数列求和专项练习高考题含知识点

1、数列的前n项和的求法1.公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.;常用公式:例1、已知log 3 x2n(n 1),一L,求12221)(2n 1), 13 23 33n3号)2的前n项和.解：由log 3 xlog 2 31log 2 310g 3log3 2由等比数列求和公式得Sn12nx（利用常用公式）x(1xn(12.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时, 求和.1 1 2常将“和式”1-中“同类项”先合并在一起,再运用公式法例2、 求数列的前n项和：11 解：设 Sn（1 1） （ 4）a将其每一项拆

2、开再重新组合得11Sn（1-111- a;a14, 2a7)(17,当a= 1时，Sna(3n 1)n(3n2当a 1时，Sn1, na1n 1a1)n1(3n 1)n a a2 a 13n3n(3n3n 22)2)1)n2（分组）（分组求和）3.倒序相力口法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前例 3、求sin21 sin2 2解：设 S sin21 sin2 2将式右边反序得一2 _2 一S sin 89 sin 88sin2 3.2 -sin 3sin288n和公式的推导方法） 2 一 ,sin

3、 89的值.2 一 . 2 一sin 88sin 89又因为 sin x+得2S (sin21S= 44.54.错位相减法：cos(90sin 2 3 x),sin2sin2 2 cos2 x. 2 .sin 11（反序）2 /cos 1(sin2 2cos2 2(反序相加)22(sin 89 cos 89 ) = 89如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n和公式的推导方法）例4、 求和: 解：由题可知, 设 xSn 1x 一得（1Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1 （2n 1）xn 1的通项是等差数列2n

4、1的通项与等比数列xn3x2 5x3 7x4(2n 1)xnx)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4 2xn 1 (2n 1)xn1的通项之积（设制错位）（错位相减）1X再利用等比数列的求和公式得:Snn 1(2n 1)x(1 X)Sn1 2X 一1 (2n 1)xn (1 x)(2n 1)xn2例5、求数列一2解：由题可知,46TT , TT , 2 22n .(1 x)22n 2n,前n项的和.2n设Sn22222 2n4224的通项是等差数列2n的通项与等比数列22- 2n2n得(1232)S242Sn42n22T22n 15.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差” 法求和.常用

5、裂项形式有：D 1 n(nk21) 1k2 11n 11(2 k 1n(n k)r>11(1k 'n1k 11 3n 的通项之积（设制错位）2 2nn n 122（错位相减）的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消工) n k)，1(k 1)kn(n 1)(n 2) 2( .n_i. n)2n(n 1) (n 1)(n 2)(n 1)!(k 1 n!1 _1)k k1;(n 1)!n n 1, n n n 11例6、 求数列1.2213,1， 一,=,的刖n项和.,n n 1解：设an（裂项）则Sn、:n12(2.1)，n 1 12,3晨32)（裂项求和）例7、在数列an

6、中,an解:anbn1n 12n n 12 2218(1 n数列b n的前n项和-111Sn8(1)()22 3J 1、(3 4)(-n六)n 12,求数列bn的前n项的和.a n 1（裂项）（裂项求和）8n（找通项及特征）（分组求和）= 8(1 1)= dn 1 n 16.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和 例 8、求 1 11 111111 1 之和.n个1.11 .解：由于 1111 9999 -(10k 1)k 19k个 19 1 11 111111 1n个11 .1c1c1 一=1(1011),(1021),(1031),(10n1)999911=(1

7、01 102 10310n) -(1 1 11)99n 个 1_ 1 10(10n 1) n910 19=(10n 1 10 9n)817、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 9、 求 cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.2014年全国高考数学试题分类汇编（ 数列）1.【2014 全国卷n （文5）等差数列 an的公差为2,若a2, a4，a8成等比数列，则 斗 的前n项和Sn =n n

8、 1 n n 1（A） n n 1（B）n n 1（C） （D）22【答案】A2.【2014 全国大纲卷（理 10）等比数列an中，a4 2,a5 5 ,则数列lg an的前8项和等于（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C.3.【2014 全国大纲卷（文 8）】设等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3, S4=15,则S6=（）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】C4 .【2014 北京卷（理5）】设an是公比为q的等比数列，则"q 1"是"an”为递增数列的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

9、件【答案】D5 .【2014 天津卷（文5）】设an是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S,S2,S4成等比(A) 2(B) -2数列，则a1=（）【答案】D.6.【2014 福建卷（理3）】等差数列an的前n项和Sn,若a12,S312 ,贝Ua6（）【答案】C7.【2014 辽宁卷（文9）】设等差数列an的公差为d,若数列2研为递减数列，则（）a. d 0b. d 0 c. a1d0d. aid0【答案】D8 .【2014 陕西卷（理文 4）】根据右边框图，对大于 2的整数N , 得出数列的通项公式是（）【答案】C9 .【2014 重庆卷（理2）】对任意等比数列an，下

10、列说法一定正确的是（A.a1，a3,a9成等比数列B.a2,%e6成等比数列C.a2, a4,a8成等比数列D.a3,a6, a9成等比数列【答案】D10 .【2014 重庆卷（文2）】在等差数列an中，a1 2,a3 a5 10,则a7 （ 【答案】B111 .【2014 全国卷n （文 16）】数列an满足an 1 =, o =2,则1 ana2)a11【答案】212.【2014 安徽卷 则q .【答案】q 1 o（理12）】数列an是等差数列，若a15构成公比为q的等比数列,13.【2014 北京卷（理12）】若等差数列an满足a? a8 a90 , a7a100 ,则当 n时an的前n

