常微分方程考研讲义阶微分方程解的存在定理

1、第三章 一阶微分方程解的存在定理 教学目标 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。2. 了解解的延拓定理及延拓条件。3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 教学重难点 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 教学方法讲授，实践。 教学时间12 学时 教学内容解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 考核目标1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。2. 熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。3.

2、利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律， 能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解 法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中 所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前 面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题 解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地 位，是近代常微分

3、方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。例如方程过点（0,0）的解就是不唯一，易知y 0是方程过（0,0）的解，止匕外，容易验证，y X2或更 一般地，函数都是方程过点（0,0）而且定义在区间0 X 1上的解，其中c是满足0 c 1的任一数。解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条 件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似 解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而 近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定 理保证了所求解的存在性和唯一性。1 .存

4、在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程立 f（x,y）dx这里 f (x, y)是在矩形域：R：|x x01 a,| y y01 b (3.2)上连续。定理1:如果函数f(x, y)满足以下条件：1)在R上连续：2)在R上关于变量y满足 李普希兹(Lipschitz )条件，即存在常数L 0,使对于R上任何一对点(x, y1)，(x, y?) 均有不等式f(x, y1) f(x, y2) L y1 y2成立，则方程(3.1 )存在唯一的解y (x),在 区间| x xo | h上连续，而且满足初始条件(xo) yo(3.(3)b其中 h min( a, 一), Mmax f (x, y) ,

5、 L 称为 Lipschitz 吊数.Mx，y R思路：1) 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解。2) 构造近似解函数列 n(x)任取一个连续函数°(x),使得| o(x) y°| b ,替代上述积分方程右端的I(x)替代积分方程右端的y,如果i(x)0(x),那么0(x)是积分方程的解，否则，又用得到 如果2(x) i(x),那么i(x)是积分方程的解，否则，继续进行，得到xn(x) y0f (x, n 1(x)dxx0(3.(4)于是得到函数序列 n (x) .3) 函数序列 n(x)在区间x。h,x。h上一致收敛于(x),即存在，对 (3.4) 取极限

6、, 得到x即 (x) y0f (x, (x)dx.x0x4) (x)是积分方程y y0f(x,y)dx在x。h, x。h上的连续解.x0这种一步一步求出方程解的方法 逐步逼近法. 在定理的假设条件下 , 分五个命题来证明定理 .为了讨论方便, 只考虑区间x。 x x。 h , 对于区间x。 h x x。 的讨论完全类似.命题1设y (x)是方程(3.1)定义于区间x。x x。h上,满足初始条件（x。 ） y。, 则 y ( x) 是积分方程xyy0f ( x, y)dxx0x x0 hx0(3.(5)的定义于x0 x x0 h 上的连续解. 反之亦然 .证明 因为y (x)是方程(3.1)满足

7、(xo)yo的解，于是有两边取x0 到 x 的积分得到x即有 (x)yof (x, (x)dxxox xo hxox所以 y (x) 是积分方程y yof (x, y)dx 定义在区间 xo x xoxo反之 , 如果 y ( x) 是积分方程(3.5) 上的连续解, 则x( x) yof ( x, ( x)dxxo xxo hxo(3.(6)由于f (x, y)在R上连续,从而f(x, (x)连续，两边对x求导，可得而且(xo)yo ,故y (x)是方程(3.1)定义在区间h x xo h上，且满足初始条件h 上的连续解.(xo ) yo 的解 .构造 Picard 的逐次逼近函数序列 n(

8、x) .0(x)y0x(n 1,2,L )n (x)y0f ( , n 1( )dx0 x x0 hx0(3.(7)命题2对于所有的n, (3.6)中的函数n(x)在xox x° h上有定义，连续且满足不等式| n(x) y0 | b(3.(8)证明 用数学归纳法证明x当n 1时，i(x) yof( ,yo)d ,显然i(x)在xox x° h上有定义、连续x0且有即命题成立 .假设 n k 命题 2 成立，也就是在xo x xo h 上有定义、连续且满足不等式当 n k 1 时，由于f (x, y)在R上连续，从而f (x, k(x)在x0x x0 h上连续，于是得知k1

9、(x)在xox xo h 上有定义、连续, 而且有即命题 2 对 n k 1 时也成立 . 由数学归纳法知对所有的 n 均成立 .命题3函数序列 n(x)在x0 x x0 h上是一致收敛的.记 lim n(x)(x) , xox xo hnn证明构造函数项级数0(x) k(x) ki(x)Xox Xo hk 1(3.(9)它的部分和为于是 n(x)的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价.为此，对级数(3.9)的 通项进彳T估计.xI i(x) o(x)| f( , o( )|d M(x xo)x(3.(10)由Lipschitz 条件得知设对于正整数n,有不等式成立,则由Lipschit

