浅谈度量空间介绍

1、度量空间摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程.因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质.并且引入一些度量空间的其它性质.关键词：度量空间导集闭集正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期，法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度量空间的概念.1.度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一

2、些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.定义1.1设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x,y都有唯一确定的实数p(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)正定性p(x,y)之0,并且p(x,y)=0当且仅当x=y；(2)对称性p(x,y)=px,y);(3)三角不等式p(x,zAp(x,y)+p(y,z)则称p是集合X的一个度量，同时将(X,p豚为度量空间或距离空间.X中的元素称为点，条件(3)称为三点不专队.定义1.2设(X,p混一个度量空间，xwX.对于任意给定的实数名A0,集合yWXp(x,y)<记作B(x,一称为一个以x为中心，以名为半径的球形邻域，简

3、称为x的一个球形邻域2度量空间的一些例子例2.1离散的度量空间设X是任意的非空集合，对X中的任意两点（x,yw X ）,令d(x,y )=q当 x -二 y当x = y容易验证d（x,y剂足关于距离的定义中的条件.我们称（X,d）为离散的度量空问.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2序列空间S令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点x=（81述2,，“，）及y=P产2,，1,），令2i1；i-i易知d（x,y泄足距离条件d(x,y)之0,d(x,y)=0的充要条件为x=y.(2.1)下验证d（x,y脚足距离条件d(x,y)d(x,z)+d(y,z)对任意

4、z都成立.(2.2)为此我们首先证明对任意两个复数a和b,成立不等式a+b<a+Jb1+|a+b|1+|a|1+|b|事实上，考察0产）上的函数由于在0产止，f'（t）=1.>0.所以f（t）在b,g）上单调增加，由不等式1ta+bWa+b|,我们得到a +b1 -.-|ab<1 +|a| + |ba上引1 +|a| +b| 1 + 同 +|b;二 a b1 +|a| 1 +|b令z=(。，g,，二,)，a=«£,b=。一，则a+b=-，代入上面不等式,行£.11.£._11.Q|i%,iii<+.1+|易一"i

5、1+1&i-i|1+|-i-ni|由此立即可知d(x,y泗足距离条件(2.2),即S按d(x,y)或一度量空间.例2.3有界函数空间B(A)设A是一给定的集合，令B(A底示A上的有界实值(或复值)函数全体,对B(A中任意两点x,y,定义dx,y=supxt-yt.teA下面验证d(x,y)满足条件(2.1)和(2.2).d(x,y)显然是非负的.又d(x,y)=0等价于对一切twA,成立x(t)=y(t),所以x=y,即d(x,y并两足(2.1),止匕外，对所有的twA成立xt-yt_xt-zth-|zt-yt_supxt-ztsupzt-yt.t.AtzA所以supx(t)-y(tj

6、<supx(t)-z(t)十supz(ty(t).t三At三At三A即d(x,y闸足条件(2.2).特别地，当A=hb】时，记B(A)为Bbbl例2.4可测函数空间M(X)设M(X)为X上的实值(或复值)的Lebesgue可测函数全体，m为Lebesgue测度，若m(X)<8,对任意两个可测函数f(t)及g(t),由于f(t) -g(t)1+ f(t)g(t)：二 110所以这是X上的可积函数，令d(f,g)=Lf(t)®)_dt 收1+ f -g(t)如果把M(X)中的两个几乎处处相等的函数视为M(X)中的同一个元，那么利用ab1-|a1b及积分性质很容易验证d(f,g

7、)是距离.因此M(X)按上述距离d(f,g)成为度量间.例2.5Cla,bl空间令ca,b1表示闭区间a,bl上的实值(或复值)连续函数全体，对Cla,bl中任意两点x,y,定义d(x,y)=maxx(t)-y(t)容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).例2.6l2记l2=/x=Qx2l.设x=Lkl2,y=yjwl2定义,k工,1二2ad(x,y)='、(yk-xk)._km则d是l2的距离。距离条件(2.1)是容易得出的，现检验条件(2.2).对任何正整数n,x(n)=(x1，xn刑y(n)=(y1，yn)都R中的元素,由Cauchy不等式£xkYk<Zx：

