自动控制原理第二章_王思野

1、控制理论基础王思野北京理工大学北京理工大学 信息与电子学院信息与电子学院课程简介课程简介v课件地址课件地址v新浪邮箱网盘新浪邮箱网盘v用户名：用户名：v密密 码：码：autoctrl2013第二章 系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型 系统的数学模型2.1 控制系统微分方程的建立2.2 传递函数2.3 控制系统的框图和传递函数2.4 非线性方程的线性化2.5系统的数学模型系统的数学模型 系统的数学模型2.1 控制系统微分方程的建立2.2 传递函数2.3 控制系统的框图和传递函数2.4 非线性方程的线性化2.5系统的数学模型系统的数学模型v定义：系统的数学模型就是描述系统中的数学形式和方法

2、v意义：数学模型的建立和简化是定量分析和设计控制系统的基础系统的数学模型系统的数学模型 是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。通过数学模型来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。 1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。 2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。 系统的数学模型系统的数学模型v本章研究动态、定常、集总参数系统：系统中各变量随时间变化，系统处于运动状态：系统的物理参数

3、不随时间变化：系统的物理参数不随空间位置变化系统的数学模型系统的数学模型系统数学模型微分方程传递函数动态 结构图信号流图系统的数学模型系统的数学模型是对系统的抽象和归纳v许多表面上完全不同的系统却可能具有完全相同的数学模型v数学模型表示的是一种，研究透了一种数学模型，就能完全了解具有该种数学模型的所有不同系统的特点v研究系统主要是以，分析和设计系统，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点系统的数学模型系统的数学模型v用一个包含输入量、输出量及它们对时间的导数或积分的方程，来表示元件或系统的输出量与输入量之间的关系v微分方程的阶数：方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数常见的控制系统常见的控制

4、系统变量仅仅是时间的函数。变量仅仅是时间的函数。这类系统建立的动态数学模型通常是微分方程。这类系统建立的动态数学模型通常是微分方程。变量不仅是时间函数，而且还是空间的函数变量不仅是时间函数，而且还是空间的函数。这类系统建立的动态数学这类系统建立的动态数学模型通常是偏微分方程。如很大的蒸馏罐，温度随空间位置不同是模型通常是偏微分方程。如很大的蒸馏罐，温度随空间位置不同是有梯度变化的。在实际系统中，大多数系统都是分布式参数系统，有梯度变化的。在实际系统中，大多数系统都是分布式参数系统，但由于偏微分方程求解比较困难，因此在一定误差允许范围内，对但由于偏微分方程求解比较困难，因此在一定误差允许范围内，

5、对系统作一个近似，近似为集中参数系统，这样就可以用微分方程进系统作一个近似，近似为集中参数系统，这样就可以用微分方程进行分析。行分析。常见的控制系统常见的控制系统 能够用线性数学模型能够用线性数学模型( (线性的代数方程、微分方程、差分方程等线性的代数方程、微分方程、差分方程等) )描描述的系统，称为线性系统。这类系统的基本特性，即输出响应特性、述的系统，称为线性系统。这类系统的基本特性，即输出响应特性、状态响应特性、状态转移特性等均满足线性关系。状态响应特性、状态转移特性等均满足线性关系。 对于控制系统而言，由线性元件构成的系统为对于控制系统而言，由线性元件构成的系统为，其运动方，其运动方程

6、一般为线性微分方程。若其各项系数为常数，则称为程一般为线性微分方程。若其各项系数为常数，则称为。 在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和（可加性），并且当输入增大倍数时，输出相应增作用下的输出和（可加性），并且当输入增大倍数时，输出相应增大同样的倍数（均匀性），就满足叠加原理，因而系统可以看成线大同样的倍数（均匀性），就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系统性系统 非线性系统：描述系统的数学模型是非线性微分方程，其特性是不非线性系统：描述系统的数学模型是非线性微分方程，其特性是不能应用叠加原理。能应用叠

