定积分及其应用(精讲精练)

1、实用文档第5章定积分及其应用学习目标理解定积分的概念,掌握定积分的基本性质.掌握变上限定积分的导数的计算方法.熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念，定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理，最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.5.1 定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1 实例分析1 .曲边梯形的面积在初

2、等数学中，我们已经学会计算多边形和圆的面积，至于任意曲边所围成的平面图形的面积，只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决0及曲线y f(x)所围所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线x a,x b, y成的图形，如图5.1(a),(b),(c) 都是曲边梯形图5.1现在求f(x) 0时，在连续区间a,b上围成的曲边梯形的面积A (如图 5.1(a),(b)所示)，用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：(1)分割一一将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间a,b内任意插入n1个分点：ax0x1x2xn1xnb,把区间a, b分成n个小区间:Xo,Xi,Xi,

3、 X2,为,Xn i,Xn,第i个小区间的长度为Xi Xi Xi 1(i 1, ,n),过每个分点作垂直于 X轴的直线段，它们把曲边梯形分成 n个小曲边梯形(图图5.2(2)近似一一用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间Xi i,Xi上任取一点i (i 1,2, ,n)，作以Xi i,Xi 为底，f( J为高的小矩 形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则Ai f( i) Xi(i 1,2, ,n).(3)求和一一求n个小矩形面积之和n个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A,即AAiA2Anf( l)Xif ( 2)X2f( n)Xnnf( i) Xi.i 1(4)取极限n令 maX

4、 Xi ,当分点n无限增多且0时，和式 f( i) Xi的极限便是曲边1 i ni 1梯形的面积A,即nA lim f ( i) Xi.0 i 1(2) 速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间t的连续函数v v(t),求物体在时刻t T1到 t T2间所经过的路程S.我们知道，匀速直线运动的路程公式是：S vt,现设物体运动的速度 v是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1)分割一一把整个运动时间分成n个时间段在时间间隔T1,T2 内任意插入 n 1 个分点：T1t0t1tn 1tnT2，把T1,T2 分成n 个小区间：t0,t1,t1,t2

5、, ti 1,ti,tn 1,tn ，第 i 个小区间的长度为tititi 1(i 1,2, n),第i个时间段内对应的路程记作Si(i 1,2, n).(3) 近似在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在 小区 间 ti 1,ti 上任 取一点 i (i 1,2, n) , 用速度 v( i) 近似代替 物体 在时 间ti 1,ti 上各个时刻的速度，则有Siv( i) ti(i 1,2, ,n) .(4) 求和求 n 个小时间段路程之和将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即S S1S2Snv( 1) t1v( 2) t2v( i ) tnnv( i ) ti .

6、 i1(5) 取极限n令 max ti ， 当分点的个数n 无限增多且0时， 和式 v( i ) ti 的极限便是1ini1所求的路程S . 即nSlim0v( i ) t i0i1从上面两个实例可以看出， 虽然二者的实际意义不同， 但是解决问题的方法却是相同的，即采用 “分割 - 近似 - 求和 -取极限” 的方法， 最后都归结为同一种结构的和式极限问题 . 类似这样的实际问题还有很多， 我们抛开实际问题的具体意义， 抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2 定积分的概念定义5.1 设函数f(x)在区间a,b上有定义，任取分点ax0%x2xn

7、1xnb把区间a,b任意分割成n个小区间xi 1,xi,第i个小区间的长度为x x x 1(i 1, ,n),n记 max xi . 在每个小区间xi 1 ,xi 上任取一点 i(i 1,2, , n) 作和式f ( i ) xi ，1ini1n当 0时，若极限lim f ( i) xi存在(这个极限值与区间a,b的分法及点i的取法无 0i1关) ，则称函数f(x) 在 a,b 上可积，并称这个极限为函数f(x) 在区间 a,b 上的定积分，b记作 f (x)dx ，即abnf(x)dx lim f( i ) xi .a0i1其中，“ f(x)”称为被积函数，" f (x)dx”称为

8、被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限， b 称为积分上限， a,b 称为积分区间 .根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为：曲边梯形的面积A是曲线y f(x)在区间a,b上的定积分.bAf (x)dx( f (x) 0 ).a变速直线运动的物体所走过的路程S等于速度函数v v(t)在时间间隔T1,T2上的定积分 .T2S v(t)dt.T1关于定积分的定义作以下几点说明：闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的.定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间a,b,而与积分变量使用的字母的选取无关，即有在定积分的定义中，有bbf (

