复变函数与积分变换第三版答案华中科技大学数学(供参考)

1、百度文库11讦算下列各式.（1） （1 + i） 一（3 - 2i）;解 （1 + 1） - （3 - 2i） = （1 + i） - 3 + 2i - - 2 + 3L（口 - 6i）3；解 （a - bi尸=a1 - 3a2bi + 3a （bi）2 一（历尸=ti - 3ab + i（63 ）.（i - 1）（1 - 2）;锐iL1w= - - 2i i + 2 二1=Kl + 3i）=二3L io- io16 Z ,= + - 1）： z + 1解 之一 1 工+iy - 1 =（工 - 1 + N）（h +1 一 凶）忠十1 /十0十1（jr + I）2 + y2=/+#+ 2i y

2、（/ + 1产十/12 证明下列关于共辗复薮的运算性质：（1）（21 +之2）=矛| 土乏之；证（口土芝2）亡（工I十3）土 （叫+ 02）-（X1 X2） + *2）=（Ni 工2）- i（/l 2）=- 】士工义工i卫2二通士 2-（2）定1 注义=豆4 21!证 芝1 N2 =（11 + i?z）=（11工2 - N了2）+ i（工 1丁2 + 岁1五2）=1立2 -山2 - 1（1 1、2 + /1亚）盘1，Z2 =（4 十 必）（亚 十 12）= （了-11）（X2 - iy2）=上12 - W1 工2 - 1!2 -，132 即左边=右边，得证.（0）.辽 fl _ / 叫 + 汕

3、、_+ 3（孙一必）I七J 一 I12+b J - I 避十送 /11忌+ yi工i* 交i解方程组2巴-Z2 - i,(1 + i)町 + 1Z2 = 4 - 3L所给方程组可写为J2| + 2iyi -盯 - iy2 = i, 1(1 + i)(q + iyi)十乂工2 十 i32)- 4 - 3i.：211 一12 + i(2 一 火)二 i, v一一2 + i(l + VI)= 4 - 3、#利用复数相等的概念可知21一 工2 = 0，20_力=1,_ 力:4, 孙 + 央 + V = - 3. 解得6 皿=一亍17, T-l.1763比=T-八二一 W皿二 一 W，故36,6可=-

4、5 -亍，叼=一弓14 将直线方程十妁十c = 0 （/十提彳0）写成复数形式, 提不：记1r十iy = z.解由工三五/，y =与三代入直线方程，得勺（史+无）+枭之一至）+ c =0,21az + az - bz -芝）+ 2。=0,（a - 16）z + （a + i6）无+ 2c =0,33故 An +中 A = 口 十 16 t 3 = 2u.1.5将圆周方程a （ jt2 + yy+bjr十。十辽- 0（ a. #0）与成发数形式（即用茗与之表示.其中注=R卜池）.牙代人圆周方程,一至十三（七 十 交）+若（上一三）十反 二0, 2口工乏 十 （ 6 一 i匚）之 （b + i.）

5、W + 2d =0* 故 Aw * W i Bh + 卜 C = 0 T 其中 A = 2a . B b + i 士，C = 2d .1.6 求下列复数的模与辐角主值.（1 ） s/3 + i；解 I 2 - i| - JW +(一】=V5,解 I - 1 + 3ij = W ( 1 / + 3, - yTo ,3arg( 1 + 3i) = arc run j + n =充一arc tan 3.1-7证明下列各式工（1） I 勒-列 二 I 力/+ | 町|2 一 2Re（Z 1 干2）；证 |如二（为一32）（?22）-（可-勺）（刃-幼）二句可+ 孙52 一 ？2至1 一修乏2=1 +如

6、产-（山初+勤?2）=21 2 + | Z2 2 - 2&史2），#几何鼠丁 十国一引|2 = 2（|司2+|司2）,并说明此式的证 | 21 +22 | 2 + N一与2二（街+勿）（三高）+ （国金）（水厂不） 二（町十之2）（司+芝2）+ （英一之2）-Z2） 二2|为+ 2| 之/2 二 2（1力2 +限/2）.卜)志+ R)v I/4旧+1” (其中”工+).证显然有屋| = |r + iy| = s/X1 + y2 ( | T | 4- | y | ,而 (一 lyl)220,则 2|冲|，+/.又(I jr | + y2 = x2 -j- | y |2 + 2 Lry I由开方公