7、加原理。常见的控制系统常见的控制系统不满足叠加原理的系统，就是非线性系统。因此非线性系统对两个输入量不满足叠加原理的系统，就是非线性系统。因此非线性系统对两个输入量的响应不能单独进行计算，因此系统分析将比较困难，很难找到一般通用的响应不能单独进行计算，因此系统分析将比较困难，很难找到一般通用方法。但在实际系统中，绝对线性的系统是不存在的，通常所谓的线性系方法。但在实际系统中，绝对线性的系统是不存在的，通常所谓的线性系统也是在一定的工作范围内才保证线性的，如放大器，在小信号时可能出统也是在一定的工作范围内才保证线性的，如放大器，在小信号时可能出现现“死区死区”，在大信号时，又可能出现饱和现象，如

8、图所示即为几种常见，在大信号时，又可能出现饱和现象，如图所示即为几种常见的非线性的关系曲线。的非线性的关系曲线。tAydtdydtydsin)(222显然上面的微分方程不容易求解，系统分析很困难，所以常常需要引入显然上面的微分方程不容易求解，系统分析很困难，所以常常需要引入“等效等效”线性系统来代替非线性系统，这种等效线性系统仅在有限的工作线性系统来代替非线性系统，这种等效线性系统仅在有限的工作范围内是正确的。我们下面研究的系统就是线性系统或能等效为线性系统范围内是正确的。我们下面研究的系统就是线性系统或能等效为线性系统的非线性系统。的非线性系统。 非线性微分方程：非线性微分方程： 常见的控制

9、系统常见的控制系统 如果描述一个线性系统的微分方程的系数为常数，那么如果描述一个线性系统的微分方程的系数为常数，那么称系统为线性定常系统。称系统为线性定常系统。 如如 如果描述一个线性系统的微分方程的系数为时间的如果描述一个线性系统的微分方程的系数为时间的函数，那么称系统为线性时变系统。函数，那么称系统为线性时变系统。 如如 )(22233tudtdydtyddtyd)(22233tudtdydtydtdtyd系统的数学模型系统的数学模型 系统的数学模型2.1 控制系统微分方程的建立2.2 传递函数2.3 控制系统的框图和传递函数2.4 非线性方程的线性化2.5系统的数学模型系统的数学模型 系

10、统的数学模型2.1 控制系统微分方程的建立2.2 传递函数2.3 控制系统的框图和传递函数2.4 非线性方程的线性化2.5控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立v用一个包含输入量、输出量及它们对时间的导数或积分的方程，来表示元件或系统的输出量与输入量之间的关系v微分方程的阶数：方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数的微分方程的一般形式为10111( )( )( )( )mmmmmmd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt10111( )( )( )( )nnnnnnd c tdc tdc taaaa c tdtdtdt解析法写微分方程的一般步骤解析法写微分方程的一般步骤分

11、析系统运动的因果关系，确定系统的、及内部，搞清各变量之间的关系。忽略一些次要因素，。根据相关基本定律，列出各部分的。 列写中间变量的。 ！联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。将方程式化成标准形。 确定输入量输出量列写微分方程微分方程标准形式消去中间变量整理机械系统的微分方程机械系统的微分方程22d xFmdt22dTJdt机械系统的微分方程机械系统的微分方程cBffdxFFFfFdtFB称为黏性摩擦力，与运动速度成正比，f称为黏性阻尼系数。Ff称为恒值摩擦力。cBfcfdTTTKTdtTB称为黏性摩擦力矩，Kc称为黏性阻尼系数。Tf称为恒值摩擦力矩。机械平移系统举例机械平移

12、系统举例三个基本的无源元件：质量m,，弹簧k，阻尼器f三种阻碍运动的力：惯性力ma；弹性力ky；阻尼力fvkmfF(t)y(t)弹簧弹簧- -质量质量- -阻尼器串联系统。阻尼器串联系统。试列出以外力试列出以外力F F( (t t) )为输入量，以质量的位移为输入量，以质量的位移y y( (t t) )为输出量的运动方程式。为输出量的运动方程式。 遵照列写微分方程的一般步骤有： 确定输入量输入量为F(t)，输出量输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。机械平移系统举例机械平移系统举例 按牛顿第二定律列写原始方程，即kytFk )( )(dt

