高中数学.指数函数与相关复合函数

1、新课标剖析当前 形势指数函数与相关复合函数函数概念与指数函数、对数函数、幕函数在近五年北京卷（理）中考查510分要求层次内容ABC有理数指数哥的含义V实数指数哥的含义,哥的运算V高考指数函数的概念及其性质V具体要求理解有理指数哥的含义通过具体实例了解实数指数哥的意义掌握嘉的运算通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数 函数模型的实际背景；理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数 的单调性与特殊点；在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型北京 2009年高考 第3题5分解读

2、第13题5分2010年（新课标）第6题5分第14题5分2011年（新课标）第6题5分第13题5分2012年（新课标）第14题5分2013年（新课标）第5题5分考点1 :哥的运算1 .根式知识点睛如果存在实数x ,使得xn a （ a R 当n/a有意义的时候，小叫做根式，根式的性质：& n a , （n 1 ,n 1 , n N ）,则x叫做a的n次方根.n叫做根指数.且 n N ）; n/a2.分数指数规定正数的正分数指数哥的意义:man0, 规定正数的负分数指数哥的意义:1-m不 a0,3.实数指数哥的运算法则a a a ; (a ) a ； (ab)(其中a,b 0,对任意实数【

3、教师备案】本板块主要是化简、求值问题，可小结如下：一般地，进行指数哥运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数哥，化小数为分 数进行运算，便于进行乘除、开方运算，以达到化繁为简的目的当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外将分数指数哥写出，然后再 利用性质运算.对于计算题的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数哥 的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分 数指数，也不能既含有分母又含有负指数.(4)解题时要注意从整体上把握代数式的结构特点，先化简后计算妙用公式化简指数式1111(a2 b2)(a2 b2) a b； 1111(a

4、2 b2)2 a 2a2b2 b；112 _1 12(a3 b3)(a3 - a3b3 b3) a b .暑假知识回顾51.化简： a2 3/a5 a 25a68一12533x xb xb ccxc a1b""4【解析】a2;x2.化简求值：12532 7 31243518121322x,则 x若2x 32【解析】2;2. 5 ,2,3经典精讲【例1】 4*计算下列各式（式中每个字母均为正数）122x4y 3011 33x4y31; 2a4b4xy33212x433214x 21x212013n1201327万y；1 116a2b3;23;20132B.1 n(n* .N

5、),那么12013112 -a 4b 3 ;8C.a2 a）n的值是（(1)n2013n -1D. ( 1) 2013虬5.2指数函数及其性质知识点睛指数函数：一般地，函数 y ax （a 0 , a 1 , xR）叫做指数函数.【教师备案】指数函数定义的讲解：定义域：因为指数的概念已经扩充到实数,所以在底数a 0的前提下，x可以是任意实数规定底数a如果0且a0,当x1的理由0时，当x< 0时,ax无意义;如果y （ 4）x,这时对于如果1,对于任何实数x, y 1x1,x,.等，（4）x都无意义；42是一个常量，对它就没有研究的价值和指数函数的性质:定义域R值域(0,)性质过定点 0,

6、1 ,即x 0时，y 1在R上是减函数在R上是增函数【教师备案】指数函数的图象与性质的讲解当底数a大小不定时，必须分 a 1”和0 a 1”两种情形讨论a 1 时，x1时，xa 1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快;(4)当a 1时，a的值越大，图象越靠近 y轴，递增的速度越快；熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小考点2:指数函数的图象经典精讲【例2】 ,经已知指数函数f （x） 值.日函数y a2x 4 3 （ aax（a 0,且a 1）的图象经过点（3,8）,求f （

7、0）0且a 1）必过定点f(1), f ( 3)的力在下图中，二次函数y ax2 bx与指数函数yxb的图象只能是（a【方法规律】32f( 3)21， f(1)f(0)2, 4A当两个函数的图象在同一坐标系内, 取值在图象上一致（矛盾的淘汰） 数据的范围.y yy yOO 1判断其正确选项时,首先要使两个函数中的字母的,然后如果还确定不出唯一的正确选项，再考虑各特征考点3:哥的大小比较法： 函数单调性法； 中间值法：要比较 A与B的大【方法总结】骞的大小比较的方法比较大小常用方法有：比差（商）小，先找一个中间值 C,再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到 A与B之间 的大小.在比较两

8、个哥的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：(4)对于底数相同，指数不同的两个哥的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断.对于底数不同，指数相同的两个哥的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断.对于底数不同，且指数也不同的哥的大小比较，则应通过中间值来比较.对于三个（或三个以上）数的大小比较, 行分组，再比较各组数的大小即可.则应根据值的大小（特别是与0、的大小）暑假知识回顾1.三个数A. 0.320.3C. 2【解析】B21 , 0.30.32121 0.320.3的大小顺序是(B . 0.32D. 1 0.3).0.30.32.已知1，比较下列各组数的大小:Dab_ca ;1ab

9、经典精讲1.8)y2(2 2)0.6V3A. y3C. y1y1y2y2V3B.D.y2y1y1V3y3y24比较下列各组数的大小.Da1.2,2224333320.8【解析】D当0 42221 时，a1.2 a1.1 ;当 a 333 .1时,1.21.1a ;0.8仆13)-2考点4:指数函数图象的变换规律【教师备案】平移规律若已知y ax的图象，则把y 图象，把y ax的图象向右平移ax的图象向左平移b b 0个单位，则得到个单位，则得到ax b的图象，把y a x的图象向上平移b b 0个单位，则得到y 到y ax b的图象.对称规律ax b的图象，向下平移b b 0个单位，则得ax的

