大学期末复习试题资料整理大一数学分析复习题

1、上一L + -?-+ .+(1)-L3 9273slUuS>. lim/J->OOf cin - /> = (),贝ij ci =I + 1)I 0.(1)用 lim(l 2.r)n 存在.贝”卖凄文x迂 EEJ H->oo(2)匕交口圮穷等上匕虫女J自勺告a页开6垄4,贝，J苛工页勺取伍池EJ W1 1.已lirriCSrFn + hn ) = 5W lirriCT, 3乃“)=1, lirn(7zr hn )67 <£.12.若4=77(77 + 1)1 < 77 < 3Xj笏H 6勺页环c.3 132工尺 liiii S."&

2、gt;oe 5 .已次口=尺+包3十1 口”lim = 4 lim”-8 3/r + 2a”-rf3927+ ( I)”33 . 2 一 i(1) lim ci. (2) lim S 1 3争攵歹”。 为 上匕蜜攵歹4. cix +2 = 9, cixcicis = 27,不丁，2工灵寻"为S” 屎峰14.蜜攵歹，j为学 上匕婆t歹小 =i,市r，冲虫矛c 乃s，下尺13316 .娄t歹，Jc八，刊5是公至不为CM勺学星超声J, lim答=2,一8 公>X. lim/>B17.蜜攵歹，j«,为 汇 药等 匕匕整攵列j' a1=1. =A(a+i +n +

3、) 乐实超AM7寸比D31 8事攵歹，J «, 是公上匕为"(“ > O)行勺汇部等上匕*1歹山"=%不于工虫牙C为S .可之liH->8SS +1.lim91->8I 9 .汇罚等上匕变t歹乂 口”公上匕乃q>虫r，"虫矛C为S，<7 K年寸近田lim fl->8-2-4r 八 上、.1+ C + <7TP7712().11 111 7-a ci - Cl +421 .学上匕敌歹，j 八 公上匕为小回T七一"=三 外La1耳寸近田22 .装攵歹，J ， 的，项丘为 SELS = 1 专”，,在(l)l

4、imS (2)lim(/S -+-+ + /S)ft >O©/Z->QO23与史走及攵等匕匕瘦攵不乂,，“% =4“6 =16,才Llim lg，+-“,+lWT, Aoo/2 一24.就攵列J 4, 的项知为 S，“,，= 5S - 3, liriiC/rz, + / + + a-) /Z>Q©25 女口 屋j 凄攵/, (x) = x 272x + 2(" W 2)在国数厂”x)(2)若在残攵及攵手|J“ 的,2工页知S”又、上所有见于1向勺 自 然 差父弟区 有S =./一 YS,一>a_9 = 2,在“ 川淳工页 公 犬 (3)三史

5、C ="一 +"一一三史敌J C 项页正为刃一 2乙+送/年 lim(T；f ，z)g 伍 fl ->QO方法一:应用数列极限的定义(证明题)用定义求数列极限有几种模式：(1)女>0,作差解方程"卜打解出">/(£)，则取2/®或N = /(e)+l.将4适当放大，解出/(&)；(3)作适当变形，找出所需N的要求。方法二:常用方法:约去零因子求极限,分子分母同除求极限，分子(母)有理化求极限方法三(迫敛性)设收敛数列L，k都以为极限，数列W满足:存在正整数M，当>N)时有：Un-Cn-bn则数列匕收敛，

6、且j mg =。“T8方法四:(单调有界定理)在实系数中,有界的单调数列必有极限。11方法五:两个重要极限是 lim ” = 1 和 lim(l + -)x = lim(l + ) = lim (1 + x)； = eA-M) X.VfX X ”T8 fl.ktO方法六：(柯西收敛准则)数列"J收敛的充要条件是:对任给的£ > 0,存在正整数N.使得当 n、m>N时,有 a-a)<£方法七:stolz定理:设n>N吐 <且limy”=+s，若lim上二= /(/为有n->«工 y 一 y限数或无穷大)，则hm，= hm

7、”8 y>8X“一 Xi=/方法八:形如X"尸/（X）数列极限方法九:用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式），常见 等价无穷小有：当 x f 0 时,x sin k tan a arcsinx arctanx ln（l + x） - e x -1,1 -cosx g'，（1 + ox）" -1 abx ；方法十:用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求lim /（x）w）极限，数列极限转化成函数极限求解。算术一几何一调和平均不等式:对T%M,记M （q） =1之处,（算术平均值）（几何平均值）（调和平均值）15有均值不等式：”（ar.）