13、dyffvtFf 将以上辅助方程式代入原始方程,消去中 间变量,得)(22tFdtdyfkydtydm 整理方程得标准形)(122tFkydtdykfdtydkm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk 写中间变量与输出量的关系式mfF(t)y(t)k只有只有输入量输入量和和输出量输出量电气系统的微分方程电气系统的微分方程v基尔霍夫电流定律和电压定律v电阻、电感、电容两段电压、电流与元件参数的关系电气系统的微分方程电气系统的微分方程电阻电感电容串联系统。电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以串联电路，试列出以ur(t)为输入量，为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。

14、为输出量的网络微分方程式。 R C ur(t) uc(t) Li(t)由KVL写原始方程：确定输入量输入量为ur(t)，输出量输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。 rcuuRidtdiL 电气系统的微分方程电气系统的微分方程列写中间变量i与输出变量uc 的关系式: dtduCic 将上式代入原始方程，消去中间变量得 R C ur(t) uc(t) Li(t)整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为rcccuudtduTdtudTT 22221rcccuudtduRCdtudLC 22 rcuuRidtdiL 只有只有输入量输入量和和输出量输出量电气系统的微分方程电气系统

15、的微分方程v 由理想运算放大器组成的电路如图2-1-2所示，电压ui(t)为输入量，电压uo(t)为输出量，求它的微分方程式( )( )oidu tRCu tdt ( )( )oidu tTu tdt （2-1-11）（2-1-12）T=RC，时间常数电气系统的微分方程电气系统的微分方程v 试列写出图中无源网络的微分方程1212122()oioiduduR R CRR uR R CR udtdt线性微分方程的一般特征线性微分方程的一般特征观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110 rbdtdrbdtrdb

16、dtrdbmmmmmm11110式中，式中，c(t)是系统的输出变量，是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。是系统的输入变量。从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：系统的数学模型系统的数学模型 系统的数学模型2.1 控制系统微分方程的建立2.2 传递函数2.3 控制系统的框图和传递函数2.4 非线性方程的线性化2.5系统的数学模型系统的数学模型 系统的数学模型2.1 控制系统微分方程的建立2.2 传递函数2.3 控制系统的框图和传递函数2.4 非线性方程的线性化2.5拉氏变换拉氏变换复习拉氏变换及其性质复习拉氏变换及其性质00

17、)()()(的拉氏变换，是函数称为拉普拉斯积分；均为实数）。、（是复变数，式中：）（）（tfsFdtejssdtetftfLsFstst1.如果有一个以时间如果有一个以时间t为自变量的实变函数为自变量的实变函数f(t),它的它的定义域是定义域是t0，那么那么f(t)的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为它是一个复变函数，通常称它是一个复变函数，通常称F(s)为为f(t)的象函数，而的象函数，而称称f(t)为为F(s)的原函数；的原函数；L是表示进行拉氏变换的符号。是表示进行拉氏变换的符号。拉氏变换拉氏变换)0()()(xssXdttdxL )()(ssXdttdxL 若 ，则 0)0()0( xx)

18、()(222sXsdttxdL )()(sXsdttxdLnnn )0()0()()(222xsxsXsdttxdL 2.性质和定理性质和定理 L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) + bX2(s) 拉氏变换拉氏变换 sXsdttxL1 )0(1)0(1)(1)()2()1(22 xsxssXsdttxL若x1(0)= x2(0) = = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时， )0(1)(1)()1( xssXsdttxLX（-1）(0)是x(t)dt 在t=0的值。同理 sXsdttxL21 sXsdttxLnn1 拉氏变换拉氏变换 如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的