7、式计算得z =1 (oos k + i sinr)3=cos空旷小n丝上nk = 0,1,2.1 上百, 2 +Tl*1.11It l TT=0 = oos ? + sin 3二zt = cos 冗 + 1 simr = 157r . 5n143,力=oos + i smg = 2 - 2指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的?是单连通域还是多连通域？(1) 2 |z|3；解圆环，有界多连通域.田(3；解 以原点为中心,g为半径的圆的外部，无界多连通域.号 arg之 与且1 I z | 1 且 | 注 | 2;解 圆环的一部分，有界、单连域.,无界岸连域,椭圆的内部及椭

8、网的边界，有界，闭区域.(7) I arg z | 0)-解 分三种情况:0 o 1为圆内.1 12 指出满足下列各式的点z的轨迹是什么曲线。以(0, - i)为心,1为半径的圆周.#(2) z - a- z + a - 6,其中 a,b 为正实常数;以士 a为焦点，2为长半轴的椭(3)之一。=Re(z -匕)，其中口，6为实常数;解 设之=工+ iy,则I(X- a) + iy = Re(x - 6 + iy).即 j(3 一 q/ + 了* =(工一切2,1. Ix - b 0.解椭圆周的参数方程为才W2科写成复数形y - 6 sin t j式为 z = a cos i + i bsin

9、t (0 = 4 28),L 14试将函数一 J 一葭巧一金)写成z的函数(z =+ ij),解将工二一z.y - k代人上式，得(z + z)2 ,(之一乏尸 .(注+ W)(七一三),注+乏4- 4i +1三一三+理+近一叵F+4+2 2L 15 试证lim也，不存在.E Z证lim92 = lim ：. 5令3 =红，则上述极限为月丁，随方z-H) Xr T 工 + 1V1 + 左 I变化而变化，因而极限不存在.用.-01 16设A幻二卡工十 /试证f建)在=0处不连续.0之二 0,证因1 - r-f I 见yr无jtk蚓小)=则, + /=4芽=， y - JUT)BPlirn/(z)

10、不存在，故f(z)在七二0处不连续.99_ J_小 &与1二上/=. 三上汩二_.之一/羽 （2 + 2 ） zi ”。），1011+ Re 之r（之）=（-）=-e（2#0）.ENf（G解因=zRe h.lim 仆 +：）二小）XTdM_ 由（三+ /）Re（看 + Rw） 一 之Rc;宅 之v之一十 AhRw a + AhRe Itm.Re z + Re 七r f rj , Re Azhm Kf m 十之;=lim （Re n + z rr-）,oZkr + lAv /当时，上述极限不存在.故导数不存在；当W =。时，上述极 限为。，故导数为0.2 .下列函数在何处可导？何处不可导？何处解

11、析?何处不解析？ f（z）=乏 * N2.解 /（之）=矛* 二牙史,名二=（J? + iy）=JC（T2 + J?） + 2，uy = 2xy,% = 2卬，要盯二%当口仅当x - y = 0,而4, %, %, %均连续， 故f(怎)=记*/仅在z - 0处可导.处处不解析.(2) f(z) - x2 + i*.解 这里 w - x2- y2 Uj = 2工，状=0, % = 0, % = 2y,四 个偏导数均连续,但以* =仅在r = y处成立，故/(z)仅在=了上可导t处处不解析.(3) f(z) - t3 - 3xy2 + i(32y 一 了”解 这里以父，了)=/- 3Hly工已(

12、彳,y)=3H% - % = 3” -3区内 = - 6g , % = 6xyt vy = 3” - 3y2,四个偏导数均连续且 % = %* % = - %处处成立.故f(z)在整个复平面上处处可导，也 处处解析.(4) /(z) sin x ch + i cos x sh .解这里u(j：,y)= sin j:ch yt v(rfy) - cos ish y. oos j: ch yt uy sin t sh 3/, V? = 一 sin jtsh yr = cog ch y . 四个偏导均连续且% = %,%=-%处处成立， 故f(公处处可导，也处处解析.3.确定下列函数的解析区域和奇点

