初暑假几何讲义

1、第一章截长补短知识要点：1 一分为二与合二为一2三种变换3角平分线与中线的理解 4局部合成整体1在厶ABC中,AD是角平分线，/ B=2 / C.求证 AB+BD=AC2 如图，AD/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点 E,求证;AB = AD+BC3 如图，在厶 ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，求证：AC=AE+CD4如图 2-33 所示.Rt ABC中,/ BAC=90 , AD丄BC于 D, BG平分/ ABC； EF/ BC且交 AC于 F.求证：AE=CF5如图2-14所示.在正方形 ABCD中，P

2、 , Q分别为BC , CD边上的点，PQ=PB+DQ求证： / PAQ=456如图， ABC为等边三角形，延长BC 至U D，延长 BA 至U E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE7如图，在 ABC中，AB二AC,D是底边BC上一点,BED =2 CED = A.求证：BD =2CD .8如图所示，ABC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶 点作一个60的.MDN，点M、N分别在 AB、AC上，求.：AMN的周长.第二章谈谈面积法和传统几何 知识要点：共边定理，局部合成整体，反比 例1:求证等腰三角形两腰上的高相等。例2:给定等腰三角形 ABC，D

3、为底边BC上任意一点求证 D到两腰的距离和相等。例3如图2-76所示. ABC中, AD是/ BAC的平分线.求证：AB： AC=BD DC图 2T6例4平行四边形ABC冲，设E、F分别是BC AB上的一点，AE与CF相交于P,且AE = CF.求证：/ DPA =Z DPC .例5已知：在梯形 ABCD中，DC/AB , M为腰BC上的中点B求证：S. DMA 二丄 S ABCD2例6 在厶ABC中, ,AB=AC在AB边上取点D,在AC延长线上了取点 E，使CE=BD, 连接DE交BC于点F,求证DF=EF .例7已知：如图6所示在 ABC中，/ BAC、/ BCA的角平分线 AD、CE相

4、交于0。若三角形AE0与三角形0CD面积和等于三角形 A0C面积，求证.B=60B图6第三章旋转，平移，对称1如图，分别以 ABC的边AB , AC向外作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE，线段BE 与CD相交于点0,连接 OA .(1) 求证：BE=DC ;(2) 求/ B0D的度数；(3) 求证：0A平分/ D0E .D/Q2 已知四边形 ABCD 中，A B A D, BC _ CD , AB = BC , / ABC = 120 ,Z MBN =60 , z MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC (或它们的延长线)于 E, F .当Z MBN绕B点旋转到 AE =CF时(

5、如图1),易证AE +CF =EF .当Z MBN绕B点旋转到AE =CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，不需证明.NN（图3）（图1）（图2）3 已知 Rt ABC 中，/ C=90 ° D 是 AB 上一点，作 DE丄 BC 于 E,若 BE=AC , BD=丄,2DE+BC=1，求：/ ABC 的度数.4已知： ABC是正三角形，P是三角形内一点， PA = 3, PB= 4, PC= 5. 求：/ APB的度数.BC5平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、A

6、B上的一点，AE与CF相交于P,且.Z DPA = Z DPC .求证：AE = CF6设P是正方形ABCD 一边BC上的任一点,求证：PA = PF.PF 丄 AP, CF 平分Z DCE .7如图2-6所示./ A=90 ° , AB=AC , M是AC边的中点，AD丄BM交BC于D，交BM 于E .求证：團268 五边形 ABCDE 中，AB = AE ,BC + DE = CD，/ ABC + Z AED = 180°。求证：/ ADE =Z ADC。9如图2-9所示.已知正方形 ABC中，M为CD的中点，E为MCh点，且/ BAE=2/ DAM求 证：AE=BQC

