二次型及其标准形

1、在平面解析几何中，我们知道标准方程在平面解析几何中，我们知道标准方程122yBxA中中222Ryx的图形为的图形为圆圆。12222byax的图形为的图形为椭圆椭圆。12222byax的图形为的图形为双曲线双曲线。对于一般二次曲线对于一般二次曲线dcybxyax22的图形是什么？的图形是什么？6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示引言引言判别下面方程的几何图形是什么？判别下面方程的几何图形是什么？)1(103222 yxyxcos( )sin( )sin( )cos( )xxyyxy 作旋转变换作旋转变换代入代入(1)左边，化为：左边，化为：22511022xy见图所示见图所示.6 221

2、420 xyxyxy称为称为二次型。二次型。（1）1221111212131311222223232221,111,1(,)222 22 2 nnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xaxaxx 2 nnna x 含有含有n个变量个变量 的二次齐次多项式的二次齐次多项式12,nx xx定义定义1：例如：例如：22( , )45f x yxxyy22( , , )2f x y zxyxzyz1234122324(,)f xxxxx xx xx x 都是二次型。都是二次型。22( , )5f x yxy 22( , )22f x yxyx 不

3、是二次型。不是二次型。2211111222121122211222212 nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxx ijjiaa 取取2ijijijijjiija x xa x xa x x 则则则（则（1）式可以表示为）式可以表示为11112211()nna xa xxxa 21122222()nna xa xxxa 1122()nnnnnna xaxxax ,1nijiji ja x x 二次型用和号表示二次型用和号表示11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xx xxa xa xa x 11112

4、12122221212(,) nnnnnnnnxaaaaaaxx xxaaax 12 nxxXx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 令令 TfX AX 则则其中其中A为对称为对称矩阵。矩阵。二次型的矩阵表示（重点）二次型的矩阵表示（重点）注注1、对称矩阵、对称矩阵A的写法：的写法：A一定是一定是方阵方阵。2、其对角线上的元素、其对角线上的元素iia恰好是恰好是nixi, 2 , 12的系数。的系数。3、jixx的系数的一半分给的系数的一半分给.jia可保证可保证.jiijaa 1123231-20(,) -201/2 01/2-3xxxxxx 22123131223 (

5、,)34f x xxxxx xx x 例如例如：二次型：二次型注：二次型注：二次型 对称矩阵对称矩阵把对称矩阵把对称矩阵 称为称为二次型二次型 的矩阵；的矩阵；Af也把二次型也把二次型 称为对称矩阵称为对称矩阵 的二次型的二次型fA对称矩阵对称矩阵 的秩称为的秩称为二次型二次型 的秩。的秩。Af TfX AX 二次型二次型定义定义2：例例1写出下面二次型写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求的矩阵表示，并求 f 的秩的秩r(f)。解解3231213322211410695xxxxxxxxxf AxxxxxxxxT 321321975753531,BxxxxxxxxxxxfT 3213213219

6、87654321,),(2)r()r( Af： 在二次型在二次型 中中,如不限制如不限制 A对称对称, A唯一吗唯一吗?AxxfT 只含平方项的二次型只含平方项的二次型2222211nnxkxkxkf nnnxxkkxx111,称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或法式或法式)。平方项系数只在平方项系数只在 中取值的标准形中取值的标准形0 , 1, 1 221221rppxxxxf (：这里规范形要求系数为：这里规范形要求系数为1的项排的项排在前面，其次排系数为在前面，其次排系数为-1的项。的项。)称为二次型的称为二次型的规范形规范形。 )1(,1,21 njijiijnxxaxxxf对给定

7、的二次型对给定的二次型找可逆的线性变换找可逆的线性变换(坐标变换坐标变换)： nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111)(可逆可逆其中其中ijcC 代入代入(1)式，使之成为标准形式，使之成为标准形2222211nnykykykf 称上面过程为称上面过程为化二次型为标准形化二次型为标准形。简记简记nnycycycx12121111,)(,nnijcCCYX设设,21TnxxxX.,21TnyyyY若若一、一、 非退化线性变换（可逆线性变换）非退化线性变换（可逆线性变换）nnycycycx22221212nnnnnnycycycx22

