青岛版九年级数学下册5.4二次函数的图像与性质公开课优质教案

1、二次函数的图象和性质(3)教学设计一、教学内容解析1.本章的内容和地位在义务教育数学课程标准(2011年版)中，对二次函数的课程内容做出了以 下五点要求：(1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.(2)会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.(3)会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为尸a(尸力2+的形式，并能由此得 到二次函数的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际 问题.(4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.(5) *知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.从内容上看，学生在八年级时学习了一次函数、反比例函数两章内容，

2、二次 函数一章编排于九年级下册，此后，在普通高中课程标准实脸教科书数学必修1 的课程中，学生将继续学习和研究指数函数、对数函数、幕函数等基本初等函数的性质.从方法上看，在研究一次函数和反比例函数时，教材侧重于通过观察函数图象来直 观了解函数的性质.而进入高中后，教材则侧重于通过分析解析式来研究函数性质.因 此，在二次函数一章的教学中，我引导学生将研究方法从图象逐步向解析式转移， 让学生在体会教形结合思想的同时，初步经历代教说理的过程，也为下一学段的学习做 好过渡.2.本课的内容和地位在教学中，本章内容共安排了 13个课时，其中第26. 1节“二次函数及其图象”包 含了 7个课时.教学中为了突出

3、学生的主体地位，适应学生的认知需求，在本章起始课 上，我让学生从已有知识和经验出发，自己定义出一类可称为“二次函数”的新函数， 并探讨对这类函数的进一步研究设想.结合一次函数的研究经脸，依据从挣殊到一般的 原则，部分学生提出了如下的研究思路：为顺应学生的研究思路，我尝试对第26. 1节的内容做了调整，安排如下:课时原来的教学安排我调磐后的内容安排 (本课是第5课时)第1课时26.1.1二次函数26.1.1二次函数第2课时26.1.2二次函数.a?的图象26.1.2用待定系数法求二次函数 的解析式(1) 利用三点求二 次函数的解析式第3课时26.1.3二次函数 尸式kH)%k的图象 (1 ) 形

4、如 必*C(a手0)的二次函数26.1.3二次函数的图象和性质(1)形如 y=ax (a#=0)的二次函数第4课时26.1.3 二次函数 尸a(x-R2+k 的图象(2) 形如尸式尸垃2 (a=#0)的二次函数26.1.3二次函数的图象和性质(2)形如*ax+c(a手0)的一次函数第5课时26.1.3 二次函数尸aG-N+k 的图象(3 )形如*a(尸方)2+(aW0)的二次函数26.1.3二次函数的图象和性质(3)形如*ax+6x(aH0)和尸力+6/。(3丰0)的二次函数(数字系数)第6课时26.1.4二次函数产af+b/c的 图象26.1.3二次函数的图象和性质(4)一次函数支ax+6/

5、c(aWO)的一般规律第7课时*26. 1.5用待定系数法求二次函数的解析式26.1.4用待定系数法求二次画数 的解析式(2)利用顶点坐标 或对称轴求解析式原教学安排以抛物线的平移作为主线，知识间的逻辑关系清晰，先从特殊到一般地研究形如 尸a(xh)?+k(a*O)的二次函数,最后提出形如*/c(aWO)的二次函数， 学生自然就能想到将后者配方变形为已学过的形式，这样的设计便于突出重点、突破难 点.而我尝试对内容作调整则是立足于尊重学生的认知需求，保护学生学习的主动性. 此外，我校学生程度较好，具备一定的研究问题的能力，也乐于探究问题.因此，我结 合学生学情制定了本课的教学目标，并且对教学情境

6、、问题设计、代数说理等方面的内 容和难度进行了反复推敲，进行这节课的尝试.从学生的课后反馈来看，取得了较好的 教学效果.二、学生学情分析授课班级的学生程度较好，基础扎实，思维灵活，具备一定的探索数学问题的能力， 并乐于探究具有一定挑战性的问题.在知识基础方面，学生八年级时学习了一次函数和反比例函数，会用描点法绘制函 数图象，会用待定系数法求函数解析式，能够借助函数图象描述出函数的简单性质，能 够理解函数的解析式、图象和性质之间的内在联系.通过二次函数一章前几课时的学习，学生已经了解到二次函数的图象是抛物线， 会用不共线的三点坐标求出二次函数的解析式，掌握了形如尸a+c(a丰0)的二次函数的 图

