比数列.变式：(2014全国大纲高考)数列“满足m=l, 6=2,即2=2卅1-“+2.设瓦=斯右一小，证明瓦是

6、等差数列;(2)求如的通项公式.考点三、等差(比)数列的性质命题角度一与等差(比)数列的项有关的性质【典例2(1)(2015新课标II高考)已知等比数列为满足0=3, ai+s+“s=21,则“3+生+“7=(A. 21 B. 42 C. 63 D. 84(2)(2015铜陵模拟)已知等差数列许的前项和为S”，且&o=12,则,“+“6=()A.y B. 12 C. 6 D.1命题角度二与等差（比）数列的和有关的性质【典例3（1）（2014.全国大纲高考）设等比数列厮的前项和为S.若S2=3, §4=15,则S6=（） A, 31 B. 32C. 63 D. 64（2）（20

7、15衡水中学二调）等差数列“中，3（43+45）+2（47+00+03）=24,则该数列前13项的和是（） A. 13 B. 26 C. 52 D. 156针对训练1 .在等差数列斯中，若 3 + 44 + 45 +。6 + 47 = 25,则 42 +。8 =.2 .在等比数列斯中，。41=16,则44。5。7恁的值为.3 .若等比数列斯的各项均为正数,且苗2 = 2e',则In ai+ln做+加«20=.【巩固训练】一、选择题1. （206新课标I【高考）设S,是等差数列伍“的前项和.若0+3+。5=3,则S5 = （）A. 5B. 7 C. 9 D. 112. （201

8、4福建高考）等差数列的的前项和为S,若0=2, S3=12,则。6等于（）A. 8 B. 10 C. 12 D. 143. （2014.重庆高考）对任意等比数列许,下列说法一定正确的是（）A. ai, 43，49成等比数列B.俏，43,。6成等比数列C.。2, 44,成等比数列D.。3, 46,。9成等比数列4. （2014.天津高考）设斯是首项为川，公差为一1的等差数列，S”为其前项和.若N, S2, S4成等比数列，则0=（）A. 2 B. -2 C.g D. -55. （2015辽宁大连模拟）数列检满足a“一a+i=c/“a”+i（£N"）,数列d满足a二九 且历 +

9、 岳 + +加=90,贝lj 1）4 6（）二、填空题6. （2015,陕西高考）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项为.7. （2015安徽高考）已知数列为是递增的等比数列，内+由=9, «2以3=8,则数列如的前n项和等于8. （2014.江西高考）在等差数列“中，=7,公差为4,前项和为工，当且仅当 =8时S”取得最大值, 则d的取值范围为.三、解答题9. （文）（2015兰州模拟）在等比数列”“中，已知,“=2, “4=16.（1）求数列”的通项公式：（2）若，4分别为等差数列（仇）的第3项和第5项，试求数列（仇的前项和S,10、（2014,

10、湖北高考）已知等差数列%满足：川=2,且4” 42, 45成等比数列.求数列"“的通项公式：记S"为数列”“的前项和，是否存在正整数，使得S“>60+800?若存在，求的最小值：若不存 在，说明理由.11,（2015江苏高考）设，皿，的，心是各项为正数且公差为43工0）的等差数歹U.（1）证明：2«，2s, 2a3,为4依次构成等比数列；（2）是否存在，力使得，后，乩港依次构成等比数列？并说明理由第2讲 数列求和（通项）及其综合应用【高考感悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：考什么怎么考题型与难度1 .数列的通项 公式考查等差、等比数列的基本量的求解

11、： 考查0,与S”的关系，递推关系等题型：三种题型均可出现 难度：基础题或中档题2.数列的前 项和考查等差、等比数列前项和公式； 考查用裂项相消法、错位相减法、分解 组合法求和.题型：三种题型均可出现，更多 为解答题 难度：中档题3.数列的综合 应用证明数列为等差或者等比： 考查数列与不等式的综合.题型：解答题 难度：中档题【真题体验】1. （2015.北京高考）设劭是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若 41+"2>0,则 42 +。3>0B.若3V0，则 oi+sVOC.若 0<的<42,则 42>d043D.若 0<0,则（42 0）（“2

