2019年高考全国Ⅰ卷文科数学及答案

1、绝密启用前文科数学试题 第1页（共8页）2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2 .选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用0. 5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸

2、刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1.设 z=»-,则 |z| 二1 2iA. 2B. 33C. 72D. 12 .已知集合 U =1,2,3,4,5,6,7 , A=2,3,4,5 , B =2,3,6,7,则 BpeuA=A. 1,6B, 1,7C. 6,7D. 1,6,7_ _ _ 0 2_ _ 0 33 .已知 a =log2 0.2,b=2 ,c = 0.2 ，则A . a <b <cB . a <c <bC. c <a <bD. b <c<a4.古希腊

3、时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度 之比是 01 （哼1.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳 斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度 之比也是 Y5二1.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是A . 165 cmB . 175 cmC. 185 cmD. 190 cmsin x - x5,函数f (x) =2-在it,可的图像大致为cosx x6 .某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1, 2,，1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生

4、进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面 4名学生中被抽到的是A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生7 . tan255° =A. -2-73B. -2+73C. 2有D. 2+738.已知非零向量a, b 满足 a =2 b,且（a - b）_L b,则a与b的夹角为花B.一3C.D.19.如图是求2 1的程序框图，图中空白框中应填入2 21A . A=2 A-1B. A=2 + 一AC. A=11 2A12A10.双曲线C:2 y b2= 1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130 °,则C的离心率为A. 2sin40B.

5、 2cos401C. sin50D.11. AABC的内角C的对边分别为a, b, c,已知 asinA bsinB=4csinC1cos50cosA=-, 4则e=cA. 6B. 5C. 4D.文科数学试题 第9页(共8页)12 .已知椭圆C的焦点为Fi(T,0), F2(1,0),过F2的直线与C交于A, B两点.若|AF2|二2|F2B|, | AB|二|BFi|,则 C 的方程为2A. "2=1C.22人工=143D.二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .曲线y =3(x2 +x)ex在点(0,0)处的切线方程为 314 .记Sn为等比数列an的前n项和.

6、若ai =1, S3 =一，则？=.4.3 兀15. 函数 f(x)=sin(2x + )3cosx 的最小值为216. 已知/ ACB=90° , P为平面 ABC外一点，PC=2,点P到/ACB两边AC, BC的距离 均为J3 ,那么P到平面ABC的距离为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17. (12 分)某商场为提高服务质量，随机调查了 50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：附:K2n(

7、ad -bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?P(K2 水)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818. (12 分)记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式；(2)若a1>0,求使得Sn冷n的n的取值范围.19. (12 分)如图，直四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面是菱形，AAi=4, AB=2, /BAD=60° , E, M, N 分别是

8、BC, BBi, AiD 的中 占 八、.(1)证明：MN /平面 CiDE；(2)求点C到平面CDE的距离.20. (12 分)已知函数 f (x) =2sinxxcosx x, f ' (x)为 f (x)的导数.(1)证明：f'(x)在区间(0, Tt)存在唯一零点；(2)若xC 0, nt时，f (x)*x,求a的取值范围.21. (12 分)已知点A, B关于坐标原点 O对称，Ab =4, OM过点A, B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上，求。M的半径；(2)是否存在定点 P,使得当A运动时，MA I- MP 1为定值？并说明理由.(二)选考题：共

9、10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为_ 1-t2x =2，1 t24ty =21 t2(t为参数)，以坐标原点22. 选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为2 Pcos日 + 囱Psin 日+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23. 选彳4-5:不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1.证明:(1)1 1- 1- <a2 +b2 +c2； a b c(2) (a+b)3+(b+c)

10、3+(c+a)3 之24.2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1. C2, C 3.7. D8. B9.二、填空题B4 . B5. D6. CA10 . D11. A12 . B13. y=3x 14.515. -416.应 8三、解答题17.解：(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40一，、_ = 0.8,因此男顾客对该商50场服务满意的概率的估计值为0.8.30女顾客中对该商场服务满意的比率为二= 0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率50的估计值为0.6.一 一22 100 (40 20 -30 10)(2) K =定 4.762 50 50

11、70 30由于4.762 >3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异18 .解：(1)设Ln的公差为d.由 S9 =高5得 a1 +4d = 0.由a3=4得 a1 +2d =4.是 a1 =8,d = -2 .因此an的通项公式为an =10 2n .(2)由(1)得 a = 4d ,故 an = (n -5)d,Sn =nn-2由a1 >0知d <0,故Snan等价于n2 11n+10, 0,解得1诉w 10所以n的取值范围是n|1Jg!|n 10, nW N.19 .解:(1)连结BiC,ME .因为M , E分别为BBi,BC的中点，所以ME

12、 / BiC ,且1ND =-A1D .21ME = B1C .又因为N为AQ的中点，所以2由题设知 AB= DC ,可得BC= AD，故ME= ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN / ED .又MN值平面C1DE ,所以MN /平面C1DE .(2)过C作CiE的垂线，垂足为H.由已知可得 DE _L BC , DE _LC1c，所以DEL平面C1CE ,故 DECH.从而CH，平面C1DE ,故CH的长即为C到平面C1DE的 距离，由已知可得CE=1 , CiC=4 ,所以CE =而，故17CH从而点C到平面CDE的距离为 47 .1720 .解：(1)设 g(x) = f 

13、9;(x),贝U g(x) =cosx+xsin x_1,g'(x) = xcosx.兀.I 兀 i . It .当 xW (0,一)时，g (x) A0 ；当 xW I ,/ I时，g (x) <0,所以 g(x)在(0, )单倜递222增，在，冗I单调递减. 2i0,g*0,g(-g(x)在(0,劝存在唯一零点.所以f'(x)在(0,花)存在唯一零点.(2)由题设知f (%)a砥f (时=0 ,可得aw0.由(1)知，f'(x)在(0,冗)只有一个零点，设为 x0,且当x10,x0)时，f'(x)A0；当xW(x0,Tt)时，f'(x)M0,所

14、以f(x)在(0,x0)单调递增，在(%,九)单调递减.又 f(0)=0, f (花)=0,所以，当 xW0,用时，f(x0.又当 a, 0,x e0,用时，ax<0,故 f(x)ax.因此，a的取值范围是(g,0.21 .解：(1)因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A, B关于坐标原点 O对称，所以M在直线y = x上，故可设 M (a, a).因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r=|a + 2|.由已知得|AO|=2,又 MO _ AO ,故可得 2a2+4 = (a+2)2,解得 a=0或 a=4.故M的半径=2或=6. 存在定

15、点P(1,0),使得|MA|-|MP |为定值.理由如下:设M (x, y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2 .由于 MO_ AO，故可得x2 + y2+4 =(x+2)2 ,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点，以直线 x = 1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1 .因为|MA|-|MP|=r|MP|=x+2(x+1)=1 ,所以存在满足条件的定点 P.1 -t2口 2 S (22 .解：(1)因为-1 < 一2 M1，且 x + Y = -224t2,，+2=1,所以C的直角2 21(1+t )1-t21 t2坐标方程为x2 二1(x ； T).l的直角坐标方程为 2x+T3y+11 = 0.,、一x = cos-,(2)由(1)可设C的参数方程为i,y = 2sin :(久为参数,< 冗).12cos =2 . 3 sin ：11|C上的点至Ij l的距离为J-J=L =(4cos I11当:.=_2_53时，4cos卜 - 31取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为 J71+t2 I2. 2222223 .解：(1)因为 a +b 之2ab,b +c 之 2bc,c +