13、,并求出导数. 一解 f(G 二 7三 是有理函数，除去分母为。的点外处处解析, Z - L故全平面除去点之=1及之二- 1的区域为员工)的解析区域,奇点为2 = !,/()的导数为：1111则可推出含=小 0,即就=C（常数）故启）必为。中常数,（3）设/（之）=u + i*由条件知理卫=C,从而 u求导得一十打u t V化简，利用CR条件得所以居-= 0,同理算常二0,即在D中M ,笠为常数，故/（） 在D中为常数.（4）设Q =/= 0,则说J（C-阮）/&,求导得 3ub 3v dub 3vdjca 3j：J dya 3y *由OR条件Su b Su 3） b dv 五=3石，五R 7

14、匹 故必为常数，即f（z）在D中为常数.设a。0*#0#0,则bv = c,知山为常数，又由CR条件知 也必为常数，所以于（G在D中为常数.5,设/（幻在区域。内解析，试证（磊+给出）-=4/（名）|2证设f（z） - M + it ,I /（之）I 2 = M +人）=M嗡，川y鼾+像）#又f（G解析,则实部&及虚部中均为调和函数,故（靠+嘉卜。,（塞+,则层十给心（打十制卜66.试证CR方程的极坐标形式为票叶弱，需=-十招，并且 有证一设工=r cos仇y 二厂sinGR条件;普二孕，牛=一空 ox dy dy djcdu 3u 9x , du dydu丽Sudjcae3ydrdjcSr3

15、 if _旦又dd dx3工du dy 访 393y 3y 3 y 3 t,3*p dy dy 33白 H V . ndu=cos U 三一+ sin u 丁, ox dy-n 反Q du-rsin 8 源 +，8S 8 西,=cos 廿% + sin 夕“，=rsin t/ + 厂cos u 丁 ojcJy利用?=孔、票，比较、和.即得 片f dy uy dm3u1 dy1 du1L一 jtwbr _ _.drr 30 Orr 301313二僵8s 6T 务in小獴皿十If sin 0）证二得7 .试证比=1-二丁%都是调和函数，但十旧不是 x+y解析函数.故 =/-丁是调和函数,又_ _

16、一 2a -2_y3 + 6x2,y3M -（/ + /2，斤=（工2+/）2，+ / _ 2）Z _ y_2 犷 p _ 2y3 6g2.。了（工, + 2）2（X2 + /产Oy2 （X2 + y2）2 则翱+菖=，故幻=, 2 2是调和函数.d 工dyx + y但罢工齐哭声一条故十旧不是解析函数.#8 .如果 十2为解析函数，试证_ 是。的共粗调和函 数.证只需证灯-2为解析函数.因i,祝+沁均为解析函数，故- i(w + M)也是解析函数，亦即_ 是,的共柜调和，9,由下列条件求解析函数f(z)=建十2.(1) -+ 4工了 + y2);解因供=空=3jt2 +- 3y所以偌v = (

17、3x2 +- 3y2)dya= 31. + 3布2 - j?十中(z), 又含=6功+ 3y2 + U),而翁=312_6冲_3/所以/= 一 一则=一 +C,故/(N)= u + i”(.X - )(2 + 4jcy + y2)+ i(3x2 + 3:ry2 - 3f3 jc3 H- C)=(1 - i)jc2(x + iy) - 了“(I - i)( + iy) 2jy(l + i) 2H3汽1 - i)十 Ci=z(l -i)(x2 - 2) 2xy , iz(l - i) + Ci二(1 - y2 - 2xy)十 Ci=(1 - i)/ 十 Ci.(2)v = 2xy + 3t;解因器

18、=2, + 3,患=2m,由/(z)解析，有养= = 2工,u = 2-dj：二22 +少6).又留=一招二一2-3,而 = /(“，所以 W(“ 二2y -3,则 山(？)= / _ 3+ C 故/(z) ，- 9 - 3)+ C + i(2xy + 3).1515(3) = 2(x - 1)，F(2) = - i;解因含=2方需=2(工-力由小)的解析性，有 ?=一票1),F簟=2(1 l)dz (M 一 1)2 + S(y),V又需=器=2,而墨=/G),所以SG) = 2y, 0(y) = / + C, 则V = (T I)2 + / + C, 故f(z = 2(jc - 1)y十 i