19、，并且 若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：)(lim)(lim0ssXtxst )(lim)0(ssXxs )(limssXs 存在，则拉氏变换拉氏变换L x(t )1(t ) = esX(s) Leat x(t) = X(s + a)(asaXatxL tdxtxLsXsX02121)()()()( 拉氏变换拉氏变换 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。 解：sesdtetxLsXstst11 )()(00求函数x(t)的拉氏变换。00 0( )0 0,Attx

20、 tttt 0tx(t)At0tx(t)01( )( )stX sL x tAedt 解：00000(1)ttt sststAAAedteess 拉氏变换拉氏变换 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。 解：sesdtetxLsXstst11 )()(00求函数x(t)的拉氏变换。00 0( )0 0,Attx tttt )1 ()(00ststesAesAsAsX 解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 ) 0tx(t)At0tx1(t)0A+tx2(t)0-At0tx(t)01拉氏变换拉氏变换 求正弦函数x(t) = sint 的拉氏变换。 解

21、：jeettjtj2sin 02dtejeesXsttjtj 221121 sjsjsj1)(cos22 tLsstL cossinj tetjt拉氏变换拉氏变换 几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换x(t)X(s)x(t)X(s)(t)11(t)1/s t1/(s+a)21 sate22()s22()ss22()sa22()sasasin tcos tsinatetcosatet传递函数传递函数v 传递函数是经典控制理论中重要的数学模型；v 经典控制理论研究的主要内容，就是系统输出和输入的关系，即如何由已知的输入量求输出量；v 微分方程的求解比较困难，尤其是高阶微分方程的求解，所以解微分方程

22、的方式仅适合于低阶微分方程；v 传递函数以拉普拉斯变换为基础，把控制系统的输出和输入关系表示得简单明了，利用传递函数不必求解微分方程就可以研究系统的输出响应；v 利用传递函数可以研究系统的结构、参数对其动态过程的影响，使分析问题的过程大大简化；v 可将对系统性能的要求转化为对传递函数的要求，从而使设计问题容易实现。传递函数传递函数v 传递函数是描述系统（或元件）的输入与输出关系的一种数学模型v 系统（元件）的传递函数G(s)的定义：在初始条件为零时，线性定常系统（元件）输出信号的拉氏变换式C(s)与输入信号的拉氏变换式R(s)之比。系统（元件）输出信号c(t)的拉氏变换系统（元件）输入信号r(

23、t)的拉氏变换( )( )( )C sG sR s( )( ) ( )C sG s R s传递函数传递函数线性定常系统的微分方程的一般形式a、b等为由系统结构、参数决定的常数零初始条件，做拉氏变换r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时均为0R(s) = Lr(t)C(s) = Lc(t)线性定常系统传递函数的一般形式输出信号的拉氏变换式C(s)和输入信号的拉氏变换式R(s)之比是一个只取决于系统结构的s的函数( )(1)(2)121( )(1)(2)0121( )( )( ).( )( )( )( )( ).( )( )nnnnnnnnnncta cta ctac ta c tb rtb r

24、tb rtbr tb r t121211011(.) ( )(.) ( )nnnnnnnnnsa sa sasaC sb sb sbsbR s101112121.( )( )( )( ).( )nnnnnnnnnb sb sbsbC sN sG sR ssa sa sasaD s由系统微分方程求系统传递函数由系统微分方程求系统传递函数传递函数传递函数试列写网络传递函数试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc )()()()(2sUsUsRCsUsULCsrccc 11)()()(2 RCsLCssUsUsGrc如图如图RLC电

25、路，电路，解：解：零初始条件下取拉氏变换零初始条件下取拉氏变换传递函数：传递函数：)()()(sUsURCsLCsrc12 R C ur(t) uc(t) Li(t)传递函数传递函数 求图所示机械系统的传递函数求图所示机械系统的传递函数G(s) = Y(s)/F(s)。kmfF(t)y(t)22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdt2( )( )( )( )ms Y sfsY skY sF s221( )1( )( )1Y skG smfF smsfsksskk关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明传递函数的概念适用于线性定常系统，它传递函数的概念适用于线性