9、x)dx f (t)dt .aaab ，为了今后计算方便，我们规定：abb f (x)dx a f (x)dx.a容易得到 f (x)dx 0 .a5.1.3 定积分的几何意义设f(x)是a,b上的连续函数，由曲线 y f(x)及直线x a,x b,y 0所围成的A. 由定积分的定义及5.1.1 实例 1， 容易知道定积分有如下几何意义：b( 1)当 f (x) 0 时， f (x)dx A a b(2)当 f (x) 0时， f (x)dx A3)如果f(x) 在 a,b 上有时取正值，有时取负值时，那么以 a,b 为底边，以曲线y f(x)为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于

10、 x轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有b a f(x)dx A A2 A3其中Ai, A2, A3分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.例5.1.1利用定积分的几何意义，证明Mix2dx -.i证令 yJi x2,x 1,1,显然 y 0,则由y V1 x2和直线x 1,x 1, y 0所围成的曲边梯形是单位圆位于x轴上方的半圆.如图5.4所示.因为单位圆的面积 A ,所以半圆的面积为一.2由定积分的几何意义知：5.1.4定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质, 其中所涉及的函

11、数在讨论的区间上都是可积的性质5.1.1被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即bbkf(x)dx k f(x)dx.aa性质5.1.2两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即bbbf (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx.aaa这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形性质5.1.3 (积分的可加性)对任意的点C,有bcbf (x)dx f (x)dx f (x)dx.aac注意c的任意性意味着不论 c是在a,b之内，还是c在a,b之外，这一性质均成立.性质5.1.4如果被积函数f(x)ba cdx c(bb特别地，当c 1时，有 dx bac,(c为常数)，

12、则a).性质5.1.5 (积分的保序性)如果在区间a,b上，恒有f(x) g(x),则bbf(x)dx a(x)dx.aa性质5.1.6(积分估值定理)如果函数f(x)在区间a,b上有最大值 M和最小值m ,m(b a)bf (x)dx M (b a).a性质5.1.7 (积分中值定理)如果函数f (x)在区间a,b上连续,则在(a, b)内至少有点，使得baf (x)dxf( )(b a) (a,b).证 因f (x)在a,b内连续，所以f (x)在a,b内有最大值 M和最小值m,由性质5.1.6知:m(bba) f (x)dx M (b a).a从而有b一 f(x)dx M . a a、，

13、1这就说：b aba f ( x)dx是介于m与M之间的一个实数.由连续函数的介值定理1.10知:至少存在一点(a,b),使得bf (x)dx f ().abf (x)dx f( )(ba注 性质5.1.7的几何意义是：由曲线a)(a,b).y f(x)，直线x a, x b和x轴所围成曲边梯形的面积等于区间a, b上某个矩形f()的面积，这个矩形的底是区间a,b,矩形的高为区间a,b内某一点 处的函数值f(),y f (x)图5.5如图5.5所示. I1f (x)dx af ()称为函数f (x)在区间a,b上显然，由性质5.1.7可得f( )b a的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.性

14、质5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质)设f(x)在对称区间a,a上连续，则有a如果f (x)为奇函数,则 f (x)dx 0 ； a aa如果f (x)为偶函数，则a f (x)dx 2 o f (x)dx.12例5.1.2 估计定积分 e * dx的值. i22解 设f(x) e , f (x) 2xe ，令f (x) 0,得驻点x 0,比较x 0及区间端点x 1的函数值，有f (0) e0 1, f( 1) e11.e21显然f (x) e 在区间1,1上连续，则f(x)在1,1上的最小值为 m ,最大值 e为M 1,由定积分的估值性质，得12e x dx 2.1例5.1.3比较定积