12、 "3）>02. （2015武汉模拟）已知等差数列斯的前项和为S”，的=5, 55=15,则数列一的前。/收十11009999101100项和为（）A.而B.而 C.而Dqoo3. （2015.福建高考）等差数列斯中，612 = 4, 44 + "7=15.（1）求数列加的通项公式；（2）设 仇= 2。-2+，求历+岳+加+历。的值.【考点突破】考点一、数列的通项公式【规律感悟】求通项的常用方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法.S9 " = 1 ,(2)已知S与小的关系，利用。个求小,.SlSl, 与2累加法：数列递推关

13、系形如加),其中数列伏)前/?项和可求，这种类型的数列求通项公式 时，常用累加法(叠加法).(4)累乘法：数列递推关系如小”=冢/?)如，其中数列#()前项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘 法(叠乘法).(5)构造法：递推关系形如斯u=”“+q(p, q为常数)可化为“”+丁1=("”+看)(夕工1)的形式，利用3+*是以为公比的等比数列求解.递推关系形如如“=驾(为非零常数)可化为一匚=；一;的形式.4十斯41% P1. （2015,新课标H高考）设S是数列力的前项和,且4 = -1, a”=ssu,则S=2. （2015铜陵模拟）数列”“满足51热”=3/?+1, SN

14、9;,则如=.« 1 23. 若数列“满足"1=3, 4 1=了，则6/2 015的值为.考点二、数列的前n项和【规律感悟】1 .分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组.(2)根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.2 .裂项后相消的规律 常用的拆项公式(其中 心)% (+1) -丁布 5 (+k)认 +6 - 1) +1)一手2- 2+1) 3.错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列“乘以等比数列(5对应项(如瓦)型数列求和.(2)步骤：求和时先乘以数列/即的公比.把两个和的形式错位相减.整理结果形式.4 ,倒序求和.命题角度一基本数列求和、分组求和【

15、典例1】(2015湖北八校联考)等差数列如的前项和为S，数列d是等比数列，满足m=3,"=1, 历 + 52= 10, 45 2/?2 =。3.(2不，为奇数，求数列“和加的通项公式：令c产俨设数列0)的前项和为4,求人力，为偶数，命题角度二裂项相消法求和【典例2】(2015安徽高考)已知数列小是递增的等比数列，且|+由=9, ”2"3=8.(1)求数列“的通项公式；设S”为数列“的前项和，b产晨L,求数列瓦的前项和 J+1命题角度三错位相减法求和【典例3】(2015天津高考)已知(“)是各项均为正数的等比数列，出“是等差数列，且0=3 = 1,岳+岳 =2。3， 3b?=

16、1.(1)求“"和加的通项公式：(2)设6=4瓦，求数列cQ的前项和.针对训练1. （2014湖南高考）已知数列斯的前八项和S产"（1）求数列小的通项公式:（2）设瓦=23+（-1）%，求数列d的前2项和.2. （2015山东高考）已知数列如是首项为正数的等差数列，数歹水;匕4的前项和为瑞不求数列（3的通项公式；（2）设儿=（如+1）2%,求数列仇的前n项和Tn.考点三、数列的综合应用【典例4】（2015陕西汉中质检）正项数列的前n项和S”满足：小一（小十八一 1）5”-05+/?）=0.（1）求数列3的通项公式“”；令。二,数列儿的前项和为7；.证明：对于任意的都有TV3

17、r /? "i 乙）4变式：（2015,辽宁大连模拟）数列“）满足ai = . 十1证明：数列小是等差数列：求数歹吟的前项和s并证明/丹+93【巩固训练】一'选择题1. （2015浙江高考）已知3是等差数列，公差d不为零,前项和是S”.若斯 w。8成等比数列,则（）A. 44>0， </S4>0B.，/S4VoC. 40>0, "S4Vo D. （“"VO, dSX）2. （2015保定调研）在数列“”中，已知m = L3修=2工+1,则其通项公式为“=（）A. 2”一1 B, 2厂1+ 1C. 2nl D. 2（1）3 .（预测题

18、）已知数列“满足“”+1=；+砺二诏，且=；,则该数列的前2015项的和等于（）3 023A. B. 3 023 C. 1 512 D. 3 024 乙4 . （2015长春质检）设数列丽）的前项和为S”,且m=s=l, /S+m+2）a“为等差数列，则"”=（）n+12n-"+1+ C'2_ D 2 ， 5 .（2015云南第一次统一检测）在数列«J中，%>0,切=）,如果小”是1与匕竽 6I的等比中项,那么 乙4斯.“2 43 44 . 4100 g/土 日 /、1"加3 的值 te（）10010110099A ,函Bwo cuoT D