7、象和性质，并能从解析式上对函数的最值、对称性、增减性等特征进行说明.在研究能力方面，学生在七年级时参加了我校开展的研究性学习课程，具备较强的 解决问题的能力.而在学习一次函数时，学生经历过自己提出问题、设计方案、解决问 题的过程.比如，在学了正比例函数尸x后，研究一次函数尸时，学生就提出想 要研究“6对函数图象的影响”这样的问题，为解决问题，部分学生针对性地设计出函数 组(如 尸2/1,尸2/2,尸2x1;或尸产1,尸2内1,尸一户1等)，还有一些学生从解析 式中猜想出了直线的上下平移关系，最终从不同解法中总结出“。的几何意义”.因此，学生们不仅能够适应本课教学内容的调整，还能够从中表现出更强

8、的自主性， 获得更高的能力提升空间.三、教学目标设置1 .教学目标(1)会将数字系数的二次函数的表达式化为 六a(x/7)a(aH0)的形式，并确定其开口 方向、对称轴和顶点坐标；(2)经历从特殊到一般的研究过程，体会数与形的内在联系；(3)能利用二次函数的图象特征推测函数的性质，并利用二次函数的解析式对其图象特 征进行解释和判断；(4)感受数学的直观性、抽象性、严谨性，在方法迁移的过程中获得成功的体脸.2 .教学重点、教学难点教学重点：形如*af+HQWO)的数字系数的二次函数的图象与性质.教学难点：从解析式的角度对二次函数图象的对称性进行说理论证.四、教学策略分析1 .教学面临的问题对本课

9、而言，学生要掌握用配方的方法将数字系数的二次函数化为(人)2+4(a左0)的形式，这需要考虑以下问题：(1)在学生提出的研究思路中，*af+OxQWO)和*大0)两种形式的二 次函数所使用的方法本质上是一样的，应当通过教学让学生意识到这种关系，使知识融 合为一体：(2)在研究以上两种形式的二次函数时，如果直接面对解析式，学生可能在绘制图 象时已经遇到障碍，根据描出的有限几个点确定不出顶点或对称轴的位置，让代数变形 的探究缺乏支撑：(3)由于本课所研究的问题有一定难度，容易让学生感觉枯燥，所以问题情境的设 计要尽量新颖、浅显，保护学生的积极性。2 .教学方法的选择本课主要采用了教师启发讲授和学生

10、探究相结合的方法，包括教师的启发讲授、提 问、演示，以及学生的练习、展示、讨论等过程.3 .教学情境的设计为了让课堂更丰富，同时加强知识之间的联系，我将所研究的几个二次函数用一个 桥拱的情境串联起来，从图形入手，由浅入深地实现问题的引入、探究、推广和提升.如图是一座桥的抛物线形桥拱.当水面在8c时，拱顶离水面的距离4少2m,水面宽832m.问题1：请建立适当的平面直角坐标系，指出抛物线的 / 2i顶点坐标和对称轴，并求出此时抛物线的解析式.(单“ 2k X 位：m)问题2:某同学算出桥拱的解析式是必二-2/+4尸2.你知道他是怎么建立坐标系的吗？问题3:在拱桥的问题中，(1)你发现y、必、必、

11、义的图象之间有什么联系？(2)如果以C为原点，直线外为x轴，你能直接写出桥拱所在抛物线的解析式吗？(3)在(2)的条件下，桥拱在水中的倒影,也是抛物线，你能直 接写出它的解析式吗？想一想，你的依据是什么.在问题1中，根据学生建系方式的不同，可以分别得到几类不同形式的二次函数， 这样就把几节课的知识巧妙地串联起来了.同时能够很快得出新形式的二次函数的对称 轴和顶点坐标，为后面的探究确定了目标.问题2在背景上看似问题1的延续，实则在思维上与问题1互逆，在方法上又是问 题1的推广，让研究的对象过渡为形如*af+b/cQWO)的二次函数，这两种二次函数 在形式上有差异，但知识间是有联系的，因而解决问题

12、的方法是一样的.问题3留给学有余力的学生在课下探究，希望他们通过观察和思考，找到抛物线位 置和开口方向的决定因素，理解同一条抛物线在不同坐标系下所对应的不同解析式之间 的联系，其实这种联系是双向的：通过y的平移可以得出必、%、乂的图象；从更高层面 理解，/、%、乂的性质本质上就是由弘的性质得到的.随着理解的深入，学生对这些知 识的理解经历着由感性到理性的过程.如果去掉桥拱的问题背景，学生实际要研究的是以下三个二次函数：y3 = -2x2 + 4x t y4 =-2xz +4x-2 t y = 2x2 - 3x-l这三个二次函数在形式和方法上由易到难.函数总是由图象得解析式，便于探究规律，形成方