15、分2dx与0x3dx的大小.解因为在区间0,1上，有x23x ,由定积分保序性质，得x2dxx3dx.标准文案图设就得到土地面积的近似值.后当时流行的方法是不可分量f (x)的振幅；另定积分定积分的原始思想可以追溯到古希腊.古希腊人在丈量形状不 规则的土地的面积时，先尽可能地用规则图形(例如矩形和三角形)把要丈量的土地分割成若干小块，并且忽略那些边边角角的不规则的小块.计算出每一小块规则图形的面积，然后将它们相加， 来看来，古希腊人丈量土地面积的方法就是面积思想的萌芽.在十七世纪之前，数学家们没有重视古希腊人的伟大思想,法.这种方法认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的.这种方法没

16、有包含极限概念，也没有采用代数与算数的方法.因此，不可分量的思想没有取得成功.虽然积分概念未能很好得建立起来，然而，到牛顿那个年代，数学家们已经能够计算许多简单的函数的积分.虽然十三世纪就出现了利用分割区间作和式并计算面积的朦胧思想(奥雷姆，法国数学家).但是建立黎曼积分(即定积分)的严格定义的努力基本上由柯西开始.他比较早地用函 数值的和式的极限定义积分 (他还定义了广义积分).但是柯西对于积分的定义仅限于连续函 数.1854年，黎曼指出了积分的函数不一定是连续的或者分段连续的，从而把柯西建立的 积分进行了推广.他把可积函数类从连续函数扩大到在有限区间中具有无穷多个间断点的函 数.黎曼给出关

17、于黎曼可积的两个充分必要条件.其中一个是考察函数个充分必要条件就是对于区间a,b的每一个划分ax0x1xnb ,构造积分上和与积分下和：nnS= Mixi s=mixii 1i 1其中Mi和mi分别是函数f(x)在每个子区间上的最大值和最小值.f(x)在a,b黎曼可积的充分必要条件就是lim (S s) 0max x 0至今，这个定理仍然经常出现在微积分和数学分析的教科书中.达布(法国数学家)对于黎曼的积分的定义作了推广.他严格地证明了不连续函数，甚至有无穷多个间断点的函数， 只要间断点可以被包含在长度可以任意小的有限个区间之内就是 可积分的.在牛顿和莱布尼兹之前，微分和积分作为两种数学运算、

18、两种数学问题，是分别加以研究的.虽然有不少数学家已经开始考虑微分和积分之间的联系，然而只有莱布尼兹和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者之间内在的直接的联系，指出微 分和积分是互逆的两种运算.而这正是建立微积分的关键所在.牛顿在 1666年发表的著作 流数简论中，从确定面积率的变化入手，通过反微分计算面积，把面积计算看作是求切线的逆.从而得到了微积分基本定理.在 1675年，莱布尼兹就认识到，作为求和过程的积b df分是微分的逆.他于 16751676年给出了微积分基本定理0fdx f (b) f(a)a dx并于1693年给出了这个定理的证明.简单直观并且便于应用，是

19、黎曼积分的优点.黎曼积分的缺点主要是理论方面的.一方面，黎曼积分的可积函数类太小.基本上是“分段连续函数”构成的函数类.另一方面，黎 曼积分在处理诸如函数级数的逐项积分、重积分的交换积分顺序以及函数空间的完备性这样一些重要的理论问题时， 存在许多不可克服的障碍于.是在上一世纪末到本世纪初，一种新的积分理论一勒贝格积分应运而生.它是黎曼积分的推广， 勒贝格积分的建立是积分学领域的重大发展.它在很大程度上克服了黎曼积分在理论上遇到的上述困难.勒贝格积分是近代分析数学发展的重要动力和基础.习题5.11 .用定积分表示由曲线 y x2 2x 3与直线x 1,x 4及x轴所围成的曲边梯形的 面积.2 .

20、利用定积分的几何意义，作图证明：(1) 12xdx 1(2)R . R2x2 R20043.不计算定积分，比较下列各组积分值的大小.1 1 2112(1) xdx, x dx (2)exdx,ex dx000044 24cosxdx,4sin xdx00 ln xdx,ln xdx (4)334.利用定积分估值性质估计下列积分值所在的范围1 x2 °edx(2)Qx(x 2)dx2 x .(3) d dx1 x2 15.试用积分中值定理证明limn2g09n 1 sin x , dxn xx .dx x0.5.2定积分的基本公式有时甚至无定积分就是一种特定形式的极限，直接利用定义计算

