求线段最小值

1、求线段最小值作者：日期:“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年白中考中，经常遇到求PA+ PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比 较全面的认识和了解，我们特此编写了 “求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助.、在三角形背景下探求线段和的最小值1 .1在锐角三角形中探求线段和的最小值例1 如图1,在锐角三角形A B C中，AB=4j2, /BAC=45° , / BA C的平分线交 BC于点D, M,N分别是ADD AB上的动点，则BM+MNj最小值为 分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法 .我们要选

2、用三角 形两边之和大于第三边的原理加以解决.解：如图1,在A C上截取AE =AN连接BE.因为/ BAC的平分线交BC于点D,所以ZEAM=/ NAM又因为A M=AM 所以AA MEiA AM Nl,所以 M2 MN,所以B M+ MN=BM ME >BE.因为BM+腑有最小值.当B E是点B到直线AC的距离时，B E取最小值为 4,以BM+M N的最小值是4.故填4.1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2 （2 010山东滨州）如图4所示，等边AA BC的边长为6, AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点，E是AC边上一点.若 AE = 2 , E M+CM勺最小值为 :DS

3、12分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的 知识求出这条线段的长度即可.解：因为等边 ABC的边长为6, AD是BC边上的中线，所以点C与点 B关于AD对称, 连接BE交AD于点M，这就是EM+ CM最小时的位置，如图5所示，因为CMk BM所以EM+C M=BE过点E作EFL BG垂足为F,因为 AE=2,AC = 6,所以EC= 4,在直角三角形E FC中,因为 E C=4 , / ECF =60°，/FEC=30° ,所以F C = 2,EF= J三- ” 二五-2,因为 BC=6, F C=2,所以 B F= 4在直角角形B

4、E F 中，BE J'+.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2. 1在直角梯形中探求线段和的最小值例3 （2 0 10江苏扬州）如图 3,在直角梯形AB CD中，/ ABC=90° ,AD/ BC,AD =4 ,AB=5, BC= 6,点P是AB上一个动点，当 PC+PD勺和最小时,PB的长为分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E,连接CE,交AB于点P,此时P C+ PD和最小，为线段CE .因为A D- 4,所以AE=4.因为/ AB C =90° , AD B BC

5、,所以/ EAPAS _ AP因为/APE = / BPC,所以AA PUBPC,所以 5c PR .因为 AE=4, BO 6 ,A _AP 2 _AP2 + 3 _APPB _ AB _5所以6 诙，所以马一画,所以3 - 一百砺3 ,因为AB= 5,所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4 如图4,等腰梯形 ABCD43 ,AB=AD =C D= 1, /AB 0=60° , P是上底，下底中点 EF直线上的一点，则 PA+ PB的最小值为 .的4分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D,这是解题的一个关键点.其次运 用好直角三角形的性质是解题的又一个关键

6、.解：如图4所示，因为点 D关于直线EF的对称点为A,连接BD,交EF于点P,此时P A+PB和最小，为线段BD.过点D作D GL BC,垂足为G,因为四边形 ABC D是等腰梯形， 皂且A B=A D=C D =1 , / AB C= 60 ° ,所以/ 0=60° , / GDC另 0° ,所以 GC= ,DG= 2 .因为/ A BC=60 ,AD / BC ,所以/ BAD= 12 0°.因为 AB=AD所以/ ABD =/ ADB=30 ,所以/苴ADBS = 3 0°，所以BD=2DG =2X 2 = 4与.所以PA +PB的最小值

7、为 狗.2. 3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形 AB CD中,AB=2, Z B AD=6(J , E是AB的中点，P是对角线 AC上的 一个动点，则PE +PB的最小值为 .0 5分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为 D,连接DE,交AC于点P,此时P E+ PB和最小，为线段ED.因为四边形AB CD是菱形,且/ B AD=6 0° ，所以三角形 ABD是等 边三角形.因为 E是 AB的中点，A B=2 ,所以 AE=1, D E，AB,所以ED=,】.一.'=立.所以P E+P B的

8、最小值为 也.2. 4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形 AB C D的边长为8,点M在DC上，且DM=2 N是AC上 的一个动点，则 DN+MN勺最小值为 .分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点 D,这是解题的一个关键点.解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B,连接 BM,交AC于点N,此时D N+MNF 最小，为线段BM.因为四边形AB CD正方形，所以B C=C» 8.因为DM=2所以MC =6,所以B M£C, 4 cM'= "柳十/=1 0.所以DN-M N的最小值为10.例7（ 2 00 9 ?达州）如图7

9、 ,在边长为2cm的正方形A BC D中，点Q为B C边的中点点P为对角线AC上一动点，连接PR PQ,则 PBQ周长的最小值为 c m .（ 结果不取近似值 ）.分析：在这里 PBQ周长等于PB +PQ+BQ而BQ是正方形边长的一一半 ,是一一个定值1 ,所 以要想使得三角形的周长最小 ，问题就转化成使得 PB+PQW和最小问题.因为题目中有一个 动点P,两个定点B, Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于A C对称，连接DQ，交AC于点 P,连接 PB.所以 BP= DP,所以 B P+PQ =DP+P Q =DQ.在