19、,100二、填空题6 . (2014,全国新课标II高考)数列“);两足4fli =,麴=2,则ci.27 .若数列(+4)卬“)中的最大项是第女项，则女=.8(2015,江苏高考)设数列“满足川=1,且 初一%=+l(£N)则数列T前10项的和为.9. (2015福建高考)若"，是函数式.1)=X2px+qS>0, g>0)的两个不同的零点，且，h, -2这三个数 可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则+q的值等于.三、解答题10. (2015湖北高考)设等差数列”“的公差为小前项和为S”等比数列仇)的公比为夕.已知仇=卬，b2 =2, q=d,

20、 So= 100.(1)求数列瓦的通项公式；(2)当,/>1时，记£，求数列。/的前n项和加11. (2014山东高考)已知等差数列“的公差为2,前n项和为S”且8, Sz,成等比数列.(1)求数列如的通项公式；(2)令儿=(一1尸一,求数列仇的前项和Tn.2018届高三第二轮复习数列答案【真题体验】(第1讲等差、等比考点)1.【解析】 设等差数列如的首项为"1,公差为析由题设知差=1, Ss=4S4,所以&/i+28=4(4/1+6),解 1119得"】=，所以4】o=g+9="7.故选B.2【解析】设等比数列“)的公比为4，4|=亨，4

21、345=4(441),由题可知qWl,则ai/Xaig 4=4(“同3-1),火炉一 1),- 16g3+64=0,，(炉-8)2=0,，夕3=8,，夕=2, ”2=：,故选 C.33.【解析】由"2, 43, S成等比数列，得齿=。2。7,则为产=3(1 d9即(/=于,又24/1+42= 1 ,所以422=1 "= 一 1.【答案】I -13 I4.【解】(1)。=3-1.(2)乩= 2 2x3,=I考点一、等差(比)的基本运算1 .【解析】 本题考查等比数列和等差数列等，结合转化思想即可轻松求解等比数列的公比，进而求解等 比数列的通项公式.由3S, 2s2, S3成等

22、差数列，得4s2=3Si+S3,即3s23S1=S3S2,则3s=3,得公 比4=3,所以为=“"-| = 3"，【答案】32 .【解】本题主要考查等差数列的通项公式与等比数列的前项和公式，考查考生的运笄求解能力.将已知条件中的“3, S3用首项图与公差4表示,求得“I,乩 即可求得数列“的通项公式;(2)结 合(1)利用条件瓦=可,令=Ji5求得公比,然后利用等比数列的前项和公式进行计算.(1)设"的公差为4则由已知条件得i + 2J=2, 3t/i43X23即 ”i + Z/=2,。+4=1，解得 “1 = 1, 4=,故通项公式为""=1

23、+'，即，、15+1(2)由(1)得 i = 1,加=415= 2 =8.设瓦的公比为q,则炉=订=8,从而q = 2, 故瓦的前n项和Tn 仇(1-/) _1X (1-2-) _1-2 ifl-q考点二、等差(比)的证明与判断【典例1】解：(1)设勺的公比为q,由题设可得q(l + q) = 2, a2(i + q + c/2) = -6.解得 q = _2,q =-2故4的通项公式为勺=(-2)”(2)由(1)可得Sa=F«_'/)=_ + (1)“ 二 -q33a_ ,"+2o,+1由于S.2 + S“7 = -三 + (-1)； =2- + (-ir

24、 = 2S，故S*,Sn,Sz 成等差数列变式.【解】证明：由“+2 = 2t5+L如+2得4 卜 2 一 4 41 = Cln +1 - dn + 2,即加<1=” + 2.又 b=ai-a = 9所以仇是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由得瓦=1+2(- 1),即 anan=2n.£(瞅+1 以)=2(24一1)，于是&=1k = l所以 “+-。1=标,即 ani=n2+ai.又川=1,所以3的通项公式为。=“22+2.考点三、等差(比)数列的性质命题角度一与等差(比)数列的项有关的性质【解析】(1)本题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质，意在考查考生