21、定积分是十分繁杂的, 法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具一一牛顿一莱布尼兹公式5.2.1 变上限定积分定义5.2 设函数f(x)在区间a,b上连续，对于任意x a,b, f (x)在区间a,x上也连续，所以函数 f(x)在a, x上也可积.显然对于a,b上的每一个x的取值，都有唯一x对应的定积分 f (t) dt和x对应，因此 axf(t)dt是定义在a, b上的函数.记为 ax(x) f(t)dt, x a,b.a称(x)叫做变上限定积分，有时又称为变上限积分函数变上限积分函数的几何意义是：如果f (x)0,对a,b上任意x,都对应唯一一个曲边梯形的面积(x),如图5.6中的阴影部分.因

22、此变上限 积分函数有时又称为面积函数.函数(x)具有如下重要性质.定理5.1d x -且 (x) f (t)dt f(x) (a x b). dx ax如果函数f (x)在区间a,b上连续，则(x)f(t)dt 在a,b上可导,a证 给定函数(x)的自变量x的改变量 x ,函数(x)有相应的改变量.则x xxx x(x x) (x) f(t)dt f(t)dt f(t)dt.aaxx x由定积分的中值定理，存在(x, xx)或(xx,x),使 f(t)dt f( ) x 成立.x所以 (x) lim x 0 xlim*x 0lxm0f()f (x)连续lim f( ) f(x).xx由定理5.

23、1可知，如果函数 f (x)在区间a,b上连续，则函数(x) f(t)dt就是af(x)在区间a,b上的一个原函数.由定理5.1我们有下面的结论定理5.2 (原函数存在定理)如果f (x)在区间a,b上连续，则它的原函数一定存在,且其中的一个原函数为(x)注 这个定理一方面肯定了闭区间xf(t)dt.aa, b上连续函数f (x)的一定有原函数(解决了第四章第一节留下的原函数存在问题)，另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础.d x t例 5.2.1 计算 一 e t sintdt. dx 0d x +x +解 一 e sintdt = e s

24、intdt =e xsin x . dx 001 x例 5.2.2 求 lim ln(1 t)dt.x 0 x2 0解 当x 0时，此极限为0型不定式，两次利用洛必塔法则有 01 lim f x 0x2x01n(1t)dt=lxm0x0ln(1 t)dt2x= lxm0ln(1 x)2x1= lim 1-x = 1x 022,、dx2 2.例 5.2.3 求一 (t 1)dt .dx 1解 注意，此处的变上限积分的上限是 x2 ,若记u x2 ,则函数x221 (t21)dt可以看u 一. 22成是由y (t 1)dt与u x复合而成，根据复合函数的求导法则得ddx1x2(t21d udu1)

25、dt= (t2 1)dtdu=(u2 1)2xdu 1dx= (x4 1)2x = 2x5 2x.般地有，如果g(x)可导，则d g(x)-a f(t)dt dx a上式可作为公式直接使用g(x)a f(t)dtx afg(x)g (x).例5.2.4 求极限x2sintdt0解 因为lim x4 x 0利用洛必塔法则得0,4xx2sintdtI 0sintdt 0,所以这个极限是0型的未定式,0x2sintdt07m0.2sin x 2x34x一 2 sin x= lim fx 0 2x221 sin x =lim 2-2 x 0 x5.2.2微积分基本公式定理5.3 如果函数f (x)在区

26、间a,b上连续，且F(x)是f (x)的任意一个原函数， 那 么b f (x)dx F(b) F(a). a x证 由定理5.2知，(x) f(t)dt是f (x)在区间a,b的一个原函数，则 a(x)与F(x)相差一个常数C,即xaf(t)dt F(x) C. a a又因为0 f(t)dt F(a) C ,所以C F(a).于是有 a xf (t)dt F(x) F(a). a b所以f(x)dx F(b) F(a)成立.a为方便起见，通常把 F(b) F (a)简记为F(x)：或F (x)；,所以公式可改写为bba f (x)dx F(x)a F(b) F(a) a上述公式称为牛顿莱布尼兹