7、E第四章勾股定理提高篇知识要点：1垂直与勾股定理 2平方差与垂直3几何变换综合应用例 1 已知/ ABC=30。，/ ADC=60 ° , AD=DC .求证： bl=ab2+bc2. 例2三角形ABC中过A作BC的高AD求证AB2 _ AC 2二BD 2 _ CD 2例3如图14,已知等边厶 ABC内有一点 N , ND丄BC , NE丄AB , NF丄AC , D、E、F都是垂足，M是厶ABC中异于N的另一点，若，厂.'那么P1与2的大小关系是 .凶例4如图，已知 ABC中, AB=AQZ B=2/ A 求证： AB2-BC2 = ABBC例5如图2-31所示.从锐角三角

8、形ABC的顶点B, C分别向对边作垂线BE CF.求证：BC=AB BF+AC CE例6如图2-22所示.ABC的 BC边上的中线，求证：AB+AC=2(AM+BM).例 7 如图 7,已知 ABC 中，AD 丄 BC , AB+CD=AC+BD 求证：AB=AC .猛第二节勾股定理与定量计算知识要点：1割补法2勾股定理和逆定理 3对称性4分类讨论例 1 如图 8-2，四边形 ABCD 中/ A = 60。，/ B = Z D = 90 ° , AD = 8 , AB = 7, 则BC + CD等于C.33B.A. 45图8-2395D. I5中，AB = 5, BC = 12,将矩

9、形 ABCD沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是( )例 2 如图 8-3 ,在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD = 3, BC = 9, AB = 6, CD = 4,若 EF/ BC, 且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则 EF的长为 ()例4是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于 另一个内角2倍的 ABC ?证明你的结论。例5在ABC中，已知 BD和CE分别是两边上的中线，并且BD ±CE , BD=4 , CE=6，那么AABC的面积等于()例6已知ABC的三边长分别为 a, b, c,面积为S, AiBiCi的三边

10、长分别为 ai, bi,Ci 面积为Si,且a> ai, b>bi, c>ci则S与Si的大小关系一定是()。(A) S>Si; ( B) Sv Si；( C) S= Si；( D)不确定。例7如图，在 ABC中，AB = 7, AC= 11,点M是BC的中点，AD是ZBAC的平分线,MF /AD，贝U FC的长为例 8 如图，在四边形 ABCD 中，ZB= 135° ZC= 120° AB=2、3 , BC=4-2、'S , CD = 4 2 ,则AD边的长为().例9如图，在梯形ABCD 中，AB /DC, AB = 8,/BCD = 4

11、5° /BAD =120°则梯形ABCD的面积等于 第五章四边形第一节平行四边形知识要点：1性质定理与判定定理 2倍长中线3进一步深入理解几何变换由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1) 平行四边形对角相等；(2) 平行四边形对边相等；(3) 平行四边形对角线互相平分.除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法:(1) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.1如图：E.F分别为平行四边形 ABCD的边AD,BC的中点，G.,H

12、在BD上且BG=DH,求证:四边形EGFH是平行四边形2如图；平行四边形 ABCD中,AE=CF, M.N分别是DE,BF的中点，求证:四边形ENMF是平行四边形AE3如图；平行四边形的对角线 AC和BD相交于点0,经过0的直线交BC, AD于E. F. 求证:四边形BEDF是平行四边形4如图：在平行四边形 ABCD中,AB >BC, / A的平分线与/ D的平分线交于占八、E, Z B的平分线与/ C的平分线交于点 F,求证:EF=AB BCD5将图甲中的平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，再将 ADC沿着AC方向平移，得到图乙中的 AiDCi，连结ADi , BG，除 ABC与厶C1

13、D1Ai外，你还可以在图中找出 哪几对全等的三角形(不能另外添加辅助线和字母)？请选择其中的一对加以证明.图甲图乙Ci6已知：如图,AD是BC上的中线，且DF=DE求证:BE/ CF.BC的同侧作等边 ABD、等边 ACE、(1)求证：四边形 DAEF是平行四边形;E7如图所示，在厶ABC中，分别以AB、AC、BC为边在 等边 BCF.EANCF8若以三角形ABC的边AB BC为边向 三角形外作正方形 ABDE BCFG N为AC 中点，求证：DG=2BN BM_DG9 求证三角形的中位线平行于底边并且等于底边的一半第二节长方形，菱形，正方形 知识要点：特殊平行四边形：一、矩形（1）有一角是直