25、的运并求解能力.由于”1(1+/+4)=21,右=3,所以由+夕2-6=0,所以/=2(炉=一3舍去)，ci3+as+cn=cp(ai +1/3+as)=2X21 =42.故选 B.(2)本题主要考查等差数列的性质猴+«尸劭+他.由S】o=12得</+</1()212亍X 10=12,12所以45 + 46 = ,故选A.命题角度二与等差(比)数列的和有关的性质13 (ai+ai3) 13 (g+mo)【解析】 (1)在等比数列“中，52, SLS2, S6S4也成等比数列,故(S4S2)2=S2(S6-S4),则(15 - 3产 = 3(06 15).解得 §

26、6=63.故选 C (2)V333+45)+2(47+。1。+413)=24,，6。4+6a0=24, “4+410=4,，S3 =坦了=26.故选B.乙针对训练1 .【解析】由 43+44+45+46+47=25 得 5。5=25,所以 (“=5,故。2+48=2a5= 10.2 .【解析】444547。8 = "物8 45“7 = 3物8)2 = 256.【答案】2563 .【解析】Vt/iiK/ii+</<x/i2=2e5, ，4io uH=e5, In t/i + ln aAHn a20= lOlnQio r/n)=101n e5=50.【巩固训练】一、选择题1【

27、解析】数列"”为等差数列，.,."1+"3 + "5 = 343 = 3, .,.3=1, ,.Ss=：3 ' ="一1 = 5.【答案】A3X22【解析】 由题知3川+5二"=12, "1=2,解得4=2,又46=41 + 5/，。6= 12.故选C3.【解析】由等比数列的性质得，的的=或手0,因此“3, "6,如一定成等比数列.故选D.9vi4X314【解析】由题意知 &=S S4, .(2</)H "一d)2=a(4d- 5d),把 d 1 代入整理得 a= 一g,故选D.5

28、.【解析】 将4一劭卜1=4。+1两边同时除以4。“+1可得7=1，即hn-¥bn= 1 ,所以儿是公差为如 + 1 (5"=1的等差数列，其前9项和为9-"： +”')-=90,所以6+为=20,将为=" + &/=仇+ 8,代入得 i=6,所以儿=9, 6=11,所以仇仇=99.故选B.二、填空题6 .【解析】57 .【解析】“1 = 8, 或44= L8 .【解析】设等差数列的首项为，根据等差数列的性质可得，. + 2015 = 2X101(),解得0=5 .【答案】ci + 6/4=9,ci + 6/4=9,a = 1VA1则04

29、可以看作一元二次方程/一%.+8=0的两根，故 ，142a3 = 8,14144 = 8,ua = 841=1 ,:数列4是递增的等比数列，1可得公比夕=2,，前项和S=2 - 1.44 = 8.等差数列的前项和为Sn,则. =1)4=恭+ 314)=。+ (7勉,对称轴为对称轴介于7.5与8.5之间，即7.5<7<8.5,解得一 1<<一(【答案】(一 1, 一，) 三、解答题9.【解】(1)设数列为的公比为，小为等比数列,吟=夕3=8, A<7=2, ：.an=2X2,r = 2n.(2)设数列瓦的公差为"，."3 = 43 = 23 =

30、8,儿= 45 = 25 = 32,且如为等差数列，工以一加=24=24,，4=12,，历=例一2/= - 16,，S=-16+"X 12=6，/-22.10、【解】(1)设数列小的公差为4 依题意,2, 2+4, 2+4"成等比数列，故有(2+4)2=2(2+4)，化 简得摩一4d=0,解得4=0或"=4.当4=0时，a=2;当4=4时，a=2 + (-1)4=4-2,从而得数列”的通项公式为a=2或4 一 2.(2)当 4r=2 时，S=2几显然 2n<60n+800,此时不存在正整数% 使得*>60+800成立.n2+ (4-2)= 2n2.令2

31、/>60+800,即小一30-400>0,解得>40或V-10(舍去)，此时存在正整数%使得全> 60+800成立，刀的最小值为4L综上，当如=2时，不存在满足题意的：当斯=4-2时，存在满足题意的，其最小值为41.11.【解】(1)证明：因为芳丁=2“/1一%=2%?=1, 2, 3)是同一个常数，所以24，2色，2a3, 2a4依次 构成等比数列.(2)不存在，理由如下：令 4+</ = 4,则 4, 42, 3, “4 分别为"44 + 2J(">4,。> 一24,吐0).假设存在，乩使得，小瓦，m,另依次构成等比数列，则 /