27、(Newton-Leibniz )公式，又称为微积分基本公式.定理5.3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.确切地说，要求连续函数f (x)在a,b上的定积分，只需要求出f (x)在区间a,b上的一个原函数 F(x),然后计算F(b) F(a)就可以了.1 c例 5.2.5计算x2dx.0解因为x2dx 1x3 C31213x dx= x3_1o 313303=3例 5.2.6上dx.1111xexedx =1 d(ex1T1)=ln(1eex)11例5.2.7 求= ln(1 e)ln(1e 1)=1.312xdx.解根据定积分性质5.1.3

28、3122xdx= J 2 x | dx32l2x | dx21(2 x)dx32(x2)dx例 5.2.8= (2x 1x2)2求极限limn_ 33(1234n-x22xn3)=92一22=5.解根据定积分定义，得(1 2 lim (n333-4n3n )limn1d)3 n n1x3dxo阅读材料牛顿与莱布尼兹牛顿(Newton, Isaac , 16431727)英国物理学家，数学家，天文学家.经典物理学理论体系的建立者.莱布尼兹(GottfriendWilhelm Leibniz,1646-1716 )是17、18世纪之交德国最重要的数.他博览群书，涉猎百科，对丰富人类学家、物理学家和

29、哲学家，一个举世罕见的科学天才 的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论.实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿.莱布尼兹在1684年10月发表的教师学报上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献.牛顿在1687年出版的自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G W莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法与我

30、的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外.他并诉述了他的方法，它(但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了 .)因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的.牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹莱布尼兹则从几何问题出发， 密性与系统性是牛顿所不及的 技巧是数学成功的关键之一运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严.莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的.因此，他发明了一套适用的符号系统,分，/表示积分，等等.这些符号进一步促进了微积分学的发展微积分的历史和起源 一文，总结了自己创立微积分学的思路, 你

31、知道为什么称为牛顿-莱布尼兹公式了吧！如，引入dx表示x的微 .1713年，莱布尼兹发表了 说明了自己成就的独立性.习题5.21.求下列函数的导数:x O_ F(x)° .t2 1dt(2)F(x)x2 sint,xdt1 , 2 t . F(x) t e dt2 .求下列函数的极限：ax2F(x)cos2tdtx 2cos tdt0(2)x1t(t1)dt(x 1)2xarctantdt(3) lim -2x 0 x2(4)lxm0(.1 t . 1 t)dt3.求函数F(x)x0t(t2)dt在区间1,3上的最大值和最小值.4.求由曲线yx22x与直线x 0,x2及x轴所围成的曲

32、边梯形的面积5.求下列定积分的值：22(x x 1) dx1(2)1(2x x2)dx001x 7-dxx(4)212 -(5)cosxdx(6)e2 dx05.3 定积分的积分法在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式.5.3.1 定积分的换元积分法定理5.4 设函数f(x)在区间a,b上连续，并且满足下列条件：(1) x (t),且 a ( ) , b ()；(2) (t)在区间,上单调且有连续的导数(t);(3)当t从 变到 时，(t)从a单调地变到b.则有bf(x)dx f

33、(t) (t)dta上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用x(t)把原积分变量x换成新变量(t),积分限也必须由原来的积分限a和b相应地换为新变量t的积分限和 ，而不必代回原来的变量x,这与不定积分的第二换元法是完全不同的从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法(即凑微分法).一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿莱布尼兹公式求出定积分的值5.3.1 求3.x_dx .0 1 x2tdt ,当 x 0时，t 1,当 x 3时，t

34、2,于是222tdt=21(t=¥ t2=81)dt3例 5.3.2 求 2 cos xsin xdx .0解法设 t cosx ,贝U dt sin xdx,当x 0时，t 1 ;当x 时，t 0,于2解法2cos3xsinxdx= 0t301(dt)73dt=。40=4.23cos xsin xdx =03314 2 12 cos xd cosx= 一cos x(2 =-044解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变ln 25.3.3 求vex 1dx.02ln(1 t )dx2t ,2dt,1 t20时，t 0;当 x ln2时，tln 2,ex1dx

35、=01 2t t 2 dt =0 1 t210(1”)dt一_1= 2t arctant0 = 2 一25.3.4设f(x)在区间a,a上连续，证明:(1)如果f(x)为奇函数，则af (x)dx 0；a所以(2)如果f(x)为偶函数，则a f (x)dx 2 0 f (x)dx .这结论是定积分的性质5.1.8证由定积分的可加性知卜面我们给出严格的证明0f (x)dx f (x)dxaa0 f(x)dx,对于定积分0f (x)dx ,作代换x af (x)dx =0f ( t)dt = at,得0f( t)dt= 0 f ( x)dx,f(x)dxa0 f( x)dxa0 f(x)dxa0f