11、项和最大【答案】8 14.【2014 天津卷（理11）】设an是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列，则a1的值为215.【2014 江西卷（文13）】在等差数列 an中，a1 7 ,公差为d ,前n项和为Sn,当且仅当n 8时Sn 取最大值，则d的取值范围.【答案】1 d 78516.12014 广东卷（理13）】若等比数列 an的各项均为正数，且 a10a11 a9a侵 2e，则ln a1 In a2 LIn a20 。【答案】50亿【2014 广东卷（文13）】等比数列 an的各项均为正数且 a1a5 4,则log2a1 log 2 a2 lo

12、g2 a3 log 2 a4 log2 a5 =18.12014 全国卷I （理17）】已知数列2肩的前门项和为Sn, a1=1,an 0 , ananSn1 ,其中为常数.(I)证明：an 2 an;（n）是否存在，使得 an为等差数列？并说明理由【解析】：(i )由题设an an 1Sn 1, an 1an 2Sn 11,两式相减an 1 an 2anan 1,由于 an 0，所以 an 2an(n)由题设 a1=1 , a1a2& 1,可得 a21假设 an为等差数列，则 a1,a2,a3成等差数列，a1 a3 2a2,解得4；证明 4时，an为等差数列：由 an 2 an 4知

13、数列奇数项构成的数列a2m 1是首项为1,公差为4的等差数列a2 m4m令n 2m 1,则man 2n1 (n 2m 1)数列偶数项构成的数列a2m是首项为3,公差为4的等差数列a2m4m 1an2n 1 (n2m)l- an2n 1 ( nan 1an2因此，存在存在4,使得 an为等差数列.12分19.【2014 -全国卷I （文17）】已知an是递增的等差数列，a2,一 、一 2 一a4是万程x 5x0的根。（I）求 an的通项公式;（II）求数列an-的前2nn项和.【解析】：（I ）方程x2 5x0的两根为2,3,由题意得a22an的公差为d,则_ .1a4 a2 2d ,故 d=一

14、，从而2a1所以an的通项公式为:an（n）设求数列则：Sn3222Sn所以Sn 2an2n423323n 42n 1的前52442420.【2014 全国卷n（理an项和为Sn,由（i）知才n 22n 1 5525n 12n2n 1两式相减得12分17）】已知数列an 满足 a1 二1, an 13an 1.(I)证明an2是等比数列，并求 an的通项公式;(n)证明:a232.【解析】(1)(2)由(1)知anjai2所以故a1a2a31时,an23n-111 an21.【2014 全国大纲卷an(理3n-1 1Ta1_n-1 ；31131 32等差数列23n-11-13n1-133(1

15、1) 32 (1-3n)2an的前n项和为Sn ,已知a1 10, a2为整数，且Sn S4.【解析】(I)由a110a2为整数知，等差数列an的公差d为整数.又Sn S4,故a40 , a5 0 ,于是 10 3d 0,104d,因此d = - 3 ,故数列an的通项公式为an = 13- 3n. (II)bn133n103n10 3n1 于是,丁 TH13 3nTnb1b2 Lbn11010 3n 13 3n3 10 3n 10n10 10 3n22.【2014 全国大纲卷(文数列an满足a1=1a2=2, an+2 =2an+1 -an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数

16、列;(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)由an+2 =2an+1 -an+2得 an+2- an+1=an+1-an+2 , 所以b n是首项为1,公差为2的等差数列；即 bn+1=bn+2,又 b1=a2-a1=1.(1) 由(1)得 bn=1+2 (n-1),即 an+1-an=2n-1.于是n(ak 1k 1nak)(2 k 1)k 1(I)求an的通项公式;anan 1(II )设bn -,求数列bn的前n项和Tn.于是 an-a1=n2-2n,即 ai=n2-2n +1+a1.又 a1=1,所以an的通项公式为 an=n2-2n +2.S4成等比数列。23.【2014 山东卷(

17、理19)】已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1，S2 ,(I)求数列an的通项公式;(II)令 bn = ( 1)n4n1上一，求数列bn的前A项和Tn。anan 1【解析】(I) d2,Si a1，S2 2a d§ 4a1 6d,解得a11, an2n 1(II)bn( 1)n1q ( 1)n1( anan 12n 1 2n 124.【2014 安徽卷（文18）】数列 an满足a1 1,nan1 (n 1)ann(n 1),n（i）证明：数列 生 是等差数列;n（n ）设bn 3n布,求数列bn的前n项和Sn.【解析】（i）证：由已知可得an 1n 1an1n所以冬n

18、是以亘1为首项, 11为公差的等差数列。(n)解:(n1) 1n,所以an,从而bn一得:所以Sn2Sn (2n 1) 3n+143132333nn n+1n 33n)33n+1/ / c 一 cn+1 一 c25.【2014 北京卷（文15） （甘愿nH3是等3数列，满足a13，a412 ,数列bn且 bnan（1）求数列是等比数列.an和bn的通项公式;（2）求数列bn的前n项和.【解析】（I）设等差数列an的公差为d ,由题意得:a4 a1312 333所以ana1(n 1)d 3n(n 1,2,L ),设等比数列bn an的公比为q,由题意得:b4bia4a120 122.所以bnann 1 n 1(b1 a1)q2,从而 bn3nn 1 ,2 (n1,2,L).2n2n 1,(II)由(1)知，bn3n 2n 1(n 1,2,L数列3n的前n项和为3 n（n 1）,数列 2n 1的前n项和为123 .所以数列 bn的前n项和为n（n 1） 21.26.【2014 福建卷（文17）】在等比数列%中，a2 3,a581.求an；（口）设bnlog3 an ,求数列 bn的前n项和Sn .【解析】（1）设an的公比为q,依题意得aiq 3,解得a1q81a1 1 q 3因此，an3n 1(2)因为 bn log3