能被4、7、8、11、13整除的数的特征及习题

1、能被4、7、8、11、13整除的数的特征及其它1、 被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被 4或25整除，那么，这个数 就一定能被4或25整除.例如：4675 = 46X100+75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600 与75均能被25整除，它们的和也必然能被 25整除.因此，一 个数只要末两位数能被 25整除，这个数就一定能被 25整除.又如：832 = 8X100 + 32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800 与32均能被4整除，它们的和也必然能被 4整除.因此，因此， 一个数只要末两位数字能被 4整除，这个数就一定能被 4整除.

2、2、 被7整除的数的特征法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从 留下来的数中减去所割去数字的 2倍，这样，一次次减下去，如 果最后的结果是7的倍数（包括0）,那么，原来的这个数就一 定能被7整除.例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13 -3X2 = 7,所以133是7的倍数；又例如 判断6139是否7的 倍数的过程如下：613-9X2 = 595 , 595X2 = 49,所以6139 是7的倍数，余类推。法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除.如判断数280679末三位数字是

3、679,末三位以前数字所组成 的数是280, 679 - 280=399 , 399能被7整除，因此280679也 能被7整除。此法也适用于判断能否被 11或13整除的问题。如：283679的末三位数字是679,末三位以前数字所组成的 数是 283, 679-283=396 , 396 能被 11 整除，因此，283679 就 一定能被11整除.如：判断383357能不能被13整除.这个数的未三位数字是 357,末三位以前的数字所组成的数 是383,这两个数的差是：383357=26, 26能被13整除，因 此，383357也一定能被13整除.法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。例

4、如，判断456669能不能被7整除，456669-420000=36669 , 只要32669能被7整除即可。对32669可继续，32669-28000=4669 , 4669-4200=469 , 469-420=49 , 49 当然 被7整除，所以456669能被7整除。3、 被8整除的数的特征如果一个数的末三位数能被 8或125整除，那么，这个数就 一定能被8或125整除.例如：9864的末三位是864, 864能被8整除，9864就一 定能被8整除.72375的末三位数是375, 375能被125整除， 72375就一定能被125整除。4、 被11整除的数的特征除了前面讲的被7整除的法

5、二适用于11之外，还可以把一个 数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来 , 再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包才§ 0）,那么，原来这个数 就一定能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。一-> 奇位数字的和9+6+8=23 ,->偶位数位的和4+1+7=12,23-12=11因此,491678能被11整除。这种法叫“奇偶位差法 :五、被13整除的数的特征除了前面讲的被7整除的法二适用于13之外，还可以把一个整 数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直 接观察出来

6、，就重复此过程。例如：判断1284322能不能被13整除。128432+2 X 4=128440 , 12844+0 X4=12844, 1284+4 X4=1300, 1300 + 13=100 所以，1284322能被13整除。(1) 1与0的特性：1是任整数的约数，即对于任整数 a,总有11a.0是任非零整数的倍数，a中0,a为整数，则a|0.(2)若一个整数的末位是 0、2、4、6或8,则这个数能被2整 除。(3)若一个整数的数字和能被 3整除，则这个整数能被3整除。(4)若一个整数的末尾两位数能被 4整除，则这个数能被4整除。(5)若一个整数的末位是 0或5,则这个数能被5整除。(6

7、)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。(7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大 或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、 相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断 133 是否7的倍数的过程如下：13 3X2=7,所以133是7的倍数； 又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9X2=595 , 595X2=49,所以6139是7的倍数，余类推。(8)若一个整数的未尾三位数能被 8整除，则这个数能被 8整 除。(9)若一个整数的数字和能被 9整除，则这个整数能被9整除。(10)若一

8、个整数的末位是 0,则这个数能被10整除。(11)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11Word资料整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的割尾法处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1!(12)若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。(13)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太 大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述截尾、倍 大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。(14)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除