36、(x) f( x)dx(1)如果 f(x)为奇函数，即 f( x) f(x),则 f(x) f( x) f(x) f(x) 0,af (x)dx 0.a(2)如果f (x)为偶函数，即f( x) f (x),则所以例 5.3.5f(x) f( x)af(x)dx 2 a求下列定积分：22i 3 x sin x .(14 dx3 1 x解(1)因为被积函数f(x)f(x) f(x) 2f(x),(x)dx .2.x sin x(2)x2 4 x2dx2函数，且积分区间J3,J3是对称区间,W 23 x sin x 4 dx = 0.3 1x4(2)被积函数f(x) x2j4 x2是偶函数，积分区

37、间2,2是对称区间，所以22x2 4222x dx = 20x2j4 x2dx ,2sint ,则 dx2 costdtv4 x22cost ,0时，t 0;当x 2时,x2dx = 2216sin 2t cos2tdt =80万 sin22tdt0=4 2 (1 cos4t)dt = (4t sin 4t)(2 =22.分部积分法定理5.5 设函数ub ba V(x)du(x). au(x)和v v(x)在区间a,b上有连续的导数，则有bu(x)dv(x) u(x)v(x)a上述公式称为定积分的分部积分公式.选取u(x)的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.2例 5.3.6xln xd

38、x.1xln xdx=12：lnxd(x2)=；xln x221 x d(lnx)1 2= 2ln2 一2 12= 2ln 2 14, c 1xdx = 2ln 2 - x 45.3.75.3.8求 0xsinxdx.xsin xdx=xd cosx = xcos01-求 e Xdx.00 8sxdxsinx令 xx t ,则 x t22tdt,当0时，t 0；当x 1时，t1.11十e、xdx=2 te dt = 21tdet0= 2tetetdt=2e 2et此题先利用换元积分法,1.求下列定积分的值:e 1 ln x . dx1 x12 1 -.-A-exdx121 x(5)64 dx,

39、x3Jx2 2x .x e dx(9)e 1o ln(x 1)dx2.求下列定积分:10 = 2e 2e 2 = 2.然后应用分部积分法习题5.3(2)(4)(6)(8)(10)(x2 3x sin xcos2 x)dx(2)2x_x2一dx2 a(4)x 1 x2dx03 dx10 x 11dx1 x1arctanxdx02 e2x cosxdx03321 x sin x , -dx1x42x2 11 1 sin x . dx1 d 2，1 x5.4定积分的应用由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.问题1在机械制造中，某凸轮横截面白轮廓线是由极

40、坐标方程r a(1 cos ) (a 0)确定的，要计算该凸轮的面积和体积问题2修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m和4m,高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.为了解决这些问题，下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法一一微元法，然后讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些具体应用的计算公式，而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法5.4.1 定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A的方法和步骤：(1)将区间a,b分成n个小区间，相应得到n个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为Ai (i1,2, n)

41、；(2)计算A 的近似值，即Aif( i)Xi(其中 XiXiXi1, iXi1,Xi)；n(3)求和得A的近似值，即 A f( J Xj； i 1nb(4)对和取极限得 A lim f ( i) Xif (X)dX .0 i 1下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量(面积 A)具有的特性：即 A在区间a,b上具有可分割性和可 加性.第(2)步是关键，这一步确定的 A f( i) Xi是被积表达式f (X)dX的雏形.这可以从 以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对 Aif( i) Xi省略下标，得 A f()X,用x,x dX表示a,b内的任一小区间

42、，并取小区间的左端点 x为，则 A的近似值就是以dx为底，f(x)为高的小矩形的面积(如图5.7阴影部分)，即A f(x)dx .dA f (x)dx.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在bA f (x) dx.图5.7a,b上“无限累加”，就得到面积 A.即a一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行:通常称f(x)dx为面积元素，记为(1)确定积分变量x ,并求出相应的积分区间a,b；(2)在区间a,b上任取一个小区间x,x dx,并在小区间上找出所求量F的微元dF f (x)dx ;b(3)写出所求量F的积分表达式F a f(x)dx,然后计算它的值利用定积分按上述步