10、z 条件得知，当x0 x x0 h时，有于是由数学归纳法可知，对所有正整数k,有 k 1k 1MLk ML k| k(x) k i(x) | -(x x0)hx0x x0 hk!k!(3.(11)hk由正项级数 MLK 1一 的收敛性，利用Weierstrass判别法，级数(3.9)在x0x x0 hk 1k!上一致收敛.因而序列 n (x)在x0x x0 h上一致收敛.设 lim n(x)(x) , 则 (x) 也在 x0 x x0 h 上连续 , 且n命题4(x)是积分方程(3.5)的定义在xo x xo h上的连续解.证明 由 Lipschitz 条件以及 n(x)在xo x xo h上

11、一致收敛于(x)，可知f (x, n(x)在xo x x°h上一致收敛于 f (x, (x) . 因此x即n(x)yof ( , ( )dxo故(x)是积分方程(3.5)的定义在xo x xo h上的连续解.命题5设(x)是积分方程(3.5)的定义在% x xo h上的一个连续解，则(x)(x),xo x xo h .证明 设g(x) | (x)(x) |，则g(x)是定义在xox xo h的非负连续函数，由于而且 f (x, y) 满足 Lipschitz 条件 , 可得x令u(x) L g( )d ，则u(x)是x° x xo h的连续可微函数，且u(x0) o , x

12、oo g(x)u(x) , u (x)Lg(x) , u(x)Lu(x) , (u (x)Lu(x)e Lxo ,即 (u(x)eLx) o , 于是在 xo xxoh 上, u(x)e Lxu(xo)e Lxoo故 g(x) u(x) o , 即 g(x) o , xo x xo h , 命题得证 .对定理说明几点(1)存在唯一性定理中h min(a,_b)的几何意义.M在矩形域R中|f(x,y) M ,故方程过(xo,y0)的积分曲线y(x)的斜率必介于 M与M之问，过点(xo,yo)分别作斜率为 M与M的直线.当M b时，即a 旦，(如图(a)所示)，解y(x)在x° a x

13、x° a上有定义；当aMM b时，即& a,(如图(b)所示)，不能保证解在xo a x xo a上有定义，它有可 a M能在区间内就跑到矩形R外去，只有当xo x xo B才能保证解y (x)在R内， MM故要求解的存在范围是| x xo | h .(2)、由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易 于验证的条件来代替他，即如果函数f(x, y)在矩形域R上关于y的偏导数fy(x,y)存在并有界，即|fy(x,y)| L,则李普希兹条件条件成立.事实上这里(x, yi),(x,y2) R,o 1 .如果fy (x, y)在R上连续，它在R上当然潴足李

14、普希兹条件.但是，满足李普希兹条件的函数f(x, y)不一定有偏导数存在.例如函数f(x,y) |y|在任 何区域都满足李普希兹条件，但它在y o处没有导数.(3)、设方程(3.1)是线性的，即方程为易知，当P(x),Q(x)在区间,上连续时，定理1的条件就能满足，且对任一初值(x0,yo),x° ,所确定的解在整个区间,上有定义、连续.实际上，对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在|x xo| h上，是因为在 构造逐步逼近函数序列 n(x)时，要求它不越出矩形域R,此时，右端函数对y没有任何限 制, 只要取 M max | P(x)y0 Q(x) |. x ,(4)、

15、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.例如 试证方程经过 xoy 平面上任一点的解都是唯一的 .证明 y 0 时, f (x, y) yln | y|, 在 y 0上连续 , fy(x, y) 1 ln | y |也在 y 0上连续,因此对x轴外的任一点(xo, yo),方程满足y(xo) yo的解都是唯一存在的.又由xxx可得方程的通解为 yece , 其中 yece 为上半平面的通解, yece 为下半平面的通解，它们不可能与y 0相交.注意到y 0是方程的解，因此对x轴上的任一点(xo,O), 只有y 0通过，从而保证xoy平面上任一点的解都是唯一的.但

16、是因为 lim |ln |y|, 故不可能存在L 0, 使得所以方程右端函数在 y 0 的任何邻域并不满足Lipschitz 条件 .此题说明 Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.2) 考虑一阶隐方程F (x, y, y ) 0(3.12)0 ,则必由隐函数存在定理，若在(%,y0,y0)的某一邻域内F连续且F(%,y0,y0)0,而y可把y唯一地表为x, y的函数y f(x,y)(3.13)并且f (x, y)于(xo, yo)的某一邻域连续,且满足yof (xo,yo)如果F关于所有变元存在连续的偏导数，则f(x, y)对x,y也存在连续的偏导数，并且F

