手机套餐优惠几何.

1、手机“套餐”优惠几何一、摘要我们对题目中每个问题建立了一个相应的模型进行求解。模型一：针对问题一， 我们通过对超出各方案的本地主叫分钟数和未超出各方案本地主叫分钟数分别列出关系式，得出资费计算公式。利用 MATLAB 画出套餐资费图，得到在不亏损的情况下的临界点， 根据临界点来确定不同人群对相应套餐的使用情况。模型二：针对问题二，首先通过北京和上海的“资费”方案与现行资费的分析比较得出了以更优惠为评价准则，再通过各方案与现行资费总资费之差，得出各方案的评价式。由图三得：在北京“全球通“ 99”套餐”中， 0 x1i 122.5、242.5、 372.5、622.5（单位：分钟）时，现行资费比套

2、餐更为优惠，则不选套餐。：在上海“全球通“ 68”套餐”中， 0 x1i45 、195、 345 时，现行资费比套餐更为优惠，则不选套餐。模型三：针对问题三，我们通过分别与“畅听99 套餐”和现行资费进行比较来评价的。经过分析得到如下结论：该新方案适合较少打电话（较少于122分钟）经常接听电话的用户。虽然该类客户比较满意，但是从移动公司来讲，赚的利润比其它方案较少。所以得到结论该方案不是很实用。模型四：针对问题四， 通过分别对北京和上海的套餐进行分析， 得出套餐的基本费与小套餐包括的本地通话时间有一定的关系即： 用户在被另外开始收费的时侯，此时该点与标准资费收入函数 （或该套餐中上一小套餐的收

3、入函数） 的最小差额点所对应的时间为该小套餐的本地通话时间， 并且得知在该时间 1%10%的偏差范围内是对整体收费影响不大。然后我们利用北京移动的 “套餐” 按照该关系对其套餐的本地通话时间进行合理调整，知道基本话费下调范围t 为1%10%内满足题意，我们规定 t7% 最后设计出新方案：月基本费包含本地主叫超出套餐部分本地被叫资费包含数据业务本地主叫资费（元/月）分钟数（元 / 分钟）*（元/ 分钟）69.33000.35010M GPRS流量97.35800.25010MGPRS 流量+ 25 条彩信139.311000.2050M GPRS流量209.321000.15050M GPRS流

4、量关键词：现行资费主叫分钟数最小差额点下调范围二 问题的重述随着现在经济的发展，人们生活水平的提高，手机逐渐成为人们日常生活中不可缺少的必备工具之一， 人们日常工作、 社交、经营等一些社会活动中都离不开它，近几年来通信业务量飞速增长。 如今手机资费成为人们重点关注的问题，在 2007 年 1 月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商相继推出了“手机单向收费方案“ -各种各样品牌的“套餐” 。然而手机“套餐”究竟优惠几何？我们参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99 套餐”、上海的“全球通68 套餐”方案，建立了一个数学模型。建立数学模型分析研究以下几个问题：（ 1）给出北

5、京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？（2）提出你们对各种资费方案的评价准则和方法 , 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。(3) 北京移动公司 2007 年 5 月 23 日又推出了所谓的全球通 “被叫全免费计划”方案，即月租 50 元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。（4）如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案 , 你们会考虑哪些因素 ?根据研究的结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐

6、”方案运营商的收入降低不超过 10%的条件下 , 用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。三 模型的假设一、条件假设1、用户在较长时间内的消费情况保持稳定2、移动公司收费准确，没有出现乱收费现象，用户满意度比较高。3、资费计算主要计算各套餐中的收费项，套餐外的资费情况不作详细讨论。4、国内长途 IP 通话对整体收入影响不大5、如果套餐以外的收费项对某一计算过程不影响其计算结果，则可将其忽略。二、符号假设、 x1i (i1,2,3,4) 表示“畅听 99套餐”各基本费套餐客户每月本地主叫时间1、 x2i (i1,2,3,4) 表示“畅听 99套餐”各基本费套餐客户每月本地被叫时间23、

7、 x3i (i1,2,3,4) 表示“畅听 99套餐” 各基本费套餐客户每月本地拨打国内 IP长途时间、 x4 j ( j1,2,3) 表示“全球通68 套餐” 各基本费套餐用户每月本地通讯的时4间5、x5 j ( j1,2,3) 表示“全球通 68 套餐” 各基本费套餐用户每月超出本地通话主叫时间6、 yi (i1,2,3,4) 表示“畅听 99套餐”各基本费套餐的月基本费7、ai (i1,2,3,4) 表示“畅听 99套餐” 各基本费套餐的 超出套餐部分本地主叫资费、 bi (i1,2,3,4) 表示“畅听 99套餐”各基本费套餐的本地主叫时间89、 ci (i1,2,3,4) 表示“畅听