10、Rt CDQ 中，D QBP+P Q+BQ=> Q+BQ =2D'CQJj2y=J ,所以 pbq的周长的最小值为:75+1.故答案为75+1.三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（ 2 01 0年荆门）如图8 , MN是半彳仝为1的。O的直径，点A在O。上，/ A MN=30B为AN弧的中点，P是直径MN±一动点，则PA+ PB的最小值为（）(A) 2 近 (B) (H( C) 1 (D ) 2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D,连接DB,则线段和的最小值就是线段 DB 的长度.解：如图8,作出点A的对称点D,连接DB,OB,OD因为/ AM N=3 0

11、76; , B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30。，弧A B的度数为30。，弧AN的度数为6 0° .根据圆心角 与圆周角的关系定理得到：/BCN =30。.由垂径定理得：弧DN的度数为60。.所以/ BOD=Z B O N + / DON= 300 +60° =90°.所以 DB=OB* +。口" =+1； =2 .所以选才i B.四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值2土例9 （2010山东济宁）如图 9,正比例函数y=2 x的图象与反比例函数 v=k （kw。） 在第一象限的图象交于 A点，过A点作x轴的垂线，垂足为 M,已知三角形 OA

12、M勺面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1 ,在x轴上求一点 P,使PA+ P B最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键.要想确定出PA+ P B的最小值，关键是明白怎样才能保证 PA+ PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了 .解：（1 ）设点A的坐标为（x, y ），且点A在第一象限，所以O M=x , A M=y.LoMx1W二 L.因为三角形 OAM的面积为1 ，所以2所以xy=2,所以反比例函数的解2

13、析式为y =工.421 1（2 ）因为y = 2 x与y= x相交于点A,所以X = 2 x,解得x=2,或x =-2 .因为x > 0, 所以x=2,所以y=l,即点A的坐标为（2,1 ）.因为点B的横坐标为1,且点B在反比例函 数的图像上，所以点B的纵坐标为2,所点B的坐标为（1,2）,所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1, -2）.设直线AD的解析式为y=kx+b,所以& = 1 ,5解得k =3,b= 5 ,所以函数的解析式为y=3x- 5 ,当y=0时,x =耳，所以当点P在（3,0 ）时,PA+PB的值最小.五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（201。年玉

14、溪改编）如图10,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1, 73 ） , AOBW面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、 。B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使AAOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里 AOCW长等于A C+C O+AO ,而A,O是定点,所以A O是一个定长，所以要 想使得三角形的周长最小， 问题就转化成使得 AU CO的和最小问题.因为题目中有一个动点 C,两个定点A, O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.日 X解:(1)由题息得：2品- 8 所以OB=2.因为点B在x轴的负半轴

15、上，所以点 B的坐标为(一2,);(2)因为B(-2 , 0),0( 0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax (x + 2 ),将点A的坐标为(1 ,右)代入解析式得：3 a=V3，所以a = V ,所以函数的解析式为y<T F +243X x.(3)存在点C.如图10,根据抛物线的性质知道点 B与点0是对称点，所以连接 AB与 抛物线的对称轴 x= 1交AC于点C,此时AOC勺周长最小.设对称轴与x轴的交点为E.过点 A作A F垂直于 x轴于点 F,则B E =E 0= EF = 1 .因为 BC Es BAF,所以BE _ CE , _CE所以3 内，所以CE= 3 .因为点C在

16、第二象限，所以点C的坐标为(-1,3 ).六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值in例11（ 2 010年天津）如图11,在平面直角坐标系中，矩形CM废 的顶点O在坐标原点, 顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3, 0B =4D为边OB的中点.,求点E的坐标；（2 ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF =2,当四边形CD EF的周长最小时，求点E、（1）若E为边O A上的一个动点，当 CD帮周长最小时F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起, 很好的运用到平面直角坐标系中解：（1 ）如图12,作点D关于x轴的对称点 。二 连接C7与x

17、轴交于点E,连接DE .若在边0A上任取点内r （与点E不重合），连接Cr、DS'、沙 号.由D卸+ c®=2'卸+ c卸g'=或'+CE=DE+C,所以的周长最小.因为 在矩形 OAC曲,OA=3,OB= 4, D为0B的中点，所以 B C=3, D 0= 3, 0=2.所以点C的坐标为（3, 4）,点的坐标为（0，（0,-2 ）,设直线C7的解析式为y = kx +b = -2b,则13此一匕=4 ,解得k=2, b= -2,所以函数的解析式为 y=2x-2 ,令y =0 ,则x= 1，所 以点E的坐标为（1, 0）；（2）如图1 3 ,作点D关于x轴的对称点 即，在CB边上截取CG=2,连接口' G与x轴 交于点E,在E A上截E F=2.因为 GC EF, GC毛F,所以 四边形GEF C为平行四边