8、11为为可逆线性变换。可逆线性变换。CYX 当当C 是可逆矩阵时是可逆矩阵时, , 称称6.2 化化二次型为标准型二次型为标准型当当C是正交矩阵时，称是正交矩阵时，称为为正交变换正交变换。XCY对于二次型，我们讨论的对于二次型，我们讨论的主要问题主要问题是：是：寻求寻求可逆的可逆的线性变换，使二次型只含平方项。线性变换，使二次型只含平方项。,1nTijiji jfX AXa x x 即二次型即二次型经过可逆线性变换经过可逆线性变换CYX 2221122 nnfk yk yk y 使得使得为什么研究可逆为什么研究可逆的变换？的变换？即经过可逆线性变换即经过可逆线性变换CYX 可化为可化为AXXf

9、TYACCYTT)()()(CYACYTACCBT令),(,21nkkkdiagB矩阵的合同：矩阵的合同： . , , , BAACCBCBAnT合同于合同于则称则称使得使得若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵、阶方阵阶方阵两个两个 证明证明TTTACCB)( ) 1 (2) TBC ACC因为 可逆)()( ArBr所所以以 )()( )2( )1(ArBrACCBT 仍仍是是对对称称矩矩阵阵定理定理 设设A为对称矩阵，且为对称矩阵，且A与与B合同，则合同，则TTTTCAC)(BACCT注：合同仍然是一种等价关系注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：矩阵合同的性质：(1) 反身性反身性(2) 对

10、称性对称性(3) 传递性传递性记作记作AB二二. 化二次型为标准形化二次型为标准形正交变换法正交变换法（重点）（重点） 配方法配方法目标：目标：AXXfT 二二次次型型 CYX 可可逆逆线线性性变变换换YACCYfTT)( 标准形标准形2222211nnykykyk YYT 问题转化为：问题转化为： 为为对对角角矩矩阵阵，使使得得求求可可逆逆矩矩阵阵ACCCT回忆：回忆：, TA 总存在正交矩阵总存在正交矩阵对于任意实对称矩阵对于任意实对称矩阵 ATT1 使使得得，为正交矩阵，即为正交矩阵，即又又ETTTT TTT 1 所以所以, TA 总存在正交矩阵总存在正交矩阵对于任意实对称矩阵对于任意实

11、对称矩阵ATTT 使得，使得，此结论用于二次型此结论用于二次型所以，所以，(P191 定理定理6.2.1) 总有总有任给二次型任给二次型,1,jiijnjijiijaaxxaf ,2222211nnyyyf .)(,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中ijnaAf 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换fPyx, 1. 正交变换法正交变换法(重点重点)3231212322213214844,xxxxxxxxxxxxf124242421A 4512424250512424242112AE4, 5:321的特征值为所以 A101,0121:, 05, 522121得基础解系为解对XAE解

12、解 二次型的矩阵二次型的矩阵为为例例1 1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。TXAE1 ,21 , 1:, 04, 433得基础解系为解对3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：1231421112,2 ,1 ,3545052 4, 5 , 5,32455031452523245451,41321diagAQQAQQQQT并且是正交矩阵。则令5)5)写出正交变换写出正交变换 X=QY，则可得标准型，则可得标准型222123554fyyy注：正交变换化为标准形的优点：注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持

13、曲线在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何形状不变。（曲面）的几何形状不变。例例2 ,把把二二次次型型求求一一个个正正交交变变换换Pyx ,0111101111011110 A433241312122222xxxxxxxxxxf 化为标准形。化为标准形。 111111111111 AE 1111111111111)1( icc 14 , 3 , 2 i1000212022101111)1( 120210111)1(2 1rri 4 , 3 , 2 i展展开开按按4r)3()1(1221)1(32 1, 34321 得基础解系得基础解系解方程解方程时时当当0)3(,31 xAE 11111 单位化

14、单位化 1111211p0)(,1432 xAE解解方方程程时时当当 1111,1100,0011432 得正交的基础解系得正交的基础解系 111121,110021,001121432ppp单位化单位化 2202220220222022221,4321ppppP242322213yyyyf yPx 用正交变换用正交变换 ，二次型，二次型 f 化为标准形为化为标准形为例例332212221321442),(xxxxaxxxxxf 设二次型设二次型经正交变换经正交变换 化为标准形化为标准形yQx 2322214ybyyf 求求 (1) a , b ; (2) 正交变换矩阵正交变换矩阵 Q .Db