8、 99套餐”各基本费套餐拨打 17951 国内 IP 长途时间10、 j ( j1,2,3)表示“全球通68 套餐”各基本费套餐的月基本费11、j ( j1,2,3) 表示“全球通68 套餐”各基本费套餐月基本通话时间12、 j ( j1,2,3)表示“全球通 68 套餐”各基本费套餐超出本地通话时间的主叫通话资费13j ( j1,2,3)表示“全球通 68 套餐” 各基本费套餐客户每月本地被叫时间。四 问题的分析一、问题一的分析；在北京和上海的 “套餐” 方案中确认出与标准资费不同收费项， 由题意和问题假设单独将它们拿出来计算，然后把与标准资费相同项归为其它费用加上去。得到资费计算表达式后，

9、再分别在两个“套餐”方案中，求出客户选择上一套餐与下一套餐的通话临界时间，然后根据通话时间来为客户选择适用套餐二、问题二的分析根据北京和上海的“套餐”方案，分别与资费标准进行比较和分析，可以发现套餐方案优惠都是主叫、被叫和 17951 国内 IP 长途资费不同，其余都相同，但资费主要是主叫和被叫，则 17951 国内 IP 长途资费可忽略。然后分别建立北京、上海和资费标准的主叫和被叫的关系式， 再得出的北京、 上海的关系式分别与资费标准做差，得出评价模型。三、问题三的分析分别求出北京移动推出新方案、 “畅听 99 套餐”和现行资费方案中每月话费，分析哪些人群用哪套套餐较合适， 然后对三种方案综

10、合分析比较对北京移动的新方案作出评价。四、问题四的分析。在北京和上海两个套餐中， 我们分别将标准资费套餐与北京和上海的套餐的资费函数图像放在一起比较。 在图中我们观察到， 当套餐用户通话时间超过套餐包含的时间时， 超过部分费用函数一直在标准资费函数的下方。 这说明套餐收费在任何时候都不会超过标准资费的收费，那么我们只有在被另外开始收费的时侯，找出此时该点与标准资费的最小差额点。 根据该点就可以知道该套餐第一个基本费套餐实际的套餐包含时间。 那么在原来套餐的基础上， 合理调整套餐项目收费及包含时间情况，使它的运营收入在原来套餐运营收入的基础上降低少于 %10 的比例值。使客户更加满意。五 模型的

11、建立与求解一、问题一的求解模型一：由题意分析除了套餐中的收费情况， 其它的消费与现行的资费标准的消费情况相同。因此，我们将套餐外的消费归为其它消费，不计入资费计算。所以两种套餐各方案资费计算公式如下：w1iyi(0x1ibi )yi(x1ibi ) * aic1 * x 3i(bix1i2000)w2 jj(0x4 jj )x5 j *( jx4 j1200)jj根据以上公式，我们从而利用 MATLAB 编程得到两种套餐各种情况下的通话费用。具体情况如下表一：“畅听 99 套餐”各项目未超出主叫时间费用超出主叫时间费用（ 0x1ibi ）（ bix1i2000 ）月基本费 99 元套餐990.

12、1* x311 0.35 * x110.1* x31月基本费 139 元套餐1390.1* x3210.25 * x120.1* x32月基本费 199 元套餐1990.1* x3310.2 * x130.1* x33月基本费 299 元套餐2990.1* x3410.15 * x140.1* x34表二“全球通 68 套餐”未超出本地通话时间费超出本地通话时间费用用0x4 jjjx4 j1200jx5 j1200月基本费 68 元套餐68689 / 50 * x51月基本费 128 元套餐1281284/ 25* x52月基本费 188 元套餐18818813 /100 * x53由题目分析

13、可知，如果用户因超出原套餐方案主叫时间所出的费用多于下一套餐项目的基本费用， 而通话时间少于下一套餐方案的主叫时间， 那么实际上该客户就出现了资费亏损。 那么他应换下一套餐方案比较划算。 根据上述分析， 我们利用 MATLAB 画出两个套餐的资费变化函数，就可以确定各种套餐方案的客户使用情况。但是在“畅听 99 套餐”中，各方案的国内长途 IP 资费收费情况相同，所以在确定客户使用情况时我们将国内长途 IP 资费情况暂时不算在资费计算内。因此，我们利用 MATLAB得到此时“畅听 99套餐”中资费的计算式。详细数据如下表三：“畅听 99 套餐”各项目未超出主叫时间费用超出主叫时间费用（ 0x1

