对一道数学高考题的剖析与思考

1、发表于浙师大中学教研(数学)2007年第8期对一道数学高考题的剖析与思考卢明 海盐元济高级中学 3143002007年浙江理科数学第21题：已知数列中的相邻两项，是关于的方程的两个根，且（）求，；（）求数列的前项和；（）记（），求证：本题总共只有55个字，其中汉字32个，可谓叙述简洁明了，不拖泥带水题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切试题一共设置了三问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简约而不简单的命题风格本题所包含的主要数学知识有：一元二次方程、数列的通项与前n项和、函数的周期性、不等式等；所涉及的数学思想有：分类讨论、归纳与猜想等；考查的主要数

2、学技能有：数学运算、逻辑推理本题在函数、方程、数列以及不等式知识的交汇点处命题，体现了较高的综合性，数学内涵丰富，能力要求高更可贵的是本题对任何一位考生来说，考查背景十分公平本题的亮点是：全题纵贯了对数学“基本思想”演绎与归纳的考查如：在第一问中，要求考生根据这一信息，通过分类讨论和演绎推理，计算出，的值在第二问中，要求考生在正确理解意义的基础上，通过对和式中前7项的奇数项与偶数项的分类重组，得到一个等差数列和一个等比数列，然后再分别求他们前n项的和得出的值在第三问中，首先要求考生利用枚举法，归纳出是一个周期函数，且其函数值只有1和2两个值，从而断定的值为；其次是让考生通过猜想与推演，分析出数

3、据和的来历，进而确定用演绎的方法来证明成立的策略不等式的放缩值得探讨的是：在第三问中，由于，所以，和式中各项的符号不是正负相间的，规律比较难找，故在证明时对作不等式放缩的技巧要求显得比较高，方法单一，多数考生即使能预测到要用到不等式的放缩来证，也一时难以找到有效的放缩技巧，影响了区分度如果能对第三问再作适当的改进，或许效果会更好一些但总体而言，“第21题”构思精巧，形式新颖，对学生智慧与能力的检测，远远高于对知识点本身的考查，这对今后中学数学教学应该教什么，怎么教，起到了积极的导向作用1、要注重数学“基本思想”和“基本活动经验”中学的数学教学只注重基础知识、基本技能（简称“双基”）是不够的，还

4、必须加上“基本思想”和“基本活动经验”所谓“基本思想”，主要是指演绎与归纳，这应当成为整个数学教学的主线，它是高于那些针对具体问题的数学思想函数与方程、分类讨论、等价转换、数形结合等的更上位的思想所谓“基本活动经验”，主要是指学生在数学活动中亲身经历并逐步积累起来的解决数学问题的经验新课程强调要培养学生的创新意识和创新能力，而创新能力依赖于三个方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三个方面同等重要数学作为一门思维训练的学科，主要训练学生的两个能力演绎能力和归纳能力应该看到，现在的教育本质上是一种知识的教育，考察的是该教的内容是否教了，教了的知识是否掌握了这样的教育是不全面的教育应当以生为本

5、，不仅要考虑学生知识的掌握，还要考虑身心的发展、思维的发展和能力的提升2、培养学生“智慧”比教学生“知识”更重要“第21题”如果单凭数学知识是无法解决的，它更需要的是智慧因为知识本质上只是一种结果，可能是一种经验的结果，也可能是一种思考的结果而智慧并不表现在这两种结果之上，而是表现在经验和思考的过程之中，如对问题的处理、对困难的化解以及对实质的思考由此可见，智慧是融知识、经验和思维为一体的，是人们实现创新的心理机制新课标之所以倡导三维教学目标，正是考虑到了智慧形成的基本规律，即知识是可以传递的，而智慧是无法传递的，智慧的形成并不完全依赖于知识的多少，而是依赖于知识的运用、依赖于个人的经验一个人

6、的智慧的发展，需要到实际操作中去感悟、去积累、去反思因此，要培养学生“智慧”，务必重视学生的“做中学”，正如富兰克林所说，听到的我会忘记，看到的我会记住，参与的我能理解并会运用 3、要大胆地去掉一些形式化的东西，适度淡化技巧训练数学教学过分强调形式化不利于学生思考，如把一些思考的过程编成“口诀”或“顺口溜”让学生去记忆，这种方法会把数学搞歪掉，就会走向“八股”还应该明确技巧不等于技能，现在我们的教学中反复训练的是技巧而不是技能技巧是对一个具体例子或很窄的范围才适用的方法，而技能是可以迁移的，可以举一反三过多地训练技巧，会增加学生记忆的负担，对学生智慧的发展没多大益处熟能生“巧”走过了头会熟能生“笨” 是否可以这样理解，“第21题”给我们传递了这样一个信息，假如中学数学教学中能在继续保持传统的“双基教学”这个核心的同时，再添进数学的“基本思想”