---感悟新题的创编

1、探源 归真 -感悟新题的创编江西省临川二中 黄金声(344100)中考，是莘莘学子们成长道路上的驿站；中考试题，是老师们课堂教学的最真最爱。那一道道构思精巧、意料之外却又在情里之中的试题新题，为老师们提供了最亮丽的舞台。那么，新题从哪里来？近年来，笔者在这方面潜心钻研，偶有所悟，现忐忑上呈,求教于智者。OBCDA来源一：课本习题 课本，是教之本，学之本，它的博大、深邃，是新题的源头之一.原型题 如图，AB是O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC是BAD的平分线。点评：这是一道课本例题，旨在考查对切线性质定理及其推论的掌握程度。如何挖掘此题的潜能呢？我们注意到题

2、图中有“机”可乘，即B、C未连结，过B点可作CD的垂线，AD与圆O相交 ,但未标出交点等。至此，一个源于课本但又OACEDFB高于课本的新题便“应运而生”. 创编题1 如图，AB是O的直径，CD切O于E，ACCD于C，BDCD于D，交O于F，连结AE、EF。（1）求证：AE是BAC的平分线；（2）若F是EB的中点，求BF：FD的值；（3）在（2）的条件下，试判断EF与AB的位置关系，并加以证明.。创编题2 探究性活动：折纸找正多边形的边长（1）材料：透明纸，圆规，直尺，笔（2）步骤：在透明纸上画O；ACEGOBDF过圆心O将O对折，折痕交O于A、B两点；将O再对折，使点A、B重合，折痕交O于C

3、、D两点；将点A与点O重合对折，折痕交O于E、F两点，交AB于点G。如图所示，连结AB、CD、EF、AE、EC、AC。（3）问题： 写出图中所有的互相垂直的线段： 经探索后可知，线段AE是正 边形的一边长。求证：以点E、F、B为顶点的三角形是正三角形。现确认，再折一次，能折出正八边形的边长，请结合上图加以说明。再让你折一次，你能折出正二十四边形的一边长吗？若能，请结合上图加以证明；若不能，请说明理由。结合本次探究性活动，请你探寻折纸找出（部分）正多边形边长的一般规律。 点评：本题来源于课本的”读一读”,将它以折纸的形式展示出来,便赋予了习题新的内涵. 来源二：高中习题 降低试题难度，尝试用初中

4、的知识去解决它，就能编出漂亮的新题。O(A)CBPxy 创编题 3 如图，平面直角坐标系中，ABC的斜边AB在y轴的正半轴上，一直角边AC在射线OP上，且顶点A与原点重合，已知AC=3，BC=4，随着顶点A由O点出发沿OX滑动（点A始终在X轴上），顶点B也沿着y轴向点O滑动，这样，顶点C的位置也相应改变。（1） 当顶点A的滑动距离OA=2时，顶点B下滑的距离是多少？（2） 设点C的横坐标为m，问在滑动过程中，顶点C是否总在射线OP上？若在，请加以证明，并求出m的取值范围；若不在，请说明理由。（3）在（2）的情况下，当顶点B下滑到点O处（即B、O两点重合）时，顶点C在从滑动开始到结束的整个过程中

5、移动的路程是多少？说明：此题的原型题为求点C的轨迹。来源三：各类资料中的素材创编题 4 下面的数据来源于网站： http:首页网上调查（03/1/2） 生成时间：2003/01/02-17:37:59 2003/01/04-11:16:27CCTV.com将推出音乐频道，您最想看到的内容是： 试听最新流行歌曲7011票民族音乐作品欣赏3490票经典交响音乐点播2930票学习各类音乐知识2708票大型音乐活动报道2064票了解名家成长历程1484票音乐名家在线交流1386票（1）共有多少人参与了投票？（2）请算出七个内容各占调查总数的百分比。（3）请用条形统计图和扇形统计图大致反映出上述内容。（

6、4）假如你是音乐频道的总策划，你认为应该突出的节目内容是什么？创编题 5 江西省各级教育生均预算内公用经费增长情况如下：普通小学： 2000年为9.55元，2001年为17.76元，增长率为85.97%。普通初中：2002年为17.89元，2001年为25.08元。普通高中： 2002年为 40.92元，2001年为43.96元，增长率为7.43%。职业中学：2000年为80.90元，2001年为73.61元，增长率为-9.01%。（数据来源中国教育报2003年1月4日）（1）请算出相应的普通初中的增长率是多少？（2）职业中学的增长率为负数，这说明了什么？ABCDEMN（3）请用一个统计表来表

7、述题目中所有的数据。（4）针对表格中的数据，你还能提出哪些相关问题？ 来源四：各类复习资料中的习题 原型题 如图，RtABC中，C=90，AC=BC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，又M是AB的中点，求证：MDE是等腰直角三角形。点评：在证明时要连结CM，证明BDMCEM,若用动态观点审视它，实际上是将BDM绕点M逆时针旋转90得CEM，这样本题就“变死为活”，新题便跃然纸上。创编题 6 将一直角三角形的直角顶点M放在等腰直角三角形ABC 斜边的中点，另两直角边分别与线段BC、AC交于D、E两点。ABCDEMNABCMN（1）如图，当点D是BC的中点时，求证：MD=ME；(2)当绕着直