14、ibi ）（ bix1i2000 ）月基本费 99 元套餐991 0.35* x11月基本费 139 元套餐13910.25* x12月基本费 199 元套餐19910.2 * x13月基本费 299 元套餐29910.15* x14根据表二与表三，我们画出两种套餐资费函数变化情况北京“畅听 99 套餐”的函数图像为图一根据图可知， 两直线的交点即为两种套餐资费时间的临界点。在上图中， 我们得到 99 元套餐与 139 元套餐的的临界点为394 分钟。 139 元套餐与 199 元套餐的临界点为 800 分钟。 199 元套餐与 299 元套餐临界点为1500 分钟。因此我们得到以下结论：1、

15、主叫时间在 0 到 394 分钟的北京用户选择99 元套餐比较合理；2、主叫时间在 394 到 800 分钟的北京用户选择139 套餐比较合理；3、主叫时间在 800 到 1500 分钟的北京用户选择199 套餐比较合理；4、主叫时间在多于1500 分钟的北京用户选择299 套餐比较合理。上海“全球通 68 套餐”的函数变化图像为图二同样我们由图像可知68 元套餐与 128 元套餐的临界点为693 分钟；128 元套餐与 188 元套餐的临界点为1175 分钟。那么我们也可知以下结论1、通话时间在 0 到 693 分钟的上海移动用户选68 元套餐较合适2、通话时间在 693 到 1175 分钟

16、的上海移动用户选128 元套餐较合适3、通话时间在多于 1175 分钟的上海移动用户选 188 元套餐较合适二、问题二的求解模型二：我们通过北京和上海的 “资费” 方案与资费标准进行比较分析， 知道了北京和上海的“资费”方案在某个范围内不一定是更优惠的，而资费标准更优惠。分析出这里，我们可以以资费更优惠为评价准则，分别对这两个方案进行评价。这两个方案对主叫、 被叫的总用费分别与资费标准进行比较。选资费小为更优惠。设各方案与资费标准的总资费之差为 zj ( j 1,2) 。则得到评价北京关系式为：z1yi0.4 * ( x1ix2i ) 500 x1ibiyiai * ( x1ibi ) 0.4

17、* ( x1ix2i ) 50 bi x1ibi 1从上述关系式可看出， 被叫对得出的结果影响不大， 可再得出结果后加上这部分费用。则只对主叫分析得出关系，结果如下：图三从上图可以知道，在 0 x1i 122.5、242.5、372.5、 622.5 时，现行资费比套餐更优惠，则不选套餐。评价上海关系式为：j0.4 * (x4 jj )50x4 jjz2j * (x4 jj )0.4 * ( jj ) 50jx4 jjj 1从上述关系式可看出，被叫对得出的结果影响不大。则只对主叫分析得出关系，结果如下：图四从上图可以知道，在0x1i45 、195、345时，现行资费比套餐更优惠，则不选套餐。三

18、、问题三的求解模型三：北京移动公司推出“被叫全免计划方案”后，用户要至少在网一年时间，那么新客户在办理该服务时至少必须交清一年的月租，则其他费用另算。 这里我们假设新客户每月主叫电话时间t1 ，被叫电话时间t 2 ，国内长途 IP 时间 t 3 ，则办理标准资费、“畅听 99套餐”（注：这里我们选用 99元资费方案）和被叫全免计划方案三种服务每月所需要的费用分别为服务计划每种服务每月所需费用标准资费500.4 * (t1t 2 ) 0.3 * t1“畅听 99 套餐”990.1* t3被叫全免计划方案500.4 * t10.3* t3某用户选标准资费方案，设最大通话时间T 不亏损。忽略国内 I

19、P 长途费用，那么有 50 T * 0.499 ，得到 T 122.5 。由上述分析可知该用户通话时间小于122 分钟就不会亏损。我们将第一种和第二种方案做比较： 由前面结论可知每月通话时间超过 122 分钟的人群选择“畅听 99 套餐”比选标准资费要划算。再将第二种和第三种方案做比较： “畅听 99 套餐”包含 280 分钟主叫通话时间，如果不选该套餐，按标准资费收费费用为 h 280* 0.4 50 165 元，可见费用远远大于“畅听 99 套餐”的基本费用，并且拨打国内IP 长途资费也比标准资费便宜。由以上分析可知每月主叫电话时间超过 122 分钟的人群选择“畅听套餐”比选被叫全免计划方