26、定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应，传递函数的结与线性常系数微分方程一一对应，传递函数的结构和各项系数（包括常数项）完全取决于系统本构和各项系数（包括常数项）完全取决于系统本身结构，与输入信号的具体形式和大小无关。身结构，与输入信号的具体形式和大小无关。v同一个系统，若选择不同的变量作为输入信号和同一个系统，若选择不同的变量作为输入信号和输出信号，所得到的传递函数可能不同，因此求输出信号，所得到的传递函数可能不同，因此求传递函数时，必须指明输入量和输出量。传递函数时，必须指明输入量和输出量。v传递函数的概念主要适用于单输入、单输出的情传递函数的概念主要适用于单输入、单输出的情况。若系统有

27、多个输入信号，在求传递函数时，况。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除一个有关的输入量外，其他输入量（包括常值除一个有关的输入量外，其他输入量（包括常值输入量）一概视为零。输入量）一概视为零。关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。性质。截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。但研究某一种传递函数所得到的结论，可适用于具有这但研究某一种传递函数所得到的结论，可适用于具有这种传递函数的各种系统。种传递函数的各种系统。221( )1( )( )1Y skG

28、smfF smsfsksskk2( )1( )( )1crUsG sUsLCsRCsktmfF(t)y(t)12121ba sa s R C ur(t) uc(t) L关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明对于实际的元件和系统，传递函数是复变对于实际的元件和系统，传递函数是复变量量s的有理分式，其分子的有理分式，其分子N(s)和分母和分母D(s)都是都是s的有的有理多项式。理多项式。v传递函数的其他形式：传递函数的其他形式： 及及1212()().()( )( )( )()().()mnszszszN sG skD sspspsp221222221222(1)(21).(1)( )( )

29、( )(1)(21).(1)lvkssssN sG sKD ssT sT sT sT s 零极点表达式零极点增益/根轨迹增益时间常数形式放大系数关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明对于实际的物理元件和系统而言，输入量对于实际的物理元件和系统而言，输入量与它所引起的响应（输出量）之间的传递函数，与它所引起的响应（输出量）之间的传递函数，分子多项式分子多项式N(s)的阶次的阶次m总是小于分母多项式总是小于分母多项式D(s)的阶次的阶次n；v客观物理世界的基本属性所决定；客观物理世界的基本属性所决定；v反映了一个事实：一个物理系统的输出不能立即反映了一个事实：一个物理系统的输出不能立即完全复

30、现输入信号，只有经过一定的时间过程后，完全复现输入信号，只有经过一定的时间过程后，输出量才能达到输入量所要求的数值。输出量才能达到输入量所要求的数值。v例如机械系统中物体有质量、会产生形变、有摩例如机械系统中物体有质量、会产生形变、有摩擦；电气网络中，存在电容、电感等储能元件；擦；电气网络中，存在电容、电感等储能元件；关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明在传递函数在传递函数G(s)中，自变量是复变量中，自变量是复变量s，称，称传递函数是系统的复域描述；在微分方程中，自传递函数是系统的复域描述；在微分方程中，自变量是时间变量是时间t，称微分方程是系统的时域描述。，称微分方程是系统的时域描

31、述。令系统传递函数分母等于零所得方程称为令系统传递函数分母等于零所得方程称为特征方程，即特征方程，即D(s) = 0。特征方程的根成为特征根。特征方程的根成为特征根。特征根就是传递函数的极点。特征根就是传递函数的极点。基本环节及其传递函数基本环节及其传递函数v环节：把一个复杂的控制系统分成一个个小部分v基本环节：最小环节放大环节放大环节(比例环节比例环节)v放大环节的动态方程：v放大环节的传递函数：v特点：输出量与输入量成比例，传递函数是一个常数v实例：放大器、齿轮减速器( )( )c tKr t( )( )( )C sG sKR s惯性环节惯性环节v惯性环节的动态方程：v惯性环节的传递函数：