9、。如果差太 大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述截尾、倍 大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。(15)若一个整数的个位数字截去， 再从余下的数中，加上个位 数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太 大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述截尾、倍 大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。(16)若一个整数的末三位与 3倍的前面的隔出数的差能被 17 整除，则这个数能被17整除。(17)若一个整数的末三位与 7倍的前面的隔出数的差能被 19 整除，则这个数能被19整除。(18)若一个整数的末四位与前面 5倍的隔出数的差能被23(或 29)整除，则这个数能

10、被23整除数的整除（能被 7、9、11、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b（b）,所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。2、如果整数a能被整数b（b沌）整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。3、能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数.4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除5、一个三位以上的整数能否被 7 （11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的 数字组成的数的差（以大减小）能否被 7 （11或13）整除。例题精讲1、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或

11、9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数47382各个数位的数字相加和是24 , 24是3的倍数但不是 9的倍数。解：47382能被3整除，不能被 9整除2、判断42559 , 7295871能否被11整除？分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。解：42559奇数位的数字和为 4+5+9=18 ,偶数位的数字和为2+5=7 , 18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为 7+9+8+1=25 ,偶数位的数字和为2+5+7=14 ,25-14=11是11的倍数，所以 729

12、5871也能被11整除。3、32335能否被7整除？分析：一个三位以上的整数能否被7 （11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被 7 （11或13）整除。解：335-32=303 , 303不能被7整除，所以32335不能被7整除。专题特训1、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除?2、四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则 A= B=3、是一个四位数，在这个 事先后填入3个数，所得到的 3个四位数依次能被 9、11、6整除， 先后填入的3个数分别是几？4、九位数8765 口321能被21整除，匚中应填几？5、用17

13、七个数字组成不重复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数差是多少?6、一个五位数 a236b能被63整除，这个五位数是多少？7、如果六位数1992 口 口能被105整除，那么它的最后两位数是多少？8、有三个连续的两位数，它们的和也是两位数，并且是11的倍数.这三个数可能是多少？9、 一个六位数23/6 是88的倍数，这个数除以88所得的商可能是多少？10、42年8比99的倍数，这个数除以99所得的商是多少？答案与解析1、解：能被9整除的数的特点是各数位的数字和能被9整除，5+1+6=12，至少再连续写三次，得到 516516516各数字的和为 36,才能被9整除。2、解：由能被

14、2和5整除可判断B=0。能被3和9整除可得A可能是0、9,由能被4整除可得A只能为0,所以A=0, B=0O3、解：能被9整除，口中应填7,能被11整除，匚中应填8,能被6整除，匚中应填44、解：21=3 X7,所以8756 1321能被3和7同时整除，根据特征判断可得匚中应填0。5、解：根据能被 11整除的数的特征，最大的七位数应为7645231 ,最小的七位数为1235476 ,二者的差为 7645231-1235476=64097556、解：这个数能被 63整除即能被7和9同时整除，符合条件的数为223657、解：因为105=3 X7X5,所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特

15、征即可。根据整除特征可得末位只能为0或5。如果末位填入 0,那么数字和为 1+9+9+2+ 口+0=21+ 口，要求数字和是 3的倍数，所以口可以为 0, 3, 6, 9,验证均不是 200-=1 , 230-=31 , 260-=61 , 290-=91 ,有 91 是 7 的倍 数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90。8、解：三个连续的两位数其和必是3的倍数，已知其和是11的倍数，而3与11互质，所以和是33的倍数，能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时，三个数是10,11,12;当和为66时，三个数是 21,22,23;当和为99时，三

16、个数是32,33,34。9、解：一个数如果是 88的倍数,这个数必然既是 8的倍数，又是11的倍数.根据8的倍数, 它的末三位数肯定也是8的倍数，从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数，从已知的四个数看，这个六位数奇偶位上数字的和是相等的，要使奇偶位上数字和差为0,两个框填入的数字是相同的，因此这个六位数有两种可能23 58同或23区羽U又 230560 + 88=2620238568 +88=2711所以，本题的答案是 2620或2711。10、解：因为99=9 M1,所以42咋8小是9的倍数，又是11的倍数 根据是9的倍数的特点， 这个数各位上数字的和是9的倍数.42/8匚这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的