8、、kT)kTod' y2k W再令右端nts,即得ZxkykIWgxk<k=1kk=i再令左端的nt笛，即得由此可得,oc工 XkVk<k=12-1oO2二' X2kJoO.2-、yk :二二k 12、(Xk yk)/ Xkkmcd2X Xkykk4cOy2k1二二 1 二二m、x2 - 20 x y2)2 -、y2k=1k=1k=1k=1£Xk+£yk)k4)j令取4=*,，=.以Xk=，k/k,yk"k.，k代入上式，即可得的三点不等式d(,)<d(,)d(,)由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间Rn之外，还包括其

9、他的空间.3度量空间的一些简单性质定理3.1设(X,p促一个度量空间，则拓扑空间X是一个离散空间当且仅当p是一个离散的度量.证充分性若p是一个离散的度量，则对于任意的X-X，存在实数6x>0,使得对于任意的ywX,y#X，有p(X,y)>6X.于是x的球形邻域B(x,6x)=x,所以，&为开集.由X的任意性以及开集的性质，故X为离散空间.必要性若X为离散空间，则对于任意的xwX,单点集&为开集，于是存在x的球形邻域B(x,&)=x,令bx=；,则对于任意的yWX并且y#x,有p(x,y)>dx.所以,P为离散的度量.定理3.2度量空间的每一个子集的导集

10、都是闭集.证设(X,P)为一个度量空间，A是X的任意一个子集.欲证A的导集d(A)为闭集，只需证ddAdA.如果d(d(A)=%显然d(d(A)户d(A).如果d(d(A)#%由于d(d(A)户AUd(A),所以对于任意xwd(d(A),有xeA或xwd(A).若xwA,则对于x的任意一个球形邻域B(x,名)，有Bx,；dA-"二.于是，对于任意的yBx,；dA-lx)，则y#x,取、=min*px,y,-px,y:则By,Bx,；,并且By,6iA-ly；k*=又由于B(y,3P(Ay)B(y”(A仁B(x.”(A&),所以b(x,®)n(A-x)#*,因此综上，

11、对于任意xwd(d(A»有xwd(A).所以，d(d(A)户d(A)定理3.3度量空间中的每一个单点集都是闭集.证(X,P讷一个度量空间，xwX,对于任意ywX,y=x,令名=见罗，于是名下0,并且B(y"&=©,所以，y仅，于是“=仅,因此，单点集黑为闭集.由x的任意性，度量空间X中的每一个单点集都是闭集.定理3.4X是一个度量空间，如果X有一个基只含有有限个元素，则X必为只含有有限多个点的离散空间.证假设X是无限集.由于X是一个度量空间，由定理3.1可知，X中的每一个单点集都是闭集，于是，对于任意xwX,集合X-x都是开集.因此，拓扑空间X中有无穷多个

12、不同的开集.又由已知X有一个基只含有有限个元素，它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集，所以X中的开集只有有限个，这与上述矛盾！因此假设错误，X只能是有限集.最后，由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间，故由定理1可知，X是一个离散空间.定理3.5度量空间X中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限.证设(X,P诞一个度量空间，匕十是X中的一个收敛序列.假若序列X电不少有两个极限x和y.由于y=x,则p(x,y)A0.设；=px,y0,于是对于x的球形邻域B(x,z),存在MiCZ+,使得当iaMi时，有xiwB(x,名)；对于y的球形邻域B(y,8),存在M2CZ+,使得当jaM2时，

13、有x产B(y,w).则一方面B(x,B(y,£)=弧(3.1)另一方面，令M=maxM1,M2,于是当i>M时，有xiwB(x,w)nB(y,w),这与(3.1)式矛盾！所以假设错误.因此，度量空间X只有一个极限.定理3.6设X是一个度量空间，AcX,xcX有一个序列为&+在X中并且u敛于x当且当x是集合X的一个凝聚点.证必要性设序列小乜+在X-板中并且敛于x.如果U是x的一个邻域,则存在MZ+使xM4,xM也匚U,因此xM+,xM书，仁U"(A-&),从而UA-ix)=.所以x是A的一个凝聚点.充分性如果x是A的一个凝聚点，则对于x任意一个或形邻域B

