大学本科数学毕业论文

1、湖南第一师范学院毕业论文题目放缩法在数学上的应用及推广学生姓名叶剑学号指导教师赵清贵系部名称数学系专业班级09应数3班完成时间2013年5月湖南第一师范学院教务处制本科毕业论文放缩法在数学上的应用及推广学生姓名：叶剑系部名称：数学系专业名称：数学与应用数学指导教师：赵清贵毕业论文作者声明1本人提交的毕业论文是本人在指导教师指导下独立进行研究取得的成果。除文中特别加以标注的地方外，本文不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的成果。对本文研究做出重要贡献的个人与集体均已在文中明确标明。2本人完全了解湖南第一师范学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学院保留并向国家有关部门或机构送交本文的复印件和电

2、子版，允许本文被查阅、借阅或编入有关数据库进行检索。同意湖南第一师范学院可以采用影印、打印或扫描等复制手段保存和汇编本文，可以用不同方式在不同媒体上发表、传播本文的全部或部分内容。3湖南第一师范学院在组织专家对毕业论文进行复审时，如发现本文抄袭，一切后果均由本人承担，与学院和毕业论文指导教师无关。作者签名： 日期：二一三年 月 日湖南第一师范学院毕业论文任务书专业班级09应数3班学生姓名叶剑学 号课题名称 放缩法在数学上的应用及推广设计(论文)起止时间 2012年 10月 8 日至2013年 4月 30 日课题类型 理论研究 课题性质 学生自选题一、 课题研究的目的与主要内容 研究的目的：放缩

3、法也称为放缩思想，产生于不等式问题，要证明不等式A<B成立，有时直接进行比较存在很大难度，这时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，使证明简单化，这种证法便称为放缩法。放缩法的产生给数学带来了巨大影响和贡献，解决了很多非常困难的题目.。但是放缩法什么时候可用？该如何去放缩,？放缩到什么程度才合适呢？这些问题一直困扰着我们，所以对这些问题进行研究将有助于今后的解题。 主要内容：先给出放缩思想的产生和在数学上的意义，再围绕放缩法运用的条件，运用的方法和放缩的程度进行论述，最后论述放缩法在数学分析，实变函数，初等数论中的应用。以便对放缩法达

4、到一定的了解，对放缩法的运用更加成熟。二、 基本要求 （1）态度认真，坚持自主创做。 （2）语言准确，内容正确，逻辑性要强。 （3）严密性要高，突出论文的中心内容和目的并要有一定的实用性。注：1、此表由指导教师填写，经各教研室主任、系（部）教学主任审批生效； 2、此表双面打印，一式三份，学生、指导教师、教研室各1份。 三、课题研究已具备的条件（包括实验室、主要仪器设备、参考资料）（1）已具备与论文有关的参考文献，（2）具备相应的数据和例题并具有自己的想法。四、论文(设计)进度表2012年9月20日2013年3月5日 确定选题、收集相关资料2013年3月6日2013年3月9日 撰写开题报告与开题

5、2013年3月10日2013年3月25日 完成初稿2013年3月26日2013年3月30日 完成二稿2013年3月31日2013年4月5日 定稿五、教研室审批意见教研室主任（签名） 2012年 10 月 20日六、系（部）审批意见系（部）负责人（签名） （公章） 2012年10月 20日指导教师（签名）： 学生（签名）： 湖南第一师范学院毕业论文成绩评定表系（部） 数 学 系 专业班级 09应数三班 学生姓名 叶剑 学 号 09402030341 课 题 放缩法在数学上的应用及推广 一、指导教师评阅意见指导教师评语（主要对学生毕业论文（设计）的工作态度，研究内容与方法，工作量，文献应用，创新性

6、，实用性，科学性，文本（图纸）规范程度，存在的不足等进行综合评价）：建议成绩：_ 指导教师签字： 年 月 日二、评阅人评阅意见评阅人评语（主要审查文本质量，包括设计思路、理论观点、知识应用能力、创新能力、外语水平以及文本、图纸的规范性等）：建议成绩：_ 评阅人签字： 年 月 日三、答辩成绩评定答辩记录及意见：答辩成绩：_ 答辩委员会（组长）签字： 年 月 日四、综合评定等级成绩评定等级：系（部）毕业设计（论文）领导小组组长（签字）： 年 月 日复审评定：专家（签字）： 年 月 日注：复审评定由学院组织专家抽查、评定。摘 要 放缩法就是针对不等式的结构特征，运用不等式的性质，瞄准目标，将不等式的

