高数A函数项级数ppt课件

1、课件制作：刘开宇课件制作：刘开宇 彭亚新彭亚新二、二、 作业讲析作业讲析三、三、 典型例题讲解典型例题讲解四、四、 练习题练习题一、一、 内容总结内容总结)(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题：判别敛散；基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅氏系数) 时,时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;nnba ,(一、内容总结一、内容总结. 1 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 . 求部分和

2、式极限求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和nnnxa0 直接展开法 间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式（1）. 函数的幂级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法二、作业讲析二、作业讲析 略略 1 解解:,)11 (limlim) 1 (enannnnn当ex1因此级数在端点发散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( , 01e. )1,1(ee时,;)11 ()

3、 1 (12nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛 .故收敛区间为例例1. 求下列级数的敛散区间求下列级数的敛散区间:.2)2(21nnnxn三、典型例题讲解三、典型例题讲解nnnxn212)2()()(lim1xuxunnn因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为. )2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散; .) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx121

4、12122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR注意: .!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x先求出收敛区间, )(xS那么xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12

5、() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(设和函数为),(x.) 1()2(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS级数发散,(2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd1

6、101) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时,级数也收敛 . 即得00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin例例6. 将函数将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数.解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x)(xf0,arctan12xxxx0,1x

7、, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,1241) 1(nnn的和. ( 01考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求级数02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214xyo),上的表达式为 ),0,)0,0)(xexxfx将其展

8、为傅氏级数 .na1xnxexdcos021)cossin(1nnxnxnex0),2, 1,0(11) 1(12nnen例例8. 设设 f (x)是周期为是周期为2的函数的函数, 它在解答提示解答提示xnxebxndsin1021)cos(sin1nnxnnxex0),2, 1(1) 1(12nnenn21)(exf11n)sin(cosnxnnx 211) 1(nen),2,1,0,(kkx考虑考虑: 如何利用本题结果求级数如何利用本题结果求级数?11) 1(02的和nnne根据傅氏级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有21e11n211) 1(nen2)0()0(ff21提示提示:四

9、、练习题四、练习题1、选择题111) 1(3 ).1 (nnnnnnxnaxa，则的收敛半径为设幂级数)2, 4()(4, 2)()3, 3()()4, 2()(DCBA)(1,2) 1( ).2(1处则此级数在处收敛在设xxxannn收敛性不确定发散绝对收敛条件收敛)()()()(DCBA)(的收敛区间为2. 求下列级数的收敛域.;212)2(;12) 1() 1 (121112nnnnnnxnnx.)5()4();21()3(11nnnnnnnxxx3. 求下列幂级数的和函数.;12) 1() 1 (1121nnnnx.2) 1(,2) 1()2(11111nnnnnnnxnn并求4. 把下列函数展成关于 x 的幂级数.d)1ln()()2(;)21)(1 (3)() 1 (0 xxxxfxxxfx5. 把下列函数在指定点处展成的幂级数.; 4,)21)(1 (3)() 1 (0 xxxxf在. 1,lg)()2(0 xxxf在上展开在2 , 0 . 621 ,210 ,)(xxxxxf.211nSn为余弦级数，并求答案：答案：1. 选择题：A B).6, 4 )4();1 ,21()21, 1() 3();2,2()2(;1, 1) 1 (. 2;1, 1,arctan)(