13、法.函数乂容易配方，也较容易 绘制出图象，还可以由前一个函数%图象的平移得到这个函数的性质，可以让学生在方 法迁移的过程中体会知识之间的联系，并获得成功的体验.最后通过研究函数 尸2M-3尸1,巩固本课所学方法，并梳理研究二次函数的方法和过程.4 .教学中的问题设计本课教学中涉及到新方法的引入，研究过程中也会面临一些思维难题，因此，针对 教学中的某些环节，我通过设计启发性或阶梯性的问题来帮助学生突破难点.(1)引入配方方法的三步引导【环节2】探究求解对yi=-2x+4x,求证：当a=1时加=2.在环节2中证明函数最值时，需要引导学生对解析式进行配方变形.由于本章前几 课时的研究中均没有出现配方

14、，学生不容想到，所以需要给学生适当的引导.在这里， 我设计了三步引导来完成证明过程：第1步：联想尸a*+c(aB0)的情形当水0时顶点(0, c)是最高点，这是因为ax?W0,从而*c, 且当户0时函数有最大值c,所以(0,c)是图象的最高点.这是利用了 ，的非负性，来确定函数的最值和取得最值的条件，同时确定图象的 最高或最低点.第2步：确定解析式的变形目标若能够将解析式为=-2>+4x也变形成看就+”的形式，其中M是含X的式子、/V是常教，那么就可以通过"的非负性求出函数取得最大或最小值的条件.第3步：想到用配方的方法将解析式变形成需要的形式.其实，如果不做前两步分析，仍然会

15、有部分学生想到使用配方的方法.但二次函数 存在最值，其本质是因为实数的平方具有非负性，所以我认为应该通过教师的引导和分 析使学生看到这层本质，而不是机械地使用配方的方法解题.（2）为研究函数对称性而设计的阶梯性问题【环节2】探究求解二次函数%=-2f+4x的对称性.对二次函数对称性的描述是本课的教学难点.除了前两课时教学中的适当4甫垫外， 教学中我还设计了三个阶梯性问题，来帮助学生找到思路.第1问：你能从图象上找出一组对称点吗？第2问：为什么说它们关于直线*1对称？它们的横坐标、纵坐标分别有什么关系？第3问：推广到一般情形，可以怎么证明函数的对称性？（换句话说，这样的对称点可以怎么找出来？）通

16、过第1问和第2问，学生已经可以总结出：关于直线41对称的两点欣N,其坐标应该满足丫“=）%，所以在第3问时学生的思路就顺畅多了，在课堂上共 提出了三种思路.思路1:在抛物线上找两点K N,使九=以，证明此时“ + .'丝=1.思路2:在抛物线上取一点M（m,玲，则它关于直线 产1的对称点为 M2-/77, ri）,证明点/V也在抛物线上.思路3:对任意加0,在抛物线上取欣N,使xR-m, x”m,证明此时方=%在高中必修1教材中，主要采用上面的思路3来论证二次函数的对称性，但这里学 生能够提出其它思路，主要是从前面的引导提问及阶段性结论中受到了启发.5 .教具的设计和使用在教学设计过程

17、中，我开发了教学ppt和几何画板课件.对预设中的问题，在ppt课件中都有一定的准备.而对于课堂上可能出现的预设外 情况，则可以用交互性更强的几何画板课件进行演示.此外，在学生可能需要绘制函数图象的环节.我将几何画板课件设计为揄入横坐标 后自动计算出纵坐标，并描出对应的点.这样设计是为了在有限的时间内更高效地展示 出学生解决问题的不同思路，促进思维的碰撞.五、教学过程设计【环节1】温故求新为达到教学目标，我为本课设计了四个教学环节，教学流程如下：【环节2】探究求解【环节3】推广迁移通过桥拱的问题1,巩固己学过的两类特殊二次函 数的图象和性质，引出本课需要研究的问题.从图象入手，寻求解析式与图象特