7、一边或两边进行放大或缩小，使问题解决的一种变形手段.。在一些计算性题目中，如果题目的精度要求不高，也可以将中间过程进行适当放大或缩小，从而迅速达到精度足够的结果。但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证变换的连续性、目的性与和谐性。放缩法在中小学和高等数学中有着广泛的应用，然而放缩法的教学是一大难点，学生接受、运用时普遍感到难以驾驭，归因于使用放缩法需要较高的拆分组合技巧，还要把握好放缩的“尺度”，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论.、 关键词：放缩法；精度；不等式；估算 ABSTRACTScaling method is a menas of deformation to s

8、olve the problem .contraposing the inequality structural features,It applies for the nature of inequality, Sets a target and zooms in or out one of both sides of the inequality,In some computaitional subjects,If the requirement of precision is low .We can appropriate zoom in or out the intermediate

9、results.thus to acquire the estimation methods of rapid reaching of accurate enough results .However whether the inequality enarged or reduced.we must follow the transitive law.Ensure the transformative continuity purposity and harmony. Scaling method has be widely applied in the primary secondary a

10、nd higher mathematics but the Scaling law is a major difficult in teaching . It is a common difficult for students to take in and manage the Scaling method. Due to the law requires a higher zoom in dividing skills, but also a good grasp of the zoom scale, otherwise it will not reach the desired purp

11、ose, or draw the wrong conclusions.Keywords: grading method；Accuracy；Inequality；Estimating目 录摘 要IIIAbstractIV第一章 绪 论11.1 引言11.2 放缩法简介1第二章 放缩法在中小学的应用举例2 2.1 利用放缩法证明不等式2 2.2 放缩法在估算上的应用4 2.3 放缩法在数列上的应用6第三章 放缩法在高等数学上的应用举例8 3.1 放缩法求极限8 3.2 放缩法证明定理10第四章 放缩的方法与尺度11 4.1 放缩的方法11 4.2 如何把握放缩的尺度15第五章 结束语18参考文献1

12、9致谢20第一章 绪 论1.1引言近年来，在小考，中考以及高考中，都涉及到利用放缩法来解题。放缩法自诞生以来不仅解决了数学上困扰人们已久的很多难题还大大降低了计算量，为粗略计算和不等式的证明带来了很大的方便，受到人们的追捧并应用于各个方面，是数学上一种重要的方法。当然如果放缩不适当就不能得到理想的结果，所以如何放缩，如何做到放缩适度是关键，但要做到放缩适度却不是一件容易的事，因此有必要从小学开始便接触放缩法，并逐步掌握放缩的技巧，进而达到熟能生巧的地步。现在也越来越受到人们的重视并在中小学及大学中大力推广。1.2 放缩法简介 放缩法又称放缩思想，是指在计算性题目中，如果题目的精度要求不高，可以

13、将中间过程适当放大或缩小，从而迅速达到精度足够的结果的计算方法。如在证明不等式时，可以构造数学式子C，使,且从而得证。其中数学式子C是常常通过将A缩小或将B放大而构造成的。这种方法的的推理依据是不等式的传递性。第二章 放缩法在中小学上的应用举例2.1 利用放缩法证明不等式放缩法是证明不等式的常用方法，理论依据是不等式的传递性，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤，给不等式的证明带来了很大的方便。我们借助几道常见的题型来作分析。例1.若是自然数，求证证明：因为 所以 = 注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个 更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本

14、思想。例2. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则为真分数，则，同理， 故.综合得 可见放缩法非常的灵活非常的巧妙，当然也意味着难度较大。不容易想到，因此要多做题目多看题型，在脑海中形成印象才便与解题。例3. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。例 4. .已知a，b，c是不全相等的正数，求证： 证明：综合 2bc,a0, 2abc 同理 2abc 2abc 因为a，b，c不全相等，所以2bc, 2ca, 2ab三式不能全取“=”号，从而、三式也不能全取“=”号 放缩法

15、除了用于比较大小之外，还可用于问题的最优判定。如例 5. 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截 面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明为了证明上式成立，只需证明 两边同乘以正数，得因此，只需证明上式是成立的，所以这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是

16、正方形的水管流量大 可见，有了放缩法，在证明不等式时就显得游刃有余，而放缩法又必须建立在不等式的传递性基础之上，两者相结合，熟练运用，解题时就不会无从下手。2.2 放缩法在估算上的应用 估算指精度要求不是很高的一种运算，是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，为粗略计算带来了很大的方便，其表现形式通常有以下两种：（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。例 1. ，求 A的小数点后前3位数字。解：A1234÷3122=0.3952A1235÷31210.3957所以0.3952A0.395

17、7，A的小数点后前3位数是395。说明：上述解法是采用放缩法估计范围解答的，本题还可采用取近似值的办法求解。解法如下：将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有1234÷31210.39530.395。 例 2.在 得它们的和大于3，至少要选多少个数？ 所以，至少应选11个数。 本题解答过程中包括两个方面，其一是确定选数的原则；其二是验算找到“分界限，这里的验算只是一种估计或估算，并不要求精确。例 3.求下式中S的整数部分： 解：根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；当分子不变，分母变小时，分数值变大”对S的分母进行放缩。由题意得 因为 由此我们可看出放缩法在估算中