8、WG（）WM（6）,等号当且仅当为 =% =册时成立.（3） Bernoulli不等式：（在中学已用数学归纳法证明过）对Vx>0,由二项展开式（一1） 、 （一1）（ 一 2） 3（1 + X）=1 + 72X4-X +X ,2!3!=(1 + x)n > 1 + nx, (n > 1)(4 )Cauchy-Schwarz 不等式：ak,bk (k = 1,2,)，有也 < tw也i：t忧女=1/ A:=l /«=1女=1(5 ) e N, < ln(l + ) < P +22 +32 +. + “2 =L?5 + 1)(2 + 1)614+ 24

9、 + 34 + +4 =n(n + l)(2/i + 1)(3/ +3n-l)n +1 n n1 + 2 + 3 + + = /z(72 + l)； 2P +23 +33 + + 3 =12( + 1)2； 4r + 2' + 3' + + n5 =An2(n + )2n2 + 2n-1)；+ 26 + 36 + + 6 =+1)(2 +1)(3/ + 6/ 3n + 1)J + 2, + 3, + + ，= J/( +(34 + 63 -n2-4 + 2)2 + 4 + 6 + + 2 = n(n + 1)1 + 3 + 5+ + (2 -1) = n2l2 +32 +52

10、+ (2- 1)2 =1(42 _1) r +33 +53 +(2/? - 1)3 =7i2(2/r-l)导数微分及应用习题判断：1、若f(x)可微，且为上的偶函数，则广必为-覃上的偶函数；()2若/ 是-/,/上的奇函数，则尸(x)必为-3上的偶函数；()3、如果函数丫 =小)在/点的左、右极限都存在，则函数在入。点的极限存在()4、若函数/(x)在点x = /连续，则/(x)在餐点可导；()5、若函数/(x)在点x = x(,连续，则/(x)在/点的极限一定存在；()6、若函数/(x)在点x = x°可微，则/(x)在/点可导；()7、如果函数尸/卜)在 几点的左、右极限都存在，

11、则/(x)在X。点可导；()8、若函数/*)在点x = x。连续，则函数y = /(x)在X。点的左、右极限都存 在且相等；()9若/(x)在°点不可导，则函数/(x)在点x = x0一定不连续；()10、若函数/(x)在点x = 的不可微，则/(x)在/点不可导；()11、若函数/*)在点x = x°不可微，则/(x)的左、右极限一定不存在；()12、设函数/1)在/点可导，导数为广(x。)，则加以=()乂 T)At13、设函数/1)在/点可导，导数为r(x。)，则Em士二七叽Q ()mo2At14、设函数/(x)在/点可导，导数为八%),则加= /卬() a Av15、

12、函数y =卜一1|在x = l处不可导；()16、函数)，=卜一1|在x = l处不连续；()17.若尸"。)存在，且/Go)工0,则lim /人：*)7(*2 = 1 ()/(X。)小18、若/")在“，句上可导，则/1)在口力上有界；()19、若/")在与点导数不存在，则曲线y = /(x)在(,/(3)点处没有切线；()20、曲线y = cosx上点71 13,22处的法线的斜率为 不;21.设y = /(x)在x = x()可微，则当Av . 0时,/(工0 + -) - /(工0)- / '(工0心是关于Ar高阶的无穷小；()22、若 limU2

13、二££2 = /(0</<y)，则/5)在工=。处不可导；() (x-ay23、若 lim /(.') / !")= /(O v / v *o),则 f(x)在 x = 处可导但广 * 0 ；()f (x-ay24、若Hm八.2 = /(O v / <)，则/(外在x =。处可导且尸(0 = 0；()25、若 y = In x + sin J 则 y'= + cosE ；()2" x 21.设/(x)在x = x0的某个邻域内具有二阶连续导数，则四士?上 =().A、0；B、/'(%)； C、/(x。)； D、2

14、/"0。)；.2、设5。)在与的邻域内连续，且有/(x) = (x-Xo)<p(x),则/(%)=().A、0；B、<p(Xo) ； C、<p'(Xo) ;D、x.3.设/,(sin2 x) = cos2 x,则 f(x)=().YA、 sin2 x ； B、 cos2 x + c； C、 -x + c ; D、 x- + c. 24,设/(x)在 x = l 点处可微，/'(/) = /,+1,则lim f(x)=().rTA、2；B、1；C 0；D、©- + 1.5 .设)，=叫其中/(x)为二阶可导函数,则y” =().A、； B、/

15、叫广(幻 + 广(刈;C、/叫(尸CO/+/*)； D、eMff(x)2.6 .如果在区间(a,b)内,f'(x) = <p'(x),则在(a,匕)内 f(x)与 <p(x)().A、仅相差一个常数；B、完全相等；C、均为常数；D、”2=c(c为常数). <p(x)7 .设/(x)为可导的偶函数，则/*)为().A、偶函数；B、可能是偶函数；C、奇函数：D、非奇非偶函数.8、设/(» 在 x = x。处可导，则 lim/0+")-/也-M)=().dhA、0； B、(a+b)fxa)；C、(。一D、fx0).9、设/'(%) = 3