18、征之间的联系， 找到研究二次函数尸*十灰的方法.【环节4】总结提升通过桥拱的问题2,将研究方法推广到形如）/届+历叶。 的二次函数，体会知识和方法之间的联系.对研窕函数的一般思路和方法进行总结，并布置作业.1 .温故求新在前两节课，我们研究了形如看和尸"+c（a丰0）的二次函数，其中y=ax 又可以看做*af+c当c=0时的特殊情形，而*a"+c则可以看做由尸占/向上或向下平 移得到.在研究中我们还了解到，二次函数的解析式和图象特征之间存在着对应关系：已知 解析式可以得出对应图察的挣点，反之，知道了图察的某些条件也可以求出对应的解析 式.请看下面的问题.如图是一座桥的抛物线

19、形桥拱.当水面在8c时，拱顶离水面的 距离4>=2m,水面宽802m.问题1:请建立适当的平面直角坐标系，指出抛物线的顶点坐标和对 称轴，并求出此时抛物线的解析式.（单位：m）分析与解：可以选取图中任意点作为坐标原点建系，求出的解析式各不相同.(选取有代表性的学生解答，投影展示，教师在黑板上画图以便 比较.)解1:如图，以为原点，以直线4?为v轴建立坐标系.则抛物线 是4(0,0),对称轴是y轴，且经过8(7,-2)、是1,-2),设抛物线为 解得广-2,所以必二-2/解2：如图，以。为原点，以直线彳。为v轴建立坐标系.则抛物线 是74(0, 2),对称轴是y轴，且经过8(-1,0)、C

20、(1,0),设抛物线为(“+c,解得斤-2/2.解3:如图，以8为原点，以直线8c为x轴建立坐标系.则顶点是 4(1,2),对称轴是直线 41,且经过8(0,0), C(2,0).设抛物线为 yaxbxc,解得%=-2*2+4*.在前两种解法中，分别用到了形如 *a"和 尸aV+c两类特殊二 数的图象来求解析式.反过来，对这两种特殊形式的二次函数，若知道了它们的解析式 也可找到顶点坐标和对称轴，并画出图象.而在第三种解法中，由图象知道了此时抛物线的顶点坐标为(1,2),对称轴是直线41, 并求出了解析式.可如果仅知道抛物线的解析式乂=-2f+4x,能否确定出它的顶点坐标和 对称轴呢？

21、【设计说明】通过桥拱的问题1,复习已经学过的两类二次函数，并提出新形式的二次函数 尸M+bx(a=#0).在这个情境中，没有先给出函数解析式再绘图、研究，而是将同一条抛物线放在不 同的坐标系下求解析式，这样学生便于得到新函数的图象特征，为下一环节的论证说理 找到目标.2 .探究求解要研究这一问题，我们不妨先将这些图象特征转化为对应的代数特征，再寻求它们 与解析式之间的联系.(1)整理出抛物线H二-2/+4*的开口方向、顶点坐标、对称轴、趋势等图象特征.(2)根据图象的特征，描述出二次函数%=-2f+4x的对应性质.国象特征函数性质（3）从解析式的角度对函数的性质进行论证.首先论证：当时外尸2.

22、联想片af+c（dHO）的情形：当水0时顶点（0,c）是最高点，这是因为a/WO,从而 *aF+cWc,且当40时函数有最大值c,所以（0,c）是图象的最高点.这是利用了 F的 非负性，来确定函数的最值和取得最值的条件，同时确定图象的最高或最低点.类似的，若能够将解析式n二-2/44也变形成尸苏+/V的形式，其中都是含x的式子、 力是常数，那么就可以通过的非负性求出函数取得最大或最小值的条件，确定图象的 最高或最低点.这个过程与解一元二次方程时使用的配方法比较类似，不妨也试着对函数解析式的 二次项、一次项进行 配方：必二-24+4x-2（，-2x）=-2（4-2/1）+2=-2（1）242,由

23、于 （I）。，所以必=-2（1）?+2W2,且当片1时，函数有最大值2.其次来看这个函数的增减性.（说理）由配方得到%=-2（1）2+2,所以（尸1尸越大，%的值越小.因此，当时，x越 小函数值越小，即y随*的增大而增大；当*>1时，x越大函数值越小，即y随*6勺增大 而减小.最后来分析二次函数必=-2+4x的对称性.学生描述对称性时可能会遇到困难，需要有教师的几步引导并配合课件演示：（A）找几组具体的对称点；（先从图象上具体的点入手，你能从图象上找出一组对称 点吗？）（B）总结这些点的坐标特点.（为什么说它们关于直线后1对称？它们的横坐标、纵 坐标分别有什么关系？）（C）推广到一般情形