20、案要划算的多。99至于第一种和第三种方案，明显的可以看出第三种方案比第一种方案划算，并且很适经常接听电话的人群。经上述分析，我们在下表中得到一下结论：服务计划适用人群标准资费通话时间少于 122分钟的用户“畅听 99 套餐”通话时间超过 122分钟用户被叫全免计划方案较少打电话（较少于 122 分钟）经常接听电话的用户虽然被叫全免计划方案很适合较少打电话 （较少于 122 分钟）经常接听电话的用户，但是对于移动公司却盈利减少， 并且这类人较少， 一般人群一个月主叫电话时间远不止 122 分钟，那么总的说来选择“畅听 99 套餐”的用户较多。因此，我们认为从移动公司盈利角度来讲，该方案相对另外几

21、种方案不是很实用。四、问题四的求解模型四：根据问题四分析，我们画出标准资费套餐与北京套餐资费函数图像，如下：图五在图中分别找出四条套餐资费函数开始被另外计费的点，即图中的拐点， 根据问题分析分别以这些点向上一条曲线做垂线。垂足所对应的横坐标即为标准最小差额点。我们通过在图中求解方程解得四个垂足对应的横坐标分别为四个垂足点计算值实际值偏差第一点260.66132807.42%第二点546.65602.45%第三点990.476210000.96%第四点1979.720001.03%由上表可知，标准计算值与实际值的偏差为7.42%10.96%（最大不超过 %8），表明北京移动公司在标准值附近适当取

22、的点决定实际的套餐包含最大时间，对收入影响不是很大同样，我们标准资费套餐与上海套餐资费函数图像，如下：图六同样，我们通过MATLAB 编程解得三个垂足对应的横坐标分别为三个垂足点计算值实际值偏差第一点342.16983605.21%第二点798.18048000.23%第三点1201.312000.11%由上表同样可知，标准计算值与实际值的偏差为0.11%5.21%（最大不超过 %6），表明上海移动公司在标准值附近适当取的点决定实际的套餐包含最大时间，对收入影响不是很大。根据以上分析过程，我们同样选用相似的方法来决定我们所建立的“套餐”方案，这里新“套餐”方案分 4 个基本小套餐。 只有月基本

23、费、 本地主叫时间发生变化，其它项目不做调整。假设新“套餐”方案的月基本费分别费为fi(i 1,2,3,4) 元本地主叫时间分别为 si(i 1,2,3,4)（分钟）那么新套餐方案为月基本费包含本地主叫超出套餐部分本地被叫资费包含数据业务本地主叫资费（元/月）分钟数（元 / 分钟）*（元 / 分钟）f1s10.35010M GPRS流量f 2s20.25010MGPRS 流量+ 25 条彩信f 3s30.2050M GPRS流量f 4s40.1050M GPRS流量那么该方案四个垂足点的横坐标值，即：每个小套餐包含本地主叫分钟数为四垂足点 对应主叫分钟数第一点( f 12.8571* s150

24、) /(114 / 35)第二点f14 * s20.35 * s1 ) /(103/15)( f 2第三点f25 * s30.25 * s2 ) / 5.25( f 3第四点f30.15 * s4 0.25 * s3 ) /(103 /15)( f 4我们在利用部分北京移动 “套餐” 数据和问题一的结论再结合新套餐，来安排费用使得新套餐在相同的月通话时间上收入比北京移动“套餐”收入低 5%10%。本地主叫时间离标准偏差在 1%10%之间，以北京移动现行的套餐中主叫分钟数那么把新套餐中的各主叫分钟数调整为基本通话费主叫分钟数偏差f1f 2f 3f 43007.14%5803.57%110010%

25、21005%在此基础上，我们通过合理假设有某第二类小套餐用户时间为 650 分钟，第三类小套餐用户时间为 1200 分钟，第四类小套餐用户时间为 2300，由于第一类小套餐用户与标准资费比较，范围偏差不容易设定，所以不考虑第一类用户情况设基本通话费下调 t ,那么根据题意有如下方程式M 1139 * (1 t ) (650 (139 99 4 * 580 0.35* 300) /(103/ 15) * 1.1) * 0.25(1)M 1(139 (650560) * 0.25) * 0.9(2)由表达式（ 1）（ 2） 解得 t 0.0357M 2199* (1 t)(1200(199 1395 * 1100 0.25* 650) / 5.25) * 1.1) * 0.2 （3）M 2(199 (12001000) * 0.2) * 0.9（ 4）由表达式（ 3）（ 4）解得 t0.0749M 3299 * (1 t)(2300( 299 1990.15 * 21000.25* 1100) /(103 / 15) * 1.1) * 0.15（ 5）M 3(299 (23002000) * 0.