17、/(3.14)显然它是有界的，由定理1可知，方程(3.13)满足初始条件的y(x0) 0解存在且唯一.从而 得到下面的定理.定理2如果在点(xo,yo,yo)的某一邻域中：i) F(x, y, y )关于所有变元(x, y, y )连续，且存在连续的偏导数;ii) F(xo,yo, yo) 0出)F(x°, y°, y°) 0y则方程(3.12)存在唯一的解y y(x) | x x0 | h(h为足够小的正数)满足初始条件y(Xo) yo, y(Xo)yo(3.(15)1、 近似计算和误差估计求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法对方程的第n次近似解n(x)和

18、真正解(x)在|x Xo| h内的误差估计式MLn . n 1| n(x)(x)|h(n 1)!(3.(16)此式可用数学归纳法证明.设有不等式成立，则例1讨论初值问题dy 22x y ,y(0) 0dx解的存在唯一性区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解，其中,R: 1 x 1, 1 y 1.解 M mxR|f(x，y| 2，a 1，b1,h min a,1,由于IjI |2y| 2 L ,根据 2y误差估计式(3.16) .一 ,一、13(x)就是所求的近似解，在区间1 2可知n 3 .于是1 .1上，这个解与真正解得误差不超过 0.05.2§ 2解的延拓上节我

19、们学习了解的存在唯一性定理，当 曳 f(x,y)的右端函数”*,丫)在上满dx一一，一、"皿 dy f(xv)足解的存在性唯一性条件时，初值问题dx f(x' y)的解在|x xo| h上存在且唯一.但y。y(xo)是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的.可能随着f(x,y)的存在1,当定义区域变为区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例一.211R： 2 x 2, 2 y 2时，M 8,h min2, -,解的范围缩小为|x x0 | -.在实际844引用中，我们也希望解的存在区间能尽量扩大，下面讨论解的延展概念，尽量扩大解的存 在区间

20、，把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的1、饱和解及饱和区间定义1对定义在平面区域G上的微分方程dx f(x,y)(3.1) 设y (x)是方程(3.1)定义在区间Ii R上的一个解，如果方程(3.1)还有一个定义在区间I2 R上的另一解y (x),且满足(1)Ii"但是 Ii I2(2)当 x Ii 时，(x)(x)则称y (x),x Ii是可延拓的，并称y (x)是y (x)在I2上的延拓.否则如果不存在 满足上述条件的解y (x)，则称y (x),x Ii是方程(3.i)的不可延拓解或饱和解，此时 把不可延拓解的区间Ii称为一个饱和区间.2、局部李普希兹条件定义2若函数

21、f(x,y)在区域G内连续，且对G内每一点P,都存在以P点为中心， 完全含在G内的闭矩形域Rp ,使得在Rp上f(x,y)关于y满足李普希兹条件(对于不同的 点，闭矩形域Rp的大小和李普希兹常数L可能不同)，则称f(x,y)在G上关于y满足局 部李普希兹条件.定理3 (延拓定理)如果方程dy f(x,y)的右端函数f(x, y)在(有界或无界)区域 dxG R2上连续，且在关于y满足局部李普希兹条件，则对任意一点(%,比) G ,方程 dy f(x,y)以(xo,y。)为初值的解(x)均可以向左右延展，直到点(x, (x)任意接近区域 dxG的边界.以向x增大的一方来说，如果y (x)只能延拓

22、到区间上，则当x m时，(x, (x) 趋于区域G的边界。证明(xo,y。)G,由解的存在唯一性定理，初值问题dy dx V。f (x, y) y(xo)(1)存在唯一的解y (x),解的存在唯一区间为|x x。| h。.取x1x0 h。，yi区)，以(xi,yj为中心作一小矩形R1 G,则初值问题dy f(x,y)dxyi y(x)存在唯一的解y (x),解的存在唯一区间为| x x1 |几.因为 (%)(X)，有唯一性定理，在两区间的重叠部分应有(x)(x)，即当为hi x X时(x)(x).定义函数则y (x)是方程(3.1)满足(1)(或(2)的，在x。ho,xi%上有定义的唯一的解.