32、vT为惯性环节的时间常数( )( )( )dc tTc tr tdt( )1( )( )1C sG sR sTs积分环节积分环节v积分环节的动态方程：v积分环节的传递函数：v输出量等于输入量的积分( )( )c tr t dt( )1( )( )C sG sR ss( )1( )( )oiUsG sU sRCs 振荡环节振荡环节v振荡环节的动态方程：v振荡环节的传递函数：vT为时间常数，n为无阻尼自振角频率，为阻尼比，皆为常数，其中n = 1/T。v注意：0 1，这时输出信号具有振荡的形式。222( )( )2( )( ) (01)d c tdc tTTc tr tdtdt22222( )1(

33、 )(01)( )212nnnC sG sR sT sTsss纯微分环节纯微分环节v纯微分环节的动态方程：v纯微分环节的传递函数：v输出信号是输入信号的微分( )( )dr tc tdt( )( )( )C sG ssR s一阶微分环节一阶微分环节v一阶微分环节的动态方程：v一阶微分环节的传递函数：v是该环节的时间常数( )( )( )dr tc tr tdt( )( )1( )C sG ssR s二阶微分环节二阶微分环节v二阶微分环节的动态方程：v二阶微分环节的传递函数：v和都是常数， 为该环节的时间常数222( )( )( )2( )d r tdr tc tr tdtdt22( )( )2

34、1( )C sG sssR s延迟环节延迟环节v延迟环节的动态方程：v延迟环节的传递函数：v是常数，为该环节的延迟时间，延迟环节任意时刻的输出值等于时刻以前的输入值。( )()c tr t( )( )( )sC sG seR s电气网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数v运算法建立电气网络的传递函数：运算法建立电气网络的传递函数：u把电流、电压换成相应的拉氏变换式；u把电阻、电感、电容换成相应的运算阻抗；u把运算阻抗当作普通电阻；u依据电路定律，建立电气网络的传递函数；R RL LsC 1/Csi(t) I(s)u(t) U(s)实例实例v在图中，电压u1和u2分别是输入量和输出

35、量，求该电路的传递函数G(s) = U2(s)/U1(s)211( )1( )1( )1ssCUsG sUsRCsRC实例实例v在图中，电压u1和u2分别是输入量和输出量，求该电路的传递函数G(s) = U2(s)/U1(s)22112( )( )( )(1)UsRG sUsR R Cs 实例实例v图中，电压u1和u2分别是输入量和输出量，求该电路的传递函数G(s) = U2(s)/U1(s)21( )( )( )1UsRCsG sUsRCs小结小结是经典控制理论中重要的数学模型，利用传递函数不必求解微分方程就可以研究系统的输出响应v系统（元件）的传递函数G(s)的定义：在初始条件为零时，线性

36、定常系统（元件）输出信号的拉氏变换式C(s)与输入信号的拉氏变换式R(s)之比。101112121.( )( )( )( ).( )nnnnnnnnnb sb sbsbC sN sG sR ssa sa sasaD s系统的数学模型系统的数学模型 系统的数学模型2.1 控制系统微分方程的建立2.2 传递函数2.3 控制系统的框图和传递函数2.4 非线性方程的线性化2.5系统的数学模型系统的数学模型 系统的数学模型2.1 控制系统微分方程的建立2.2 传递函数2.3 控制系统的框图和传递函数2.4 非线性方程的线性化2.5控制系统的框图和传递函数控制系统的框图和传递函数（或动态结构图，简称框图）