15、AQQAQQT 411 02022022aA二次型的矩阵为二次型的矩阵为由题意由题意由相似矩阵的性质得由相似矩阵的性质得 ，从而，从而)tr()tr(,DADA 410248bab2, 1 ba解得解得A与与D有相同的特征值，分别为有相同的特征值，分别为4, 2, 1321 T)2 , 1, 2(1 T)1 , 2, 2(3 T)2 , 2 , 1(2 求得它们对应的特征向量求得它们对应的特征向量(正交正交)为为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵 12222121231Q2. 配方法配方法 同时含有平方项同时含有平方项2ix与交叉项与交叉项jixx

16、的情形。的情形。22220212323233(24)15()xxxxxx222123112132323( ,)(48)44f x x xxx xx xxxx x用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：解：2222204212332322333(24)15() )xxxxx xxx3231212322213214844),(xxxxxxxxxxxxf2221231233232(24)(24) 1520 xxx xxxxx x22123323(24)1520 xxxxx x321142xxxy22233yxx23xy 令令二次型的标准形为二次

17、型的标准形为22220123315fyyy1122331242013010yxyxyx112233214320132013xyxyxyYCX 112342/3xyyy223(2/3)xyy323(2/3)xyy即即为标准形为标准形, ,并求出所作的可逆线性变换并求出所作的可逆线性变换.312132142),(xxxxxxxf例例5 5 用配方法化二次型用配方法化二次型211yyx解解 令令212yyx33xy323122213214422),(yyyyyyxxxf233222233121242)2(2yyyyyyyy232231)(2)(2yyyy 只含交叉项只含交叉项),(kjixxji的情

18、形。的情形。311yyz223zyy33yz 211zzy322zzy33zy 即即令令.222221zzf100011011321xxx321yyy321yyy100110011321zzz321xxx100011011100110011321zzz100211011321zzz211zzx32122zzzx33zx 所用的可逆线性变换为所用的可逆线性变换为ZCX 1、._,0000000000000004,1111111111111111BABA与则设(1) 合同且相似；合同且相似；(2) 合同但不相似；合同但不相似；(3) 不合同但相似；不合同但相似； (4) 不合同且不相似；不合同且不

19、相似；化为标准形经正交变换、设PYXAXXfT2,3232221yyyf求原二次型。），的一个特征向量为（对应若,1223TA经正交变换经正交变换例例1 1中中3231212322213214844,xxxxxxxxxxxxf 惯性定理惯性定理112233221353 5142353 552033 5xyxyxy标准形为标准形为222313212155(4,)yyyg y yy(1)(1)6.3 正定正定二次型与正定矩阵二次型与正定矩阵(2)(2)用配方法用配方法, ,得可逆线性变换得可逆线性变换21132223331400101xyxyxy标准形为标准形为222122123320,3(,)1

20、5gyyyyyy标准形为标准形为222313212155(4,)yyyg y yy(1)(1)唯一确定。唯一确定。小结：小结：二次型的标准形不唯一，但平方项个数被二次型的标准形不唯一，但平方项个数被 f 的矩阵的矩阵A对式对式(1) (1) 、(2)(2)作可逆线性变换作可逆线性变换511Zy 522Zy 233Zy (1)(1)11Zy 2220/3Zy 1533Zy (2)(2) f 的的标准形化为标准形化为232221ZZZf称称(3)(3)式为式为二次型的规范形二次型的规范形. .(3)(3) 二次型必可化为规范形。二次型必可化为规范形。证证 设二次型设二次型 f(x) = xTAx

21、( r(A)=r )经正交变换化为经正交变换化为:)0(22112211 irrppppkykykykykf再做一次可逆的线性变换再做一次可逆的线性变换 nrizyrizkyiiiii, 1 , 2 , 11则则 f 化为化为221221rppzzzzf 思考：在可互化的二次型思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？单的矩阵是什么？(1) 二次型的标准形唯一吗？二次型的标准形唯一吗？ (2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数