14、角的平行四边形是矩形（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。（4）矩形判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（5）矩形判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）定理 1: 菱形的四条边都相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2（5）菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形（6）菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。三、正方形(1 )有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(2)性质：四个角都是直角，四条边相等角线平对角线相等，并且互

15、相垂直平分，每条对 分一组对角(3)判定：一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形1在正方形ABCD勺对角线BD上，取BE=AB 若过E作BD的垂线EF交CD于 F,求证：CF=ED2 在四边形 ABCD中, AB=CD P、Q 分别是AD BC中点，M N分别是对角线AC BD的中点，求证：PQMN。3在直角三角形 ABC中，CD是斜边 AB 的高，/ A的平分线 AE交CD于 F,交BC 于E, EGAB于G,求证：CFGE是菱形。4正方形ABCD勺边AD上有一点E, 满足BE=ED+DC如果 M是AD的中点,求证：/ EBC=2/ ABM5正方形ABCD中，点P与B C的连

16、线和BC的夹角为15求证：PA=PD=AD6如图，四边形 ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE丄AG于点E, BF丄AG于点F.(1) 求证：DE BF = EF.(2) 当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由.(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明)皿D图7如图2-41所示.矩形ABCDK F在CB延长线上，AE=EF CF=CA求证: BE丄 DE8如图，在矩形 ABCD中，已知 AD = 12, AB = 5, P是AD边上任意一点， PE丄BD于E,PF 丄 AC 于

17、 F，求 PE + PF 的值。H9矩形ABC冲，CE! BD于E, AF平分/ BAD交EC延长线于F.求证：CA=CF第三节梯形【知识梳理】与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形， 其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：1、平移腰：过一顶点作一腰的平行线；2、平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；3、过底的顶点作另一底的垂线。熟悉以下基本图形

18、、基本结论:从一底的两端作另一底的垂线平移一腰平移对角线延长两厲交于一点连结上底一端和腰中点并延 长*与下底的延长线交于-点中位线概念：(1) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.(2) 梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。1已知：直角梯形 ABCD中，BC=CD=a 且/ BCD=60, E、F分别为梯形的腰 ABDC的中点，求：EF的长2已知：梯形ABCD中, AB/ CD AQCB, AC平分/ A,又/ B=60

19、 ,梯形的周长是 AB的长。20cm,求:4如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC, AC = BD, AD = BC.判断四边形ABCD3在梯形 ABCD中，二底 AD BC的中点是 E、F,在EF上任取一点 0,求证：S OAB =S OCD的形状，并证明你的结论5如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°,它的两底分别为15cm和49cm,求它的腰长an7已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4,求此梯形的面积。6已知：如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , E是CD的中点，且 AE丄BE.求证：AD + BC = AB8如图，在梯形 ABCD中，AD / BC ,

20、 E、F分别是 AD、BC的中点，若/ B+Z C= 90° .AD=7 , BC = 15 ,求 EF .9如图2-44所示.ABCD是梯形, AC, BD交于0.求Z BCD的度数.AD / BC, ADV BC, AB=AC且 AB丄 AC BD=BC第四章综合应用知识要点：1对中点的认识与处理 2三种变换1已知在 ABC中，Z B=2 Z C, AD丄BC于D , M为BC的中点. 1求证：DM AB22 梯形 ABCD 中，AB / CD, M、N分别是AC、BD的中点。求证:MN = - (AB - CD)23四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD .BA、CD的延长线交 HG的延长 线于 E、F。求证：/ BEH= / CFH.4已知： ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形点。求证：PM = PNABM和CAN，P是BC的中5如图已知： ABC中，AD是角平分线，BE = CF , M、N分别是N求证：MN / AD6已知如图：正方形ABCD , BE= BD , CE