19、( 一 (x - I)2 + y2 + C),由 f(2) = i 得 f(2) = i( - 1 + C) = 一 i,推出 C = 0.即/(z) =2(i l)y 十 i(y2 一 + 2i - 1)i( z2 + 2z - 1) = - i(z 1 )2.(4) u e(xcos y 3?sin /)./(0) = 0.解因红3y含=eT( jrcos y - /sin y) + ecos y,ex( xsin y - sin y 37005 3?),由f（刃的解析性，有_ Stt3y3ur（3）e(一j：sin y - sin y 3/cos y)eCxeos y - ysin y)

20、 + ecos y.-如+含w + c#OcLu + | 铲(100s y - jzsin y) + excos d + C J ftcos ydy了 sin ydy +屋 xsin y -coti y -0二 esin y 一 2勺8 y +ycos ydy +cos ydy + C o /故f(w) = efxcos y - ysin y) + ie工(zsin y 一 cos y) + iC*由 f(0) = 0知 C = 0,即f(z) = eJ(jroofi y - ysi门 y) + id(工sin y - 3cos y) = wm,10.设七=e或口 y,求p的值使七为圈和函数，

21、并求出解析函数u + is解 要使口（工.y）为调和函数，则有& =力皿十己妙二0.即 y - esin ） = 0,所以p=1时,口为调和函数，要使以零）解析，则有%=ux ty）= j*cos ydx = y + 小？），_ iuy 二一y 十 5（y） - - y.所以7-psin 3?, $&()=即 u(r,y) = peaces + C,故/(幻=d (cos)十 i sin “ + C =/ + C, /)= 1, 一 e-x(cos 3/ + isin3?) + C = -e-x + C, p - - I.11.证明:一对共舸调和函数的乘积仍为调和函数.证明设己是孤的共趣调和函

22、数，令fz=U +词,则/（之）是解析函数,尸(之)=f(z), f(z) = (w + iv)2 =(u2 v2) + 12KL 也是解析函数，故其虚部2必是调和函数，从而tw是调和函数.12. 如果 fz=数.u +是一解析函数，试证:iJTQ也是解析函1717证 因汽2)解析，则居二含，留二-碧且混，均可微，从而-U也可微，而i/(z) = Tt iu v - i( u)又3v du 3(一忧)dv _ djt _ _，(.)djc 3y dy 1 Sy dx3工 即-仪与方满足CR条件，故iTTTJ也是解析函数.13.试解方程：(De* = 1 +73i;解 e1 = 1 +V5i -

23、 2(cos g + i sm y ) = 2g中充)-即孕，= 0, 1? 2,故z = In 2 + i(2x + ,).k - 0? 1 2.(2) In z =解 之=e和= cos -y + i sin -y = i,(3) sin z = i sh 1 ；解 sin = i sh 1 = i( i)sin i = sin i)所以 w = 2kn + i 或胃二 (2k - l)7T-i 为整数.另解.见本节例24.(4) sin z + ms z 0.解由题设知ta门w - - I14.求下列各式的值.(1) cos i;工二归兀一k为整数，解cosi二幽书吧二号(5) Ln(-

24、3 + 4i)；1818解Ln( 3 + 4i) = In 5 + iArg(- 3 + 4i)=In 5 + i+ 江-arctan -y).(6) (1 - i)y+1；解 (_ i)hi =_+Li/2 + 2jfeir- J (4) 33 =srn x 2- 1 8s 充j=sin xch + i cos ish y.(2) cos(芯+ %2)= cos 78S 2 - sin zisin zz；证cos zicos Z2 - sin 宅isin z?_3勺+,_ (3%5%)(#工一修丐)-4-4= -Lei(*i + TP + .T%f)+ )十.”广丐)1919=+%)+%F)

25、=8s(z + n2)(3) sin2sr + cos% = I;利用复数变量正弦函数和余弦函数的定义直接计算得=(e2ir +电-2,工-2) + 卷(/ + e2tt + 2)(4)sin 2 2sin 2;cos ar;讦 ，o (出 - eF)(一 十e-)Ut 2sm zees n ; 2 4i=(e2u + 1 - 1 - 2叱) = 27 e-2,=) sin 2z.(5) I sin z2 = sin2x + sk2/;证 sin z 2 - sin z * sin z = sin z - sin z=一春工+ e-2ij - 2 + 2 A 占之叫=sin2 + sh2y(6