22、有秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？何关系？ (3) 设设CTAC = D (C可逆，可逆，D是对角阵是对角阵)，D的对角的对角元是元是A的特征值吗？如果的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？是正交矩阵又如何？ (4) 设设4阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值为的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二的二次型的规范形是什么？次型的规范形是什么？都有都有定理定理( (惯性定理惯性定理) ) 任何实二次型总可以经过一个适当的可逆任何实二次型总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形线性变换化成规范形, ,规范形是唯一的。规范形是唯一的。222211pprfZZZZ其中其中 r 为为

23、 f 的秩，的秩，p为为正惯性指数正惯性指数，rp为为负惯性指数负惯性指数。 正定二次型正定二次型定义定义 设设AXXxxxfTn,21为实二次型为实二次型( ( A为实对称为实对称矩阵矩阵),),如果对于任意非零向量如果对于任意非零向量,),(21nTnRxxxX)0(0),(21AXXxxxfTn称称 f 为为正定正定( (半正定半正定) )二次型二次型, ,称正定称正定(半正定半正定)二次型二次型 f 的矩阵的矩阵A为为正定正定( (半正定半正定) )矩阵矩阵。22213212),(xxxxxf任任二次型的对称矩阵二次型的对称矩阵A是正定是正定二次型二次型AXXxxxfn),(21例例1

24、 1 判别下列二次型的正定性判别下列二次型的正定性, ,故半正定故半正定. .1.1.2221212),(xxxxf2.2.解解0),(321xxx1.1.代入都有代入都有. 0) 1 , 0(f2.2. 0)0 , 1 (f),(21xxf不定不定. .123( ,)0f x x xnnnjninijinjaaaaaaaaa1111110iia00100例例2 2 设设取取ixA因为因为 正定正定, ,nnijaA)(为正定矩阵为正定矩阵. . 证明证明), 2 , 1(0niaii证明证明则则 对应二次型正定对应二次型正定. .A,)0 , 0 , 1 , 0 , 0(iT代入代入),(2

25、1nxxxf)0 , 0 , 1 , 0 , 0(注意注意0iia A正定正定0iia A正定正定当当设存在可逆变换设存在可逆变换, 0),(21nxxxXCYX , 01XCYC)1 (nss证明证明可逆可逆, ,充分性充分性: :使使2221122nnfk yk yk x0,sk seY 第第 个列向量个列向量) )时时, ,s), 2 , 1(0niki时时. 0,21nxxxf必要性必要性: :则则取取, ,使使假设存在假设存在s( (第第 个分量是个分量是1,1,其余分量为其余分量为0 0的单位向量的单位向量),), 0),(21snkxxxf0ssXCYCeC与与 f 正定矛盾正定

26、矛盾. .sC( (其中其中 为可逆矩阵为可逆矩阵 的的C定理定理 实二次型实二次型AXXfT正定正定标准形中标准形中n个系数全为正个系数全为正. ., 011aA正定正定的的 n 个个特征值全为正特征值全为正.推论推论), 2 , 1(0) 1(212222111211nraaaaaaaaarrnnrrrA各阶顺序主子式全大于各阶顺序主子式全大于0,0,即即定理定理A正定正定, 022211211aaaa. 0,A奇数阶顺序主子式为负奇数阶顺序主子式为负, ,A负定负定偶数阶顺序主子偶数阶顺序主子式为正式为正, ,即即, 0X例例3 3 设设 为正定矩阵为正定矩阵, ,A, 0BXXTB与与

27、 合同合同, ,AB证明证明 也正定也正定. .证明证明B与与 合同合同, ,A存在可逆矩阵存在可逆矩阵,P使使,BAPPT)()()(PXAPXXAPPXBXXTTTT因因 正定正定, ,A可逆可逆, ,P, 0PX从而从而则上式右端全为正则上式右端全为正, ,故矩阵故矩阵 正定正定. .B判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性., 051 , 0262 , 0803 A例例4解解,402062225 A二次型的矩阵二次型的矩阵它的各阶顺序主子式它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别或者，判别 为正定为正

28、定.是正定二次型？是正定二次型？32312123222132122222,xtxxxxxxxxxxxf解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为2121111ttAtttt22121111, 012111, 01A的顺序主子式为：的顺序主子式为：所以当所以当, 02t例例5 5 问问t 满足什么条件时，二次型满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于的顺序主子式全大于0 0，此时，此时 f 正定。正定。例例6解解判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.二次型的矩阵为二次型的矩阵为 502040202A6, 4, 1321 即知即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值求得其特