37、u图形表示的数学模型u清楚表示出输入信号在系统各元件之间的传递过程u方便地求出复杂系统的传递函数框图的概念和绘制框图的概念和绘制v四大要素：u函数方框u信号流线u相加点u分支点v绘制方框图的依据：系统各个环节的动态微分方程式及其拉氏变换式。v一个系统可以具有不同的框图，但输出和输入信号的关系都是相同的系统方程组的列写和整理系统方程组的列写和整理v1、从输出量开始写，以系统输出量作为第一个方程左边的量v2、每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始，每个方程左边的量是前面方程右边的中间变量v3、列写方程时尽量用已出现过的量v4、输入量至少要在一个方程的右边出现；除输入量外，在方程右边出现过的中间变

38、量一定要在某个方程的左边出现控制系统的框图和传递函数控制系统的框图和传递函数v在图中，电压u1(t)、u2(t)分别为输入量和输出量，绘制它的框图。控制系统的框图和传递函数控制系统的框图和传递函数v试绘制图中所示的无源网络结构的方框图控制系统的框图和传递函数控制系统的框图和传递函数v试绘制图中所示的无源网络结构的方框图)()()()()()()()()(211221tutudtdCtiRtututiRtitituoioioi1(t)i2(t)()()()()()()()()(211221sUsUsCsIRsUsUsIRsIsIsUoioiosCUi(s)I2(s)Uo(s)1/R1Ui(s)I

39、1(s)Uo(s)R2I1(s)Uo(s)I2(s)控制系统的框图和传递函数控制系统的框图和传递函数v试绘制图中所示的无源网络结构的方框图sCUi(s)I2(s)Uo(s)1/R1Ui(s)I1(s)Uo(s)R2I1(s)Uo(s)I2(s)1/R1I2(s)sCUi(s)I1(s)R2Uo(s)1/R1I2(s)sCUi(s)I1(s)R2Uo(s)1/R1sCUi(s)R2Uo(s)框图的变换规则框图的变换规则v等效原则：变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。串联环节的简化串联环节的简化vn个环节串联的等效传递函数等于n个传递函数相乘31230( )( )( )

40、( )( )( )XsG sG s G s G sXs120( )( )( )( ).( )( )nnXsG sG s G sGsXs并联环节的简化并联环节的简化vn个环节并联，其总的等效传递函数是各环节传递函数的代数和41230( )( )( )( )( )( )XsG sG sG sG sXs反馈回路的简化反馈回路的简化vY(s)称为反馈信号，E(s)称为偏差信号( )( )( )( )1( )( )C sG ssR sG s H s“+”适合负反馈系统“-”适合正反馈系统前向通路传递函数反馈通路传递函数闭环传递函数开环传递函数“-”适合负反馈系统“+”适合正反馈系统相加点和分支点的移动相

41、加点和分支点的移动v1、相加点前移1()CAGBG ABG相加点后移？相加点和分支点的移动相加点和分支点的移动v2、相加点之间的移动v两个相邻的相加点之间可以相互交换位置而不改变该结构输入和输出信号的关系。此结论对多个相加点也是适用的DABCACB相加点和分支点的移动相加点和分支点的移动v3、分支点后移1( )( )AAG sG s分支点前移？相加点和分支点的移动相加点和分支点的移动v4、相邻分支点之间的移动v从一条信号流线上无论分出多少条信号线，都代表同一个信号，所以，一条信号流线上的各分支点之间可以随意改变位置，不必作任何其他改动。框图的化简框图的化简v1、将显而易见的串联、并联环节和基本

42、反馈回路用一个等效的函数框图代替v2、通过移动分支点或相加点来解除交叉结构，将剩余框图逐步变换为串联、并联环节和基本反馈回路v3、再逐步用等效环节代替框图的化简可以用于求解系统的传递函数框图的化简框图的化简v简化图所示的多回路系统，求闭环传递函数C(s)/R(s)及E(s)/R(s)。交叉结构框图的化简框图的化简框图的化简框图的化简343232343232123411( )( )1G G HG G HE sR sG G HG G HG G G G H123434323212341( )( )1G G G GC sR sG G HG G HG G G G H框图的化简框图的化简v简化下图所示的系