43、骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法.注 能够用微元法求出结果的量F一般应满足以下两个条件：F是与变量x的变化范围a,b有关的量；F对于a,b具有可加性，即如果把区间a,b分成若干个部分区间，则 F相应地分 成若干个分量.图5.85.4.2定积分求平面图形的面积1 .直角坐标系下面积的计算(1)由曲线y f(x)和直线x a,x b, y 0所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙 述.(2)求由两条曲线y f (x), y g(x),(f (x) g(x)及直线x a, x b所围成平面的面积A (如图5.8所示).下面用微元法求面积 A.取x为积分变量，x a,b.在区间a,b

44、上任取一小区间x,x dx,该区间上小曲边梯形的面积 dA可以用高 f(x) g(x),底边为dx的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素dA f (x) g(x)dx.写出积分表达式，即bA f(x) g(x)dx.(y)及直线y c, y d所围成平求由两条曲线 x (y), x (y) , ( ( y) 面图形(如图5.9 )的面积.这里取y为积分变量，y c,d,用类似(2)的方法可以推出： da c (y) (y)dy.例5.4.1求由曲线y x2与y 2x x2所围图形的面积.解先画出所围的图形(如图 5.10)2由方程组 y x 2,得两条曲线的交点为y 2x xO(0,0), A

45、(1,1),取x为积分变量,iA 0(2x0,1.由公式得22例5.4.2 求曲线y 2x与y x 4所围图形的面积.解画出所围的图形(如图 5.11 ).由方程组 y2x得两条曲线的交 点坐标为A(2, 2), B(8,4),取y为积分变 量,y x 4 12 4得所求面积为2,4.将两曲线方程分别改写为x，及x y41 2A 2(y 4 2y )dy/1 21 3、(户 4y 1”18.注 本题若以x为积分变量，由于图形在0,2和2,8两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：J 2x (x 4)dx2A 2 2xdx012, , 8. _-x 4x 218.2y作为

46、积分变量计算简便.可见适显然，对于例5.4.2选取x作为积分变量，不如选取 当选取积分变量，可使计算简化.例5.4.3 求曲线y cosx与y sin x在区间0,上所围平面图形的面积2、解 如图5.12所小，曲线 y cosx与y sin x的交点坐标为(一，),选取x作为4 2积分变量，x 0,，于是，所求面积为A04(cosx sinx)dx(sin x cosx)dx4(sin x cosx)(cosx sin x)_2.2.42.极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程()与射线)所围成(如图5.13所示).下面用微元法求它的面积A.以极角为积分变量，它的变化区间是,相应的小曲边扇

47、形的面积近似等于半径19),中心角为d的圆扇形的面积，从而得面积微兀为 dA ( )2d于是,所求曲边扇形的面积为A 2()2d .o图 5.13图 5.145.4.4 计算心形线此图形对称于极轴,对于极轴上方部分图形，取0,由上述公式得:1a(1 cos )(a因此所求图形的面积为积分变量，0)所围图形的面积(如图 5.14).A是极轴上方部分图形面积A1的两倍.A 2Al 2220 a (1 cos ) d1 cos 2 )d2a2 0 (1 2coscos2 )d2, 0 ca (一 2 cos0 22,3O .1.Q,32a 一2sin- sin20-a .242如果知道凸轮的厚度，可

48、进这个结果就是本节前面问题1提到的凸轮横截面的面积,步求出它的体积，这里不再赘述3.定积分求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做 旋转轴.设旋转体是由连续曲线y f(x)(f(x) 0)和直线x a,x b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成(如图 5.15).取x为积分变量，它的变化区间为a,b,在a,b上任取一小区间x,x dx,相应薄片的体积近似于以f(x)为底面圆半径，dx为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为dV f (x)2dx ,于是，所求旋转体体积为b 2Vxf(x)2dx.a图 5.15x (y)类似地,由曲线 x(y)和直线y c, y周而成(如图5.16 ),所得旋转体的体积为 d2c (y)2dy.Vy例 5.4.52 x 求由椭圆a图 5.16d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转2 1绕x轴及y轴旋转而成的椭球体的