23、这样,把方程(3.1)满足(1)的解y (x)在定义区间上向右延伸了一段.即把解y (x)看作方程(3.1)的解y(x)在定义区间|x x0| h。的向右延拓，延拓到更大区问x。h。x x。h。.同样的方法，也可把解y (x)向左延拓.这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去，最后将得到一个解y (x),不能再向左右延拓了 .这个解称为方程(3.1)的饱和解.推论1对定义在平面区域G上的初值问题dx "x'y)其中(Xo,yo) GYo y(Xo)若f (X, y)在区域G内连续且关于y满足局部Lipschtiz 条件，则它的任一非饱和解均可延 拓为饱和解. 推论2 设y(x

24、)是初值问题dy f (x, y)dx其中(xo, yo) Gy°y(Xo)的一个饱和解，则该饱和解的饱和区间I一定是开区间. 证明 若饱和区间I不是开区间，不妨设I (,，则(，()G,这样解y (x)还可以 向右延拓，从而y (x)是非饱和解，矛盾.对I ,)时，同样讨论，即x (或x ) 时，(x, (x) G.推论3如果G是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)通过(x0,y。)点的解y (x)可以延拓，以向x增大(减小)一方的延拓来说，有以下两种情况：(1)解y(x)可以延拓到区间x0,)(或(，x0)；(2)解y (x)只可延拓到区间x0,m)(或(m,xO

25、),其中为有限数，则当x m时,或者y (x)无界，或者点(x, (x) G .例1讨论方程dy 分别通过点(0,0)和点(ln 2, 3)的解的存在区间.dx 2解此方程右端函数f (x, y)yy在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.易知方程的通解为故通过点(0,0)的解为y (1 ex)/(1ex),这个解的存在区间为ex),这个解的存在区间为0 x通过点(ln2, 3)的解为y (1 ex)/(1 (如图所示).注意，过点(ln2, 3)的解为y (1 ex)/(1 ex)向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到0,因为当x 0时，y例2讨论方程dy 1 ln x过(

26、1,0)点的解的存在区间. dx解 方程右端函数f(x,y) 1 lnx在右半平面x 0上满足解的存在唯一性定理及解的 延拓定理的条件.区域G (右半平面)是无界开域，y轴是它的边界.易知问题的解为y xlnx,它于区间0 x上有定义、连续且当x 0时，y 0,即所求问题的解向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到0,且当x 0时积分曲线上的点(x, y)趋向于区域G的边界上的点.例3考虑方程曳(y2 a2)f(x, y),假设f (x, y)和f y(x, y)在xoy平面上连续，试证 dx明：对于任意x0及y°a ,方程满足y(x°) y°的解都在(，)上存在.证

27、明根据题设，易知方程右端函数在整个xoy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.又ya为方程在()上的解，由延拓定理可知，对 飞,|丫。| a,满足y(xo)y0的解y y(x)应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，y y(x)又不能穿过直线y a,故只能向两侧延拓，而无限远离原点，从而解应在(，)存在.注：如果函数f (x, y)于整个xoy平面上定义、连续和有界，同时存在关于y的一阶连续偏导数，则方程(3.1)的任一解均可以延拓到区间x .练习试证对任意x。，y。，方程dy 一工2一满足初始条件y(xo) yo的解都在dx x y 1(,)上存在.§3解对初值的连续性和

28、可微性定理在初值问题dx f (x, y)中我们都是把初值(x。, yo)看成是固定的数值，然后再去讨y。y(x。)论方程dy f(x,y)经过点(x°,y。)的解.但是假如(x。，y。)变动，则相应初值问题的解也随 dx之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量x ,还依赖于初值(Xo, y。).例如：f(x,y) y时，方程y' y的解是y cex,将初始条件y(x。) y。带入，可得y 丫。、°.很显dy然它是自变量x和初始条件(x。, y。)的函数.因此将对初值问题 晟 f (x，y)的解记为y。y(xo)y (x,x。, y。),它满足 y。(x

29、6;,x。, y。).当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质 .1、解关于初值的对称性设方程 (3.1) 满足初始条件y(x0) y0 的解是唯一的 ,记为 y(x,x0,y0), 则在此关系式中，(x,y)与(xo,y。)可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式证明 在方程(3.1)满足初始条件y(xo)y。的解的存在区间内任取一点xi,显然y1(x1,x0,y0) , 则由解的唯一性知 , 过点(x1,y1) 的解与过点(x0,y0) 的解是同一条积分曲线即此解也可写为并且，有y。(x。，x1, y1).