10、图象关于x函数y ax的图象与y ax的图象关于y轴对称，y ax的图象与y 轴对称，函数y ax的图象与ya x的图象关于坐标原点对称.获精讲一、【铺垫】已知f x 2x,利用图象变换作出下列函数的图象:f x 1 ;f x 11 ; fX；f x ； f x .【解析】以f x 2x图象为依据，经过平移、对称变换画出各自的图象，如图所示:(4)【教师备案】指数函数是我们在高中课本上第一次遇到有渐近线的函数，所以老师在给学生讲指数函数的图象平移的时候一定要注意渐近线，尤其是向上和向下平移的时候，有渐近线的限 制，所以值域会受到限制【例4】/函数ya.与yc.与 y 4岛若函数yex的图象（）

11、ex的图象关于y轴对称ex的图象关于y轴对称ax b 1 ( a0且 a W1)xB.与y e的图象关于坐标原点对称D .与y ex的图象关于坐标原点对称 的图象经过第二、三、四象限，则一定有（A. 0 a 1且 b 0C. 0 a 1 且b 0隆I (2013北京理5)函数fB. aD. a的图象向右平移1个单位长度，所彳#图象与曲线 y ex关于y轴对称，则Ax 1A . ef x (B.x 1D. e5.3与指数函数相关的复合函数的性质考点5:与指数函数相关的基本性质【教师备案】在暑假的时候我们只讲了外层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性的问题， 秋季我们将重点讲解内层是指数函数

12、的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问6将单独研究与二次函题，对于考点5我们不涉及与二次函数的复合，因为下边的考点 数复合.暑假知识回顾求下列函数的定义域和值域：【解析】定义域为xx R,且x 2定义域为1,，值域为1y 33y 5k.，值域为y y 0,且y 1 .0, 1 .【例5】(I)'*函数f(x) ，2x 1 3的定义域为，值域为函数f(x)的定义域为，值域为*设函数ff(x)A.0,f (x)2xR函数g(x)的定义域为，值域为12xx7, x则实数a的取值范围是3(2a 1)xB.0)上是减函数，则a的取值范围是(1a)(0C.D.a是奇函数)则aD , 0 ,

13、0,1 ； 1,0,五；3B;1 ;2例6亮已知函数f(x)2x求f (x)的定义域，值域;证明f(x)为奇函数；讨论f (x)的单调性.【解析】 定义域为(，).值域为(1,1). f( x) f (x) , f(x)为奇函数.法一：用定义证明单调性2x112x21设任息为 x2 ,则 f(x) f(x2)-21 122 12* 2x2 , 2(2x1 2x2) 0, 2x1 1 0 , 2x2 f(x1) f (x2) 0, f (Xi) f(x2),，f(x)为R上的增函数.法二：利用复合函数的单调性2f(x) 1 -一，u 2x 1在R上单调递增，且21故它们复合后得到的f(x)在R上

14、单调递增.2(252x2)(2. 1)(2x21)/2 4u 1； y 1 在(1,u)上单调递增,x【拓展】已知f (x),若0 a 1 ,求：42 f (a)f(1 a)的值；f工f三f 2 I" f理的值.1001100110011001【解析】1; 500.考点5:指数函数与二次函数的复合【教师备案】本考点重点考查外层是二次函数，内层是指数函数的复合函数，对于外层是指数函数的复合函数老师可以借助暑假知识回顾给学生讲解.暑假知识回顾2co1 .函数y 2x x的单调增区间为(A. (, 1 B. 1,)【解析】B.)C. 1,3D. (,1曲1,1 2x x21 2 .求函数y

15、 的te义域、值域和单倜区间.2定义域为， ，值域为1,4单调减区间是(，1,单调增区间是1,.23 .求函数y ax3x2(a 0,且a w 1)的单调区间.2a 1时，y a x 3x2在 ，3上是增函数，在220 a 1时，y a x 3x 2在上是减函数，在 ,22是减函数;是增函数.经典精讲【铺垫】函数f (x) 3 4x 2x ,求f (x)在R上的最小值.函数f(x) 3 4x 2x,求f(x)在x 0,上的最小值.1【解析】f(x)在R上最小值为.12f(x)在0,上最小值为2.【例7】 |去求函数f(x) 9x 2 3x的单调区间及其值域.如果函数y a2x 2ax 1 a

16、0, a 1在区间1, 1上的最大值是14,【解析】函数的递增区间为 0,递减区间为 ，0 ,函数的值域为1,a的值为3或1.3求a的值.华山论剑设 f(x) 1 2x a 4x(a R),当 x,1时，f(x)的图象在x轴上方，求a的取值范围.本题等价于当x<1时,1 2xa 4x 0恒成立x21a4xx< 1恒成立.2x 14x2xx W 1 ,问题等彳于求 uxmaxx人1.1令一 t , - x<1 ,-t>-222u x t2 t t 1在,上是减函数242当t 2, U X max 3,则a 3即为所求实战演练【演练1】化简：1a21b211a2 b2112【解析】【演练2】211【解析】DC.关于【解析】D.x轴对称【演练3】（2010重庆理5）函数A.关于原点对称4x1八乙x 一的图象（）2B.关于直线y x对称D.关于y轴对称【演练4】若函数f(x)(a2)x,xA.(2)B.x> 2