26、)号 hi(辛一芸)=cos z.证 因3in( zi X2) = sin Xjcos 宅2 cos jgin 芸2,16.证明：(1) ch2 之sh2 jz = 1 ；2020井+e_ 24e.十触十24?76+厂工4 2drz - sh- = 了-4(2) ch 2z = sh2z + ch，； 证由%+$ =令十】工ch 2z,42(3) th(芝 + m) = th z t力足*疝_-疝证 th(z + rd)=二T工:*芸+7fl + 仁一彳一现=一 厂 _ 一丁心十-(4) sh( z + Z2)= sh /ch 文之 + ch tish 知.证s-=立产立产=4，i 造土i 勺

27、-e z2ch zsh Z2 = 2，2_ 理：2.工 一 一g1r2 + 一工1= - -巳，十七一 一*叼117证sh Zjch Z2 + ch 之ish 8 = ch(?】十 z。证明：ch z 的反函数 Arcch z = ln(2： + /明-1).设之二ch g,且如=Arcchw,由n = ch9铲+d.)知 2之=e的+e /r2121即- 2zew+1 = 0.解方程得针=士 VzT-l，故w = ln( z + / z=似云)(做幻为多项式).2222 - 1).注:口含有“土”两根.18.由于In乞为多值函数，指出下列错误.(1) Ln s2 = 2Ln z.解因Ln =

28、 Ink I z + i(28 + 24ir) k 0, 1, 2, 而2Ln z 二 2 In | 七 | + i( 8 + 2石M)二 In| 芯 | 工 + i(28 斗 4次)r k 0, 1+ 两者的实部相同，而虚部的可取值不完全相同.(2)Ln 1 = Ln = Ln 之Ln n = 0.解 Ln 1 = In 1 + i(0 + 2 天 it)=2kmk = 0, 11 21-, 即Lnl = 0仅当4=0时成立.注:Ln(之i , %) = Ln之i * Ln妆及Ln三=Ln芝i 一 Ln s2两个 等式的理解应是:对于它们左边的多值函数的任一值，一定有右边两多 值函数的各一值

29、与它对应,使得有关等式成立;反过来也一样.19,试问:在复数域中(或厂与口配一定相等吗？解不一定，如：a = l + i,b 1 2,c = y f = 1 + i9(ab)c = /2it20.1 列命题是否成立？(1) ez -,解 成立，因ez = =匕士(cos y + i siny) = (cos y - i siny)2323解不一定，如p(z) - (a + bzy p(公=(& - b)zpz = a + bz.sin ? = sin解成立，因sin z - 一-eu一F- = sin z.-21Ln七二Ln解成立.l II 1-丁 .1. . .l-I -0, E E E f

30、l ll, _ * -Ln z = In | + i(0 + 2kiS= ln| - i(tf + 2而).Ln z = In =ln+ i(- 0 + 24况) - i(9 + 2Atc),= 0, 1 土2,.A = 0, 1, 231计算积分-3)d-积分路径(1)自原点至1十i的 直线段M2)自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至1 + i;(3)自原点沿 虚轴至i,再由：沿水平方向向右至1十I.(1)注E直线段的参数方程为= (I + ML立计算积分中昌d之的值，其中C为匕| = 2;(2)|! = 4. 解 令W = /*卿，厂=2时，为4m当r 4时，为8m.3.求证W甘，其中C是从

31、1 - i到1的巨线段.证 C:之=1 +1 + i tan & ry -子 M&wo 一I r I 2 =1 + y2 = 1 + tan2 Q CDSiOIj I - df di = i _，7耕第3熊4,试用观察法确定卜列积分的值，并说明理由，C为隆I = 1.解 积分值为0,因被积函数在1内解析.r 1(2)0 3d-J c以蜉之解积分值为0,理由同上.f 1(3)0 rdz.J c 1z 2解 ()Lyd7 2括.Jc _ /25 .求积分工后取的值，其中。为由正向圆周| ? I = 2与负向圆周 二1所组成.2525解二 2疝-2iri = 0.第5题第6题6 .计算f其中C为圆周