18、的利用是多么的巧妙，为解题带来了很大的方便的同时也降低了难度，我们要学好放缩法。2.3放缩法在数列上的应用 数列在高考中几乎是必考的知识点且一般都考大题，大题中又分为几个小题，所占分值是很高的，而小题中往往都有数列的证明，这些证明又往往离不开放缩法。例1.已知数列满足：，求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即所以数列为递增数列，所以，即，累加得：令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得例 2已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2) 求证：解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 所以， ， 所以（2）因为，所以，所以；例 3.定义数列

19、如下：求证：（1）对于恒有成立； （2）当，有成立； （3）分析：（1）用数学归纳法易证。 （2）由得： 以上各式两边分别相乘得： ，又 （3）要证不等式，可先设法求和：，再进行适当的放缩。又原不等式得证。第三章放缩法在高等数学上的应用举例3.1利用放缩法求极限 放缩法在高等数学上有着广泛的应用，是求极限和证明极限存在的常用方法。 本题巧妙的应用了正、余弦函数的有界性进行适当的放大或缩小.如例 2. 证明 (1) (2) (3)证明：任给，取 ，据分析，当n>N时有（2）式成立，于是本题得证。一般，含有单调的函数（或数列）, 易于寻找函数（或数列）的上（或下）界，应用上（或下）界完成放缩

20、.对非单调的函数（或数列），也可找上（或下）界。3.2 利用放缩法证明定理放缩法不仅是求极限和证明及限存在的方法，还是很多定理证明的重要方法。例 1. 证明闭区间套定理 即 （1）证明 ： 由于 （2） （3） 且 （4） 联合（2,），（4）即得（1）式。最后证明满足（1）的是唯一的。设数则由（1）式有得因此有例 2. 定理1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。证明： 不妨设 S包含非负数，S有上界 存在自然数 ，使得1）； 2）存在在 内作10等分，分点分别为： 存在自然数 使得 1） 2）存在 1） 2）存在 按上述办法无限作

21、下去，得到实数 ，可以验证。例3.证明凡孤立集合都是有限集合或可数集合。 利用放缩法证明的定理还有很多，再此就不一一列出。纵观高等数学上的各种定理很多都用到了放缩法，因此我们应该正视放缩思想的实用性认真学习并掌握。第四章 放缩的方法与尺度4.1放缩的方法 不等式的论证历来以方法多，技巧性强，难度高著称，而在诸多方法中尤以放缩法最难以把握，究其原因正在于学生不能掌握放缩的方法和尺度。笔者结合一些高考试题，列谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。（1）添加或舍弃一些正项（或负项）例 1已知求证：证明： 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明

22、不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍弃了，从而是使和式得到化简.（2）先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2.函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+f（n）>n+.证明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）>.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或

23、分母放大即可。（3）先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例 3.已知an=n ，求证：3证明：=1 =1 () =1123本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.（4）放大或缩小“因式”例 4.已知数列满足求证：证：， 本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.（5）逐项放大或缩小例 5.设求证： 证明： ， 本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。（6）固定一部分项，放缩另外的项；例 6.求证： 证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能

24、缩的太窄，真正做到恰倒好处。（7）利用基本不等式放缩例 7.已知，证明：不等式对任何正整数都成立.证明：要证，只要证 .因为 ，故只要证 ，即只要证 .因为，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.（8）先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩例 8.已知i，m、n是正整数，且1imn.(1)证明：niAmiA；(2)证明：(1+m)n(1+n)m证明：(1)对于1im，且A =m··(mi+1)，由于mn，对于整数k=1，2，i1，有，所以(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知

25、miAniA (1imn ，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住

26、题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.4.2 如何把握放缩尺度 运用放缩法证明不等式的确是一种很巧妙的证明方法，但是才能如何做到快速、有效地放缩，即应该放多大，缩多小，这是我们在利用放缩法证明不等式时的一大难点。那么怎样才能把握住放缩的尺度呢？（1）放缩幅度不得超过两端之差要证a>b(或a<b),可在a,b之间找一个数c，使得a>c>b(或a<c<b) ,则是缩小（或放大）幅度，为放大（或缩小）幅度，因为，所以 :同理，当两端可以直接比较大小时，由此即可控制放缩的尺度，如：例 1.求证： 分析： 两端可以比较大小= ，所以放缩的幅度应为d<，（d为放缩幅度）对照待证不等式，发现 共有n项，因此可知每一项的放缩幅度可能为 ，这样总的放缩度为< ，从而有，即，由于此式确实成立，因而我们就找到了证题途径。证