8、角顶点M旋转时，该直角三角形两直角边与ABC两直角边的交点位置随之发生变化。有三位同学提出各自的判断.甲：MDE的周长会发生变化乙：MDE的面积会发生变化ABFCDE丙：MDE的形状会发生变化你认为哪一位同学的判断是错误的? 请加以证明原型题 如图，正方形ABCD的边长为1，点E在线段AB上，点F在线段BC上， 已知BEF的周长为2,求EDF的度数. 点评：这是学生课后问我的一个题,我当时便脱口而出:EDF一定是特殊角.果然,经过求解得EDF=45.但在求解的过程中,感觉入手较难,结合求解过程并经过深入思考,得到下面新题.ABFCGDE创编题7 如图，正方形ABCD的边长为1，点E在线段AB上

9、，点F在线段BC上，且EDF=45，延长BC到G，使CG=AE。（1）求证：DEDG；(2)将EFD绕点D任意旋转（点E、F均不与点A、B、C重合) 问：BEF的周长是否为一常数？若是，请求出BEF的周长；若不是，请说明理由。创编题8 已知关于x的方程 + =2 （1）若方程有增根x=-1，求a的值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围。点评：这是由一个常见的解分式方程题改造而成的新题，此题将一元二次方程的概念、一元二次方程根的判别式、分式方程增根的产生等知识的考查巧妙地结合起来，韵味多多。来源五: 生活实践 有人说过,我们生活在数学世界.确实,生活中处处有数学.下面一例就是明证.

10、创编题9 甲、乙两车相向行驶在一段狭窄的道路CD上，当发现两车不能同时通过时，甲车停在A处，乙车停在B处。经测定，必须使甲车倒至C处或乙车倒至D处，这样让道才能通过。已知甲车的速度是乙车的2倍，两车倒车的速度均为各自正常速度的1/5，AB=5米，BD=30米。为了使两车尽快通过，当一辆车在倒车时，另一辆车可以对方倒车相同的速度跟进直至驶出窄道，设AC=x米（x0），甲车的速度为v，且若由甲车倒车然后两车均通过狭窄道路的时间为t。（1）用含t、v的代数式表示x； （2）若由甲车倒车可使两车更快都通过这段狭窄的道路，求x的取值范围。BACDFCBDAE来源六 : 竞赛题. 将竞赛题难度适当降低,并

11、根据其所含知识点重新整合,是新题的重要来源之一.原型题 如图，已知ACE=CDE =90，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于点F，求证：F为CDE的内心。（95年全国初中数学竞赛试题）创编题10 如图，ACBC，AC=CB=CD，过A、C、D三点的圆交BC于E，交AB于F，CD交AB于点H。FCBDAEH（1）写出图中所有的相似三角形（不再添加其它的字母及线段）；（2）求证：CF平分DCB；(3) 线段AF上是否存在一点P，使以AP、PF、FB三条线段长为三边构成一直角三角形？若存在，请找出符合条件的所有P点，并加以证明；若不存在，请说明理由.（1）解：ABCEBF，

12、ACHDFH，CDFCBF（2）证明一：连结DBCD = CB CDB = CBDA=CBF =45A=CDF =45CBF=CDF FDB=FBD FD =FB CD = CB在CDF与CBF中， CF = CF CDF CBF FD = FBDCF =BCF 即CF平分DCB。证明二：连结ADCA =CD CAD =CDA又 CDA = CFA CAD =CFACAD = CAB +BAD = 45+BADCFA = FCB +B = 45+FCBBAD = FCDFCD = FCB即CF 平分DCB（3）存在，且满足题意的点有两个。证明一：连结AE，作AE的中垂线交AF于一点，则该点为符

13、合条件的点P。连结PE，则AP =PEPFE =90 EF=FB PE2 = PF2 +EF2即AP2 =PF2 +FB2又 在AF上截取AP=PF，则有AP2 +FB2 = PF2故点P也是满足题意的点。证明二：连结AD，作AD的中垂线交AF于点P，则点P为符合题意的点。连结PD，则AP=PDPAD = PDACA =CD CAD =CDA CDP = CAP =45PDF =90 PF2 =PD2 +DF2又DF=FB PF2 =AP2 +FB2又 在AF上截取AP =PF，则有AP2 =PF2 +FB2故点P也是符合题意的点。证明三：过点D作DPDF交AF于点P，则点P为符合题意的点（连

14、结CP、AD。证略）点评:本题涉及知识面广，包括圆周角定理及推论、垂径定理推论、相似三角形判定定理、全等三角形判定定理、三角形内角和定理推论、勾股定理、线段的垂直平分线定理、等腰三角形性质、圆内接四边形性质、基本作图等，考查了“特殊与一般”、“转化”、“构造”、“分类讨论”等基本的数学思想方法。解答此题时，学生要经历观察、分析、猜想、论证等探索过程，立意自然，环环相扣，步步为营，以基本作图为探索手段，突破了传统的考查空间思维能力模式，寓意新颖。题（1）答案中有CDFCBF，这要求学生充分理解相似三角形的概念，知道全等是相似比为1的相似的特殊情况，且解题的启示来源于题（2）的问题，即从未知中获得已知，捕获信息的角度独特。题（2）中的“证明一”，学生极有可能误用“边边角”证两个三角形全等（即CD=CB，CF=CF，CDF=CBF=45），但是从另一角度考虑，这又为学生论证“两个钝角三角形可用边边角证明全等”提供了空间，从而拓展了证明两个三角形全等的思路，寓学于考，相互融合。题（3）突破了传统的存在性问题思维模式，以基本作图为阶梯，并通过从题（1）（2）中获得（或推出）的结论FB=EF=DF进行转化，巧妙地以多种方式构造直角三角形，使问题得到解决，这样突出了对数学思想及思维方式的考查，进一步使三个问题构成一个有机整体，