32、I，= 2.z z解 二方=1 1、在I- = 2内有两个奇点艺=0, Z - Z 2（2 - 1）1,分别作以0,1为中心的圆周G.C2，G与Cz不相交，则=2疝-2ri = 0.7计算4 7C也J It| =3 （之一胃+ 2）解解法同上题，47；= 0J 【=3 （% 一）（之十2）8.计算下列积分值.（1） sin zdz.TU=1 - cos m. oJ Q解 sin zdz = - cos z Jori+i（2） z e，d2.J iri+ii+i解 z Ed之=(se4 e1) i e,+1.Jll(31 + 2z)dz.Jo(3e* 十 2z )dz (3e* + z2)J 口

33、o=3el - 1 - 3 = 3e - 4.9.计算以其中C为注十i =2的右半周，走向为从-3i 到 i.解 函数七在全平面除去宰=0的区域内为解析,考虑一个单连 Z通域,例如D：Re s - -T f I z | y .则心在D内解析,于是取的4上 n之2626一个原函数-工,则-5kJezi 1144. = - = 1I.3i i 3i 3i 310.计算下列积分,原式二2疝（2/ -七十1）一2八一”dzz2 - i解将被积函数分解因式得到由于点#在圆周屋-i=1内部,而函数i|4l上为解析，故2727U 计算”也(2二战Z .2) ,其中C是 (1) I z | = 1;(2)1

34、- 21 = 1;(3) I z： - 1 j = y ； (4) | 名 | = 3.解(1)被积函数在|?|41内仅有一个奇点工=一 /，故C）(2)被积函数在G - 21 W 1内仅有奇点727T14tu =2 = 5,(3)被积函数在卜义内处处解析，故1二0,2，N = 2,由复合闭(4)被积函数在 N | 3内有两个奇点之 路原理，知广二：产十 12 42 之 + 1 15也C - 2ri , 4 m.了十5 =叫其中g为|n| = 1,Q为鼠-2|二L12.若/(工)是区域G内的非常数解析函数，且外之)在G内无零 点，则f(z)不能在G内取到它的最小模.危，因幻为非常数解析函数，且

35、g,f(z) k0,则融之)为非常数解析函数，所以 =)在G内不能取得最大模，即以z)不能在G内取得最小模.13,计算下列积分.灯一 解原式=2元i的白_sin z jI M =2 （第一 7t/2）2 Z2828T=o,一个dN,其中Ci：lC=G + Q W=29C2： z =dz +2m 2| (cos 2rJ c2之-2th A (cos z Y =02！7ti( 1) 7Ti( 1 ) = 0.14设丑外在I之|41上解配且在屋| = 1上有l/U）试证；fO M&2929由柯西积分公式知/（/）=亲 a.=(之- 212A吗口|1。（之）一 Z十名l_ z 2I f(之)二 N I

36、A 2I/ +皿I dz2dsI dz|解 原式=2tzi(sin z)=27ri cos z7T2 i 2i i注；W -另 -# + / -工I五=1 - E + Z）彳在 *TrTz I = 1 _t .15-设f（幻与g（z）在区域D内处处解析,C为D内的任何一条 简单闭曲线，它的内部全含于D,如果/建）=g（幻在。上所有的点 处成立，试证在C内所有的点处八艺）=g（z）也成立.证 设F相）=f（G-g（G,因/（G,g6）均在D内解析，所 以由在D内解析，在C上,F（名）=0（复 C）,V劭在C内有FG（j）=如垃dt - 02mJ 匕| 二 l 芝一 q即/（o）=或即）|由理的任

37、意性可知，在C内/（工）=g（z）.30301下列序列是否有极限?如果有极限,求出其极限.% 马=%、(3反=仔).解(1)当也f 8时,F不存在极限，故%的极限不存在. | 裕【二 0 (n-8),故Rm% = 0. 用jif 8孙=oos 2nd + i sin 27iJ, f 8 时,cos 2n0,sin 2nd的极限都不存在，故z (f无极限.2,下列级数是否收敛?是否绝对收敛？之后+ 1)；十力(l + i)”.1 M n 梵=1 71 足=。解因! = !发散.故士隹+!)发散，= 三收敛;故绝对收敛.(3) lim(l + i) = lira重尸印一0,故发散. k*8fjf8