16、,则 lim /(2-=().a。 AyA、3：B、3：C、0：D、8.10、设/在区间内连续，x°e(a,A),则在点x0处/(x)().A、极限存在且可导；B、极限不存在，但可导；C、极限存在，但不一定可导；D、极限不一定存在.11.设/(I)/'则在x = 0处/(x)().X, x>0A、无定义；B、不连续；C、连续且可导；D、连续但不可导.12、设/(%) = 在、=0 可导，则必有().仇1一文)，x > 0A、a = 2,h = 1 ： B、a = b = 1; C、a = b = 2; D、a = -2,Z? = 1.13、y=N，则在 x = 0

17、 处/(x)的导数/'(0) = ().A、0；B、一1；C、不存在；D、1.14、可微的周期函数其导数().A、一定是周期函数,且周期不变；B、一定是周期函数，但周期可能发生变 化；C、不一定是周期函数；D、一定不是周期函数.15、设/为可微的偶函数，且对任意的Mx小。)/6),则/(-%)=().A、一 ； B、 ；0 2；D、一2.2216.曲线)，=/一以上，切线平行于直线2工-)，+ 3 = 0的点的坐标为().A、(1, -3)； B、(3, -3)； C、(-1,5)； D、(2,0).17、设y = /(lnx),其中/()为可微函数,则)，"=().A、/&

18、quot;(Inx)；B、-L；厂C、ir(lnx)-2-r(lnx)；D、-Lfnx)-f(nx).X厂厂18、设y = xlnx,则严=().41D 18!n 8!A、 9"B、-7 ?C、-7 ；D、 7 "XXXX19.设 f (u)为可微函数,若 y = /(cos2x),则 dy=().A、2/z(cos2a>/x ； B、一sin2.x小；C、/(cos2x)Z/cos2x； D- 2/'(cos2x)sin 2xdx.20、下列函数中导数等于Lin2工的是().2A、cos2x ； B、sin2 x ； C、cos2 x ；D> cos2

19、x.222421、曲线)，=/+工一2在点加处的切线与直线x + 4y + 3 = 0垂直，则此曲线在点 "处的切线方程为().A、16x-4y - 17 = 0：B、16x + 4y 21 = 0：C、2x-8y + ll = 0： D、2x + 8y-17 = 0.x = arctanr ,.d2y /、22.设则=().y = ln(l + r) dx-A、B、 2(l + r)； C、 2； D、1 +广(1 +广厂23、设 y = ln(j2 +-x),则 yn =().、；D、 -r(2+x2yJ2 + /(2 + /24、下列函数中在点x = 0连续且可导的是().A、

20、/(%) = V? ;B、f (x) = |siii a| ；C> f(x)= Xe，x<0x>0D、fM = <r2x+,x2 - Ix>0x<025、设方程/一二=0，确定y是x的函数，贝iJ)，'(O)=().A、er；B、1；C、；D、0.e'26 . 3，=刈1)其中/为可微函数，则4=().xj"尸D、27 .设 向l32二/ = /,其中/为有限值,则/)在1=。处( ). (x-ayA、可导且/"(a) = O； B、可导但/'(a)wO； C、不一定可导；D、肯定不可导.28 .曲线y = / +

21、x-4在点M处的切线斜率为3,则M点的坐标为().A、(1,0)； B、 (0, 1) ；C、 (1,3)； D、 (1, -2).29、设 y = ln(l-n") +Jl-cJ，则 dy =().11, n 2x , 2x 1 X .c 2xA r + ,dx； B、 -7dx； C、 丁+ dx； D、 -?.U-f )1-厂 17 Vl-«2 J1-丁30.设(p(ii)具有二阶导数，y = a(p(a)，则 y"=().A (p"(x); B、xq>"(x) + cp'(x)； C、x(p"(x)+x(p

22、9;(x)； D、x(p"(x)+2(p'(x).ln(l-x2)31、函数/(x)= '"工。，则/(x)在工=0处().0, x = 0A、间断；B、连续但不可导；C、连续且导数为0； D、连续且导数为一L32.设力/二2在“。可导,贝”的值为().A、a = O.b = 1 ； B、a = -2,b = 1 ；C、a = 2,b = 1 ；D、a = ,b = 2.33、A、x = nt + e2y =It398，则詈Idx.B、).C、6；D、).34.若f(x)在xQ处不可导，则f (x)在x0点(A、无意义；B、左、右极限不相等;C、不一定可导;