14、(x,z)有Bx,；A-X二，于是对于任给的正实数名有其中iwZ+.并且Bx,：门(A-&)#4.<2i)所以对于每一个i-Z+,任取xj亡Bx,i1(A-&)#,、2i)则序列xjiz.Ax，中并且收敛于x.4度量空间的紧致性和完备性4.1度量空间的紧致性定义4.1.1设A是度量空间(X,p)中的一个非空子集.集合A的直径如果A是有界的 如果A是有界的diam(A淀义为diam(A)=>UpP(X，y)X，yA定义4.1.2设(X,p显一个度量空间，A是X的一个开覆盖.实数儿：>0成为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A,只要dia

15、m(A)<九，则A包含于开覆盖A的某一个元素之中.Lebesgue数不一定存在。例如考虑实数空间重的开覆盖(-0o,1)Uh(n-,n+1+)n=Z+>lnn,则任何一个实数都不是它的Lebesgue数.定理4.1.1(Lebesgue数定理)序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有个Lebesgue数.证设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖.假若开覆盖A1一没有Lebesgue数，则对于任何iwZ+,实数-不是A的Lebesgue数，所以X有一i1个子集Ei使彳mdiam(Ei)<并且Ei不包含于A的任何元素之中.i在每一个Ei之中任意选取一个点xi,由于X是一个序列

16、紧致空间，所以序列x1,X2,有一个收敛的子序列Xn0,XN1,设这个子序列收敛于ywX.由于A是X的一个开覆盖，故存在AwA使得y亡X,并且存在实数名>0使得球形邻域B(y,w/A.由于序列XN0,XN1,收敛于y,所以存在整数M>0使得当>M时2XNiuB(y,2).令k为任意一个整数，使得k>M+公，则对于任何z-ENk有：(z,y)<：(z,XnJ：(*心，y)：二；这证明ENkB（y,；）AA与ENk的选取矛盾.定理4.1.2每一个序列紧致列紧致的度量空间都是紧致空间证设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖.根据Lebesgue数定理，X的开覆

17、盖A有一个Lebesgue数，设为九下0.,它是X的开覆盖，我们先来证明B有一个有限覆盖假设B没有有限覆盖，任意选取一点XiwX,对于i>1,假定点Xi,X2,，x已经取定，由于b'xi,M：B'X2,M；，B,x上!不是X的覆盖，选取XWX使得3八3)<3力Xi正Jj；BXj,按照归纳原则，序列Xi,X2已经取定，易见对于任意j3Ji,jWZ+,i#j,有P(Xi,Xj巨土，序列Xi,X2,没有任何收敛的子序列，(因为3任彳ywX的球形邻域By,-j中最多只能包含这个序列中的一个点.)这与X是<6)序列紧致空间相矛盾.现在设BBXi,BX2,1.,BXn,&

18、#39;!是开覆盖B的一个有限子覆盖.由L13八3)13力于其中每一个元素的直径都小于九,所以对于每一个i=i,2，,n存在A亡A似的BXj：uA.于是，1AA,人是A的一个子覆盖.<3J定理4.i.3设X是一个度量空间，则下列条件等价(1) X是一个紧致空间；(2) X是一个列紧空间；(3) X是一个序列紧致空间；(4) X是一个可数紧致空间.(5) 度量空间的完备性定理4.2.1设（X,P班一个度量空间.则（X,P）是紧致的当且仅当（X,P）是一个完全有界的完备度量空间.证设度量空间（X,P显紧致的.任意给定实数8>0,由球形邻域构成的集族B（x,wjxwX是X的开覆盖，它有一

19、个有限子覆盖，设为Ite（Xl,£）（X2,）,B（Xn®上易见有限集合&1,X2，Xn是X的一个Z网.这证明X是完全有界的.为证明（X,P屈完备的，设序列Gn%以+是X中的一个Cauchy序列.由于紧致的度量空间是序列紧致的，所以序列（Xnnez+有一个收敛的子序列，设这个子序列收敛于X这时序列国门,三+也必收敛于X.这证明X中的每一个Cauchy序列都收敛.另一方面，设（X,P届一个完全有界白完备度量空间.为证明X是紧致的.只需证明它是序列紧致的.由于X是一个完备度量空间，这又只要证明X中的每一个序列有一个子序列是Cauchy序列.设Xn;ne+是X中的一个序列.我们按归纳方式对于每一个iwZ+定义一个序列%=媪匕+如下：首先，令%=&入.十.其次对于i>1,假定内已经定义设（乙，Z2,，Zm是X的一个2<刊网，因此球形邻域构成的集族B（Zi,2Y+）B（Z2,2l+>，B（Zm,2