30、又由(为，y1)是积分曲线上的任一点，因此关系式y。(x0,x,y)对该积分曲线上的任意点均成立 .2 、 解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当 (x。, y。 )变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数f(x, y)于某域D内连续，且关于y满足Lipschtiz 条件(Lipschtiz常数为 L )，则对方程( 3.1 )的任意两个解(x) 及 (x) ，在它

31、们公共存在的区间内成立着不等式I (x)(x)| | (x。)(xo)|eL|xx0|(3.17)其中x。 为所考虑区域内的某一值.证明 设(x),(x)于区间a x b上均有定义，令于是 V(x) |V(x)| 2| (x)(x)|f(x, ) f(x, )| 2LV(x)从而(V(x)e 2Lx) 0dx所以，对x0 a,b，有对于区间a x x(o ,令x t,并记x0 j则方程(3.1)变为而且已知它有解y ( t)和y ( t).类似可得 V(x) V(xo)e2L(x0 x),a x x0因此，V (x) V(x0)e2L|x ",a x b,a x0 b两边开平方即得(

32、3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足局部李普希兹条件，如果(x0,y。)G,初工 dyf(x,y-一一、一、，值问题dx '有斛y(x,x0,y°),匕于区|可a x b上有止义(a x0 b),则对任Voy(x0)意 0,( ,a,b) 0,使得当(x0 x0)2 (V0 y。)22时，方程(3.1)满足条件y(x0) y0的解y(x,x0, y°)在区间a x b上也有定义，并且有(x,xd, V0)(x,x0, V0),a x b.证明 记积分曲线段S:y (x, x0,y0

33、)(x),a x b是xy平面上一个有界闭集第一步:找区域D ,使S D ,而且f (x, y)在D上关于y满足Lipschitz 条件.由已知条件，对(x,y) S,存在以它为中心的开圆C,C G,使f(x,y)在其内关于y满 足Lipschitz条件.因此,根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆G(i 1,2,L , N)(不同的G ,其半径5和Lipschitz常数Li的大小可能不同),它们的全体覆 N盖了整个积分曲线段S,令李UCi,则S 冬G,对 0,记 i 1d( d%S), min(,L max(Lj Ln),则以S上的点为中心，以 为半径的圆的全 体及其边界构成包含S

34、的有界闭域D G ,且f (x, y)在D上关于y满足Lipschitz条 件，Lipschitz 常数为L .第二步：证明 (，a,b) 0()，使得当(又。Xo)2 (y0 y。)22时，解y (x)(x,Xo, y。)在区间a x b上也有定义.由于D是一个有界闭域，且f(x,y)在其内关于y满足Lipschitz条件，由解的延拓定理 可知，解y (x)(x,Xo,yo)必能延拓到区域D的边界上.设它在D的边界上的点为(c, (c)和(d, (d) , c d,这时必有c a,d b .否则设c a,d b,由引理有利用(x)的连续性，对i - eL(ba),必有2 0存在，使当|x X

35、o|2时有2一一 ，_2_22| (x)(Xo)|1,取 min( 1, 2)，则当(Xo Xo)(y。 y。)时就有(x)在区间a,b上有，则方程(3.1)的解| (x)(x)|2 | (Xo)(X0)|2e2Mx"0l2(| (Xo)(Xo)| | (Xo) (X0)|)2e2LIX“012(l (Xo) (Xo) I2I (Xo) (Xo) )e2L1X x0122 2L(b a)2( i Iyo y。I )e2 2L(b a) 24 1 e(c x d)(3.(18)于是对一切x c,d，I (x) (x)I 成立，特别地有I (c) (c)I ,I (d) (d)I即点(c

36、, (c)和(d, (d)均落在域D的内部，这与假设矛盾，故解y 定义.第三步 证明I (x) (x)I ,a x b.在不等式(3.18)中将区间c,d换成a,b,可知当(Xo xo)2 (yoyo)22 时，就有(x,Xo,yo)(x,xo, yo),a x b.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数f(x, y)在区域G内连续，且关于y满足局部李普希兹条件 y (x, Xo, yo)作为x, Xo, yo的函数在它的存在范围内是连续的证明 对(Xo,yo) G,方程(3.1)过(Xo,yo)的饱和解y(x,%,yo)定义于(Xo,y°) x(Xo,yO)上，令下证y(x,Xo, yo)在V上连续.对(X,Xo, yo) V, a,b,使解 y(x, Xo, yo)在a,b上有定义，其中 X,X0 a,b.对 0,1 0,使得当(xo Xo)2 (yo yo)212 时，又y (x, Xo,yo)在x a,b上对x连续，故 2 o,使得当|1x| 2时有取 min( 1, 2),则只要(x x)2 (xo Xo)2 (yo yo)22 就有从而得知y(x,Xo, yo)在V上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数的微分方程电 f(x, y, )G :(x, y) G,