43、统的结构图，并求系统传递函数(s)框图的化简框图的化简v简化下图所示的系统的结构图，并求系统传递函数(s)框图的化简框图的化简框图的化简框图的化简框图的化简框图的化简v试简化图中所示的系统的结构图，并求系统的传递函数(s)闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数v系统中的信号系统中的信号u有用信号：参考输入、控制输入、指令输入及给定值u扰动信号v前向通路的传递函数加在控制对象上12( )( )( )G sG s Gs系统的开环传递函数系统的开环传递函数v系统的开环传递函数：前向通路的传递函数与反馈通路的传递函数之积输出对参考输入的闭环传递函数输出对参考输入的闭环传递函数v输出对参考输入的闭环传递函

44、数：当扰动输入信号为零时，输出对输入的传递函数1212( )( )( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )G s G sC sG ssR sG s G s H sG s H s输出对于扰动输入的闭环传递函数输出对于扰动输入的闭环传递函数v输出对扰动输入的闭环传递函数：设置参考输入信号R(s) = 0。2212( )( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )FG sG sC ssF sG s G s H sG s H s系统的总输出系统的总输出v线性系统的信号符合叠加原理vR(s) 0, F(s) 0v系统总输出：1212212( )( )( )( ) ( )(

45、 ) ( )( )1( )( )( )( )( )1( )( )( )FG s G sC ss R ss F sR sG s G s H sG sF sG s G s H s 偏差信号对于参考输入的闭环传递函数偏差信号对于参考输入的闭环传递函数v偏差信号E(s)的大小反映误差的大小v求偏差信号对于参考输入的闭环传递函数时，令F(s) = 0；12( )11( )( )1( )( )( )1( )( )EE ssR sG s G s H sG s H s偏差信号对于扰动输入的闭环传递函数偏差信号对于扰动输入的闭环传递函数v令R(s) = 02212( )( )( )( )( )( )( )1(

46、)( )( )1( )( )EFG s H sG s H sE ssF sG s G s H sG s H sF(s)系统的总偏差系统的总偏差v应用叠加原理( )( ) ( )( ) ( )EEFE ss R ss F s 补充内容：信号流图信号流图信号流图v信号流图的意义：u方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。u采用信号流图，可利用Mason增益公式直接求得系统任意两个变量间的关系v定义：表示一组联立线性代数方程的网络图，是有节点和支路组成的信号传递网络。信号流图信号流图v术语：u节点：表示系统变量。以小圆圈表示u支路：连

47、接节点之间的有向线段。支路上箭头的方向表示信号传递方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称为支路传输u输入节点：仅有输出支路的节点u输出节点：仅有输入支路的节点。有时需人为引出一条增益为1的支路，形成输出节点u混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点信号流图信号流图v前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终达到输出节点的通路v前向通路总增益：前向通路上各支路增益之乘积，用Pk表示v回路：起点和终点在同一节点，并与其他节点相遇仅一次的通路v回路增益：回路中所有支路的乘积，用La表示v不接触回路：没有公共节点的回路信号流图的性质信号流图的性质v信号流图只适用于线性系统v支路

48、表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递v在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路v具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理v对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的信号流图的绘制信号流图的绘制v两种方法：两种方法：u由微分方程绘制s方程u由系统方框图绘制v例例 画出图中所示系统方框图的信号流图画出图中所示系统方框图的信号流图信号流图的等效变换法则信号流图的等效变换法则梅森增益公式梅森增益公式1( )nkkkPs1.iijijkLL LL L L 梅森增益公式求传递函数梅森增益公式求传递函数v对于图中所示的框图，求(s) = U2(s)/U1(s) 及 E(s) = E(s)/U1(s) ，其中E(s) = U1(s) U3(s)。梅森增益公式求传递函数梅森增益公式求传递函数v对于图中所示的框图，求(s) = U2(s)/U1(s) 及 E(s) = E(s)/U1(s) ，其中E(s) = U1(s) U3(s)。2211212111222( )1( )( )()1UssUsR R C C sR CR CR Cs2121211122112121112