带转移时间的高负荷门限循环排队系统平均负荷

1、带转移时间的高负荷门限循环排队系统平均负荷刘建民(长安大学 理学院，陕西 西安 710064)摘要：研究的循环排队系统是以门限服务和带有转移时间的排队模型。在高负荷的条件下，通过确定每个队列负荷的上下界，用扩散逼近的方法，获得了每个队列的平均负荷。关键词：循环系统；高负荷；门限服务；平均负荷中图分类号：O226 文献标识码：A 文章编号：1000-274X(2003)0054-08在循环排队系统中，两个以上的队列被一个服务员以循环的方式服务。这种模型在计算机网络、通讯系统和制造系统中有许多应用。例如有一个服务源和多个需求源。本文所考虑的门限循环服务原则，即服务员到达每个队列上按先到先服务的顺序

2、进行服务，直到把他到达此队列上看到顾客全部服务完，在服务期间到达的顾客要等到下一个循环再接受服务。我们假设有M个队列，循环顺序在第i个队到第i+1个队列，平均转移时间为d i。本文中在高负荷的条件下，根据概率测度弱收敛的理论，用扩散逼近的手段对每个队列的平均负荷过程进行研究。1高负荷条件我们考虑一系列两个队列的循环系统，在第n个系统中，设第个队列第i个顾客的到达时间是，在第个队列中为第个顾客的服务时间为，从第个队列的第个转移时间为。我们假设是独立同分布的随机过程，且。 。假设 (1) (2)高负荷条件 (3)林德贝格条件 =1,2,0 (4) (5) (6) (7)设是t时刻第n个系统的总的负

3、荷。 (8)在本文中，所有的过程都假设是右连续左极限存在的，所有的过程均在Skorohod 空间D0,)上。记为依分布收敛，记为依概率收敛。2基本引理设一系列总的队列，到达时间间隔和服务时间分别记为和，并使队员超过h服务就开始，令，这里an是一个给定的常数列。由文献1我们有下列引理引理1设supE( n)2，supE( n)2，n=(E n)-1， n=(E n)-1。， ,是有界连续函数，则对于任意T0，有 ，n其中：X n(t)=Q n(nt)/；Q n(t)是t时的队长。引理2 设r n0=0， ni=inf(tr ni-1:Q n(nt)h n)，r ni=inf(t ni:Q n(n

4、t)=0)，则有当n。引理3 在式(1，2)条件下，对于0，我们有。特别，若则 。3主要结果本文的主要结果是下列定理定理1设f (x)是一个实值的连续有界非负的函数，x0，如果条件(1-6)成立，且V n0V0，T0，并设表示t时刻第个队的负荷，则证明我们仅对=1证明，我们首先来确定每个队列负荷的上下界。令(0，/2)，N=(K-)/是一个整数，r()/2，0 I N，ai()=+ iBr()(,i)=(ai()-r()，ai()+r()Cr()(,i)=(0,ai()-+r()(ai()+-r()，) nk(,i)=inf(t:V n(t)Br()(,i)，k1=inf(tnk(,i):Vn

5、(t)Cr()(,i)，k10(,i)=0k(,i)=inf(tk-1(,i):Vn(t)Br()(,i)，k1k(,i)=inf(tk(,i):Vn(t)Cr()(,i)，k1由文献1引理4.1得k(,i)k(,i) (k(,i) 令 ，t0，l=1,2是t时刻第队的队长，=(1/),=1,2Q n(t)=Q n1(t)+Q n2(t)k n0=inf(tnk(,i)：X n1(t)=0)nj=inf(tk nj-1：X n2(t)=0)，j1 k nj=inf(t nj：X n1(t)=0)，j1 (9) nj=inf(tknj-1：X n1(t)ai()-)，j1 nj=inf(t nj

6、 nj：X n1(t)ai()-+1/)，j1设 vn=min(i:knj-1nk(,i)T) (10)vn=0 当kn0nk(,i)T下面定义n0=0，nj=inf(ti-1：Qn1(nt)hn),I 1，ni=inf(tni:Qn1(nt)=0),i1设n，1t是V n，1t的下界过程；n，1t是V n，1t的上界过程，则有n，1t=，1 j 由上式得 (11) 1 j n表示队列第j-1次变空的时刻。同理得 (12)由式(11，12)两式得 (13)定义 (14)则有 (15)记式(13)左边为Unk(,i)，右边为Vnk(,i)即有 Unk(,i) (16)由引理2得令 (17)注意：

7、 (18)由文献2得 (19)且由文献3得(20)由引理1得 (21)由式(17，18)得则 Unk(,i)Uk(,i)，Vnk(,i)Vk(,i)，k1,0iN这里 Uk(,i)= (22)Vk(,i)= 令 U n()= (23)由文献4连续映射定理得(V n，U n() (V，U()，(V n，V n() (V，V()其中 U()= (24)由k(,i)和k(,i)的定义得由(16，23)得Un()- 由(22，24)得 (25)而设 如果x,y/2,x-y2，则 (26)若tk(,i)，k(,i)我们有 由式(26)得因此 由引理3，得 综上则有：当0时U()Vtk)dtV() Vtk

8、)dt由式(25)得 I(Vnt)k)dtVtk)dt (27)而 (V ntKd t-dt(0V nt+I(VntK)d t (28)因此当0 (29)联合式(2729)得 对l=2，同理可证，主要定理得证。参考文献:1 COFFMAN E G，PUHALSKII A A，REIMAN M I. Polling systems with switchover times: a heavy traffic averaging principleJ. Ann Appl Prob, 1995, 5: 681-719.2 COFFMAN E G，PUHALSKII A A，REIMAN M I. P

9、olling systems in heavy traffic：an bessel process limitJ. Math Oper Res，1998, 23: 257-304.3 WHIT T W. Some useful functions for functional limit theoremsJ. Math Oper Res, 1980,5: 67-85.4 BILINGSLE Y P. Convergence of Probability MeasuresM. New York: Wiley, 1968. (编辑 曹大刚) Averaging workloads of polli

10、ng systems with limted service and nonzero switchover times in heavy trafficLIU Jian-min(Faculty of Science, Chang'an University, Xi'an 710064, China)Abstract: The main purpose of is to study polling model under limted-servie with nonzero switchorer times, and give averaging workloads for th

11、e individual queues through constructing bounds for individual queue workloads and use the approach of diffusion approximations in heavy traffic.key words: polling systems; heavy-traffic; limted-service; averaging workloads.作 者 简 介刘建民，男，陕西旬邑人，生于1961年10月。1983年毕业于陕西师范大学数学系，1992年在西安交通大学数学系获硕士学位，现为长安大学副教授、长安大学理学院副院长，兼任陕西省数学会理事、高等数学研究杂志编委等职。