38、83.试证级数X尸当|川 白时绝对收敛. 尸11证当 z1时,令 |z|=r,3131I = 2rl (2之尸 | = (2r)n 18WS（2r）fl收敛，故（2?/绝对收敛.1 4.试确定下歹端级数的收敛半径.解(1J lim用8g2(1十I年十1）nn? 玄（一:尸炉 nH 咫!金山=1,故我=L(2) Km V C limn-*jlimfl 48n-oort=iim(l + 一)” =e*imG(n +1)! 一二Q,解(1)1 + Z3= 1 一(一 /)= (-二)崛工083(-1)5K=0故 /? = 8.5 .将下列各函数展开为N的幕级数,并指出其收敛区域.建一 方（定一刈（a

39、x。*关03？(4)ch s； (5)sin2j(6)小=1.原点到所有奇点的距离最小值为L故|之| L3232亍，且f 1,z | mini | a |)| 6 | | -I s I I L)(1 +一)212ze(士尸)上 M n =01)环2 rlz2，.iOH=2(-1尸-。，L2, Ul i. n = l(4)ch z+ e*位小与产）小，2 I - cos 211 v(2之尸 (- 1 尸即口 工二一2 - - 7- 2(2G!Lf （一1尸至2刍）！| 之| 8令人)=biJ(O) = 1,3333/=A编一公，八）-1 ,4A幻+陶一品,尸（。）=1f =1-芸万-JJ.因为1

40、为/（文）的唯二奇点,原点到1的距离为1,故收敛半径R L6 .证明对任意的正有吩-1I&巳-1W ，匕川,证因为+ 8所以苒=0ieJ-li= 2 5-1三。甲又因为:1二|小七一=之|1 +上|七| 十十二|名|一1 + I 2!n!Wl J (1 + lwl + 看旧2 +)=I z I e所以le - l!e!z| 一 1& IzIeL7 .求下列函数在指定点与处的泰勒展式.(2)sin 史，交口 = 1 ；(4)tan,罂o =子, 3 51;43z，加=1 + ”解3=七)34341产(l)n士-、(-I)” -Fl M 1=(一1尸(蹩 + 1)仁1,|z- 1| L n-Q(2

41、)sin z sin(z -1+1)=sin(s - l)cos 1 + sin Icos(胃-1)00s田(工二1尸1尸3%(2 )！CD+ siti 12q =0仁-1)2气一1尸(2n)!(4 一 3Z4 3(z - zq) - 3恋o1 3i 3(2 一 七。)1l-3i1 - i一劭)J - (1 -f i) I 1 -3i/10(4)令 f(z) - tanz J(zq) = 1,3535f (w) (tan zY =sjn z _ cogG + sin? cxis z - coszz2/(2)00产 + 4f(2)罡 广(匹_ 6 cos，,1 4 厂 ”tan 1 + 2(z

42、- j) + 2(z - j)2+ 一 g)十，48.将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数.(1) 2/+1iVQ 闫 1 j 屋| 8；(2) t2elzS0 旧 叫(F荒噜)/。; cos L ,0 Z - 1 8.解(1)0 屋| 1时，3636，(”1 1-J- z2 /牙，当-1-DOk=_ X +n=D /(4) G | 注一 11 8co、-1尸1时，1 z=z界V口（1 一三厂2打）!ooSH 1解析.=2./（外在|之一1|1与当0 I与一 li 1 时,0fU) =721，1 1.1 第一第士）8二2(n二口 1x 1)”373710 将/G） = 7TL在下二i的去心邻域内展开成洛朗级数, （g +1）解了（的孤立奇点为上 i./G）在最大的去心邻城o 7 ilc 2内解析、当0 |z-i|2时，gl y(- 2i2i尸（T）tl (z - i)2 2i(7尸.n 1n二 (7)川.Jt=i-S（- D ,（凡 + 1） 1 加工。上式即为/（/在之=i的去心邻域内的洛朗级教.38383939L问芝=0是否为下列函数的孤立奇点？(1 )e1/z； (2)oot ； (3) 1 . z sm z解在o bl 8解析，在之=0处不解析, 二 0是必的孤立奇点因84二箫图，在e=处，即.骏=土鼠土2,),之=0处8tl不解析，且i