32、 = (一)(。+ )3,且(4 + ")6 = /(4 + 2'/尸.令=，0'| 1=(10(14-/)3,且(1+，)6=(1+24(一3/1,/工0),化简得八+22=0(*),且产=f+i.将产=，+1代入(*)式，«f+l）+2Q+l）2=F+3f=f+l+3f=4f+l=0,则 f=显然，=一生不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立.因此不存在4, 4 使得内，齿，齿，石依次 构成等比数列.第2讲数列求和及其综合应用【真题体验】1.（2015北京高考）设%是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若 ai+“2>0，则“2+。3>0B.

33、若 4+。3<°，则”】 十 2VoC.若 0Vai Vg,则 “2>/八。3D.若 41 <0,则（“2 41）3243）>0【解析】 若知是递减的等差数列，则选项A、B都不一定正确.若如为公差为0的等差数列，则 选项D不正确.对于C选项，由条件可知斯为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得“2=”, 由基本不等式得色曾>加7,所以C正确.【答案】c2 . （2015武汉模拟）已知等差数列“）的前项和为工,的=5, §5=15,则数列一的前100项和为（） 。斯 +1B 丝10110199101c而 D-Tbo【解析】 设等差数列所的首项为

34、内，公差为d.Vt/5=5, Ss=15,%+44=5,. 5X （5-1）5a +54=15,.J4 = 1,.'I/. Cln = d 1 +（7? - 1） J = /Ll"=l,£=（；i）=%*，,数列（念的前i0°项和为+志一击=i 一击= 100 ToT,【答案】a3 .（2015福建高考）等差数列如中，s=4, “4+s=15.（1）求数列“,的通项公式；（2）设瓦2+，求仇+岳+仇0的值.【解】（1）设等差数列“的公差为4.ai+4=4,由已知得彳（。1 + 34） + （</1 +6J） = 15,=3解得,d 1.所以 Un=a

35、 +(- 1)</= + 2.由可得与=2+%所以从+岳+岳+如=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(2北+10)=(2+2?+23+21°)+(1+2+3 + 10)2X (1-210) . (1 + 10) X10=12+2=2“+53热点考向一=2 101.数列的通项公式(自主探究型)1 .当，2= 1 时，S=4 = - 1,所以不=一1.因为 a”.i=S4iS=SS+,所以 = 1,即干=-1, 所以1是以一 1为首项，一 1为公差的等差数列，所以=(- 1) + (- 1),(- 1)= 一，所以$=一,.2 .当 =1 时，；"| = 3X1 +

36、 1,所以 8 = 12,当 “22 时，：gai + .sdF74“-i+/a=3+l, ：2Hi = 3(- 1)+1.一得：/m=(3zi+1)3(/71)+1,112, n=l,(12, =1,即并勿=3,所以如=3七，综上可得：如=、”【答案】 .“。3 I，】32.323 .本题主要考查利用递推数列求数列的某一项，通过研究数列的函数特性来解决.热点考向二由于0=3,求42=1, 43 = 2, 44 = 3,所以数列4是周期为3的周期数列，所以"2 0】5 = 467112 =。2数列的前项和(多维探究型)命题角度一 基本数列求和、分组求和【典例1】(1)设数列3的公差为

37、4数列仇)的公比为则由加+S2= 10, 得 a5-2b2=a39q+6+</=10,“3+4"2q=3+2d,'卜/=2,得一1g2,所以。=3+2(- 1)=2?+1,必=21.(2)由 ai=3,。=2+1 得 S=n(4i+a)= ?!(/?+2),则 Cn2(+2), 为奇数，为偶数，.我，为奇数，2为偶数，Hc2n-l) + (C2 + c4Hhc2n)1-1 2+1+ (2+23+ 2 勿 1)=12 (1-4)=-2n+l+1-4共T+初一).命题角度二裂项相消法求和【典例2(1)由题设知U 44 = 42 43 = 8,“1 = 1, ci = 8又你