23、D、不可微.(i V35、若/(x) = lim x 1 + -，则:")=().A、(2X+1)/B、e2xC、(x + )e2x；Dx xe2x).36.若 /'(x) = " + =，且 /(0) = 0,则 f(x)=(eB、v+ -2；exC、ei).37、设函数/(x) = lim(l + a)"则/(0) = (r->()A、T；C、1;D.- e38. f(x)=).2 -1x sin , x 。，A、不可导;B、连续且可导;C、不连续但可导;D、不连续.,x > 0,x = 0,则/“)的有关论证正确的是(,x < 0)

24、.A、/(x)在点x = 0处可微;10-1x>0x = 0, x<0x > 0 x = 0, x<0D、/*)在点x = 0处可导.40.设y = x”+“2产2 +怎(其中4&q为常数)，则严加).A> n ；B> 0；C> 1 ；D、x.41、设产/+%/+的-+ -+勺(其中%,勺，以为常数)，则严=().A、! ；B、0；C> 1 ；D> x.,42.设 /*)=六,则 liin 止)二/=().I X - 1LIA、-c2 ；B、- e 2 ；C> c1 ；D、0.43.设函数/=心口/，”00,则函数/“)在X=

25、()处().0, x = 0A、不连续；B、连续，不可导；C、可导，但不连续；D、可导且导数也存在.44、设尸=(叫则”;().y = t/(l-cos/) dxA、 Sin - ； B、r-; C> 1 - ； D、1.1-cosZ 6/(1 -cos/)" l-cosf 1-cosfX T V 045 .已知函数/(x)=；，则函数/(x)在点x = 0处的导数().x , x>0A、八0) = 0; B、fXO) = 1 ： C、/'(0) = 3； D、不存在.46 .设/(x) = ln/,则"(2)丫 =(). ；B> ；C、1；D、0

26、.2447.设y = (x + g + 2尸(x + 3),则 f(-1)=().A> 0：B、 1； C、 -1；D、 2.48、设,，= /+e'，则 y("川=().A、( + l)!+e” ；B、e' ；C、!+，' ； D、0.49、设)，=，则 y' = ().A、xv(lnx + l) ； B、xlnx； C、； D、rO50 .下列命题中正确的是().A、若/'(x) = g'«,则有/(x) = g(x); B、若/(x) = g(x),则有/'(x) = g'(x);C、若/'

27、(%)=。，则八%) =。；D、若/(%)=0；则/(%) = 0.).51. 丁 = /'(X)在点人处的左、右.导数存在且相等是/")在点与处可导的(A、必要条件;B、充分条件；C、充分必要条件;D、无关条件.52 .设函数/=<A2 +1,31,则/(1)为(1 < X).A、2：B、3；C、1；D、不存在.1.x ； 2. V； 3、X;4、x； 5、V； 6、V； 7、X ； 8、 V ； 9、 X ； 10、V ； n、x； 12、X； 13、V ； 14、X； 15、V ； 16、X： 17、V ： 18、V ： 19、X； 20、V ； 21、V

28、； 22、X； 23，、X； 24、V： 25、X ；1、D； 2、B： 3、D：4、 A： 5、C； 6、 A； 7、 C；8、 B； 9 A： 10、 C； 11、 D：12、 D； 13、； C； 14、A； 15、 B；16、 B： 17、 D；18、 C： 19、 D； 20、 B； 21、 A；22、 B； 23、 D； 24、C； 25、 B：26、 C； 27、 A；28、 D； 29、 B； 30、 D； 31、 D：32、 C； 33 C； 34、D； 35、 A；36、 C； 37、 C；38、 B； 39、 C； 40、 B； 41、 A；42、 B； 43、 B； 4

29、4、B： 45、 D；46、 D； 47、 D；48、 B； 49、 A； 50、 B； 51、 C；52、D.中值定理和罗比达法则1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足,请求出满足定理的数值4 0 f (x) = 2x2 -x-3,-1,1.5 ：(2) /(x) = xj3-x,O,3a2.验证拉格朗日中值定理对函数y = 4x3 -5x? + x 2在区间0,1上的正确性。3.已知函数/(X)= X，在区间1,2上满足拉格朗日中值定理的条件,试求满足定理的J o 4.试证明对函数y = /八 +qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点J总是位于区间的正中间。 5,函数

30、/X)=与g(x) = ,d+1在区间1,2上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请 求出满足定理的数值才。6.设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且/=0。求证:存在J w (0,1)，使代)=一o *7.若函数/(X)在(,)内具有二阶导函数，且/(3)=f(X2) = /(X3)(a <x <x2<x3 v/力，证明:在(内山)内至少有一点己使得("(<) = () 8.若4次方程a。4+a2x2 +a3x + a4 = 0有4个不同的实根，证明：4a()x3 + 3atx2 + 2a2x + a3 =0的所有根皆为实根。 证明：方程X，+工-1 =0只有一个正根。10.不用求出函数/(幻=。-1)*一2)(戈一3)* 4)的导数，说明方程:(刈=0有几个实根,并指出它们所在的区