38、+“4=9,可解得 O或，(舍去).Um=8144=1设等比数列(如的公比为%由“4 = 4】炉得夕=2,故斯=4 1=2"1ST(1-)1 一夕=2- 1,又瓦=S+ Sn1SS4| S)1Sn+lS八 S+i'所以=+岳+与=传焉+(&)+住-土)4得-=1 + 112r,l|-r命题角度三 错位相减法求和典例3】(1)设数列如的公比为数列九的公差为4,由题意(/>0.由已知，有,(1+</) + (l + 2g) =2g, 一3 (1+J) =7,为234=2,消去d,整理得/一2/-8=0./T434=10,又因为</>(),解得g=2

39、,所以"=2.所以数列斯的通项公式为。=2，,i£N,:数列瓦的通项公式为4=2- 1, nGN4.(2)由(1)有。=(2- 1)2广1设金的前，项和为S，则S=1X20+3X2】+5X22+-+(2，l3)X2L2+(2,l1)X2C,2Sn=lX21+3X22+5X23+-+(2n-3)X2/r*,+(2n-l)X2上述两式相减，得-S=l+22+23+2一? - 1)X2=2rh3(2- 1)X2= 一 (一 3)X2- 3,所以，S=(2-3)2"+3,;针对训练L【解】当71=1时，"i=Si = l;当 22 时，”=S一S"-i

40、 =(n- 1) 2 + (n- 1)故数列"的通项公式为加=.(2)由知,兀=2+(-1)%,记数列5的前2项和为 % 则 以=+2?+2%)+( 1+23+4 4-27?).记A=2】+2?+2叫 3= - 1+2-3+4+2/?,则4=空手=2-,8=( -1+2)+(-3+4)+ - (2-1)+力“=故数列d的前2项和 乃“=4+8=2"日+一2.2.【解】(1)设数列3的公差为4令 =1,得17=(112所以 4142 = 3.令 =2,得嬴;+ &7=5，所以“243=15.解得。1 = 1, d=2,所以。=2”一1.由(1)知儿=22?门=4,所以

41、为=1+24+小41所以4。= 14+2,43+41两式相减，得一37；=41+42+4一4e=4 (1一4)1-4“4/1=上言义4#1一3 JJ3n - 1 所以Tn = - g -.4 4+ (3/7-1) 4仆】 X4,+ l+n=热点考【典例4】数列的综合应用(师生共研型)【解】(1)由 5(n2+n l)Sn(?!2+/:)=0,得S一(,9+)(5+1)=0.由于如是正项数列,所以SQ>0, Sn=n2+n.于是 4/1=51=2,时，o=S一S_=“2+一(- 1)2(- 1)=2儿综上，数列“的通项公式为。=2.(2)证明：由于“产2，bn =则hn =+1+1( +

42、2) 2届'1 一4/ ( + 2) 2-同2( + 2) 2所以 助=)x 1空+苏_* + *，+-!1-±x 十2(+2) 21- 16乂1+尹一-(n+I) 2 -(h + 2) 2 <l6Xk1+?7 = 64-变式：【解】（1）证明：匕，一匚="土、化简得一匚=2+；, 2a+14+】 Chi4卜】 tin即一一-=2,故数列'是以1为首项，2为公差的等差数列. 4卜Unun由知*2t, .5= a+；i)=后打上+L+*+5> 直+壶+rdrrr=(T)+(A；)+卜击)=i1 n + 1，2 +【巩固训练】一、选择题1 .【解析】

43、 由“3, &», “8成等比数列可得：（m + 3）2=3i+2J）.3i+7），即3ai+5=O,所以（八=一半/, 所以 al4V0,又,6|="4小=2（加1 + 3）4=一宗/20.故选 B.2 .【解析】由题意知4"i + l=23+l）, %+1=（川+ 1）2门=2，“尸2一1.【答案】 A3 .【解析】 因为4】=5，又】=7 + 7 一届,所以“2=1,从而“3 = 5，"4 = 1 9即得«1=5, n-2k- （GN ）,故数列的前2015项的和等于S2ois=l 007X（1+5+1=3罗+1=3卷【答案】 J, n=2k 1WN'）,A24.【解析】 设瓦="S+（+2）a，有仇=4,岳=8,则=4，即="S”+（+2）a”=4，S+（l+;）a =4.22当 G2 时，S-S- + （l +普加一（1+_