24、，可以怎么描述？（这样的对称点可以怎么找出来？） 当自变量分别取均、刈时，设对应的函数值分别为人、%K预案从横坐标入手：可以从（1,0）点向左右等距离地取两个点，把它们的横坐标作 为自变量，来判断图象上对应点的纵坐标是否相等.对于任意实数加>0：取 行 1 一加，则 y<F_2 （1 -6）?+4 （1 而=-2/77+2;取 xFl+m,则产产一2 （1+而?+4（1+而二一2"+2.（若将横坐标代入配方后的解析式，计算更简便.）所以匕=%，即点（1-m匕）、（1+川,%）关于直线 对称，所以二次函数y3=-2x4x 图象的对称轴是直线片1.R预案21从纵坐标入手：由于

25、函数的最大值是2,可以在直线*2下方画一条平行于x 轴的克线，这条直线与抛物线有两个交点，求出交点的横坐标，判断它们到直线广1的 距离是否相等.比如：当 *1.5时，求出刀尸0.5, x2=1.5,它们到直线产1的距离都是 6 5,是关于直线对称的.令尸,，则：-2f+4产，用配方法解：-2（k二个2,（尸1尸二”2所以，当aW2时，巧二二1土后?，关于直线产1对称.K预案31从图象上任意点入手，证明其对称点也在抛物线上.设依力,。）是抛物线上任意一点，则方-2裾+4加，作点”关于直线41的对称点M则 NQ-m、n）.当42-勿时，*-2（2-向之+4（2-而二-2福+4m”，所以"

26、也在抛物线上，因此图象的对 称轴是直线41小结：从上面的研究中会发现，在二次函数的主要性质中，对称轴、顶点坐标、最值三 者是相互关联的，只要确定了其中之一，就能够很快地说出函数的其它性质.而对称轴 和顶点是从函数的图象上得到的，最值则可以通过对解析式配方变形求出来.所以，在 研究形如看af+bx的二次函数时，无论是先知道了图象，还是先知道解析式，都可以推 导出函数的性质.【设计说明】这个环节从二次函数%=-2，+4x的图象特征入手，通过函数性质由“形”到“数” 的转化，来寻求解析式与图象特征之间的联系，并从中找到通过解析式来求解二次函数 的对称轴、顶点坐标的一般方法.3 .推广迁移问题2：某同

27、学算出桥拱的解析式是必=-2/+42.你知道他是怎么建立坐标系的吗？分析：要知道这名同学建立坐标系的方法，就是要知道他把原点定在什么位置，反过来 看，也就是需要找出抛物线乂的顶点坐标.K预案11在坐标系中描点、绘制抛物线八二-2/+4尸2.X -2-1012 y -18-8-20-2 从图象中观察出，对称轴是直线产1,所以顶点力的坐标为(1,0).R预案21对解析式进行配方：乂=-2*+4尸2二-2(父-2/1)=-2(k1)L可得：当*1时函数有最大值0,所以乂的顶点坐标为(1,0), y可 以得知坐标系的建立方法如图,可以看出，对于形如*a必的二次函数，用配方的方法同 y c 样可 以帮助

28、我们求出函数的最值，从而确定顶点坐标和对称轴.K预案3从解析式上分析，抛物线乂二-2/4k2可以看做由抛物线yF-2x+4x向下平 移2个单位得到，所以其顶点4的坐标为(1,0).(预案45设B(a, b),则彳(>1,62), C52, 6),代入抛物线的解析式，解得於-2,岳-2, 所以8(-2,-2),由此可确定原点的位置.小结：从大家的解法中不难发现，对形如*的二次函数，同样可以通过绘制图 象或者对解析式配方来确定它的顶点坐标.事实上，还有同学发现，这一类二次函数可 以由二次函数y=ax+bx向上或向下平移得到，只要研究清是二次函数y=ax+bx的性质， 就容易研究出二次函数*a

29、W+6/c的性质，所以我们在问题1中使用的配方的方法在这 里仍然可以适用.【小试身手】试研究二次函数*2>-3厂1的性质.解：(1)绘制图象：列表、描点，画出函数的图象X -2-10123 y 134-1-218 描点后发现这些点能够反映出图象的大致走势，且开口向上，但还不足以准确确定 对称轴和顶点坐标.417当了 = 3时，y =414 V612103 17,所以顶点坐标是141210。81甲12108T b 5X-2 42o-25X(2)最值:y = 2x2-3x-l=2x: - 2 - x2 - 2 x2 -1444 . 3、2 17=2(x )48317317由于对任意实数x,

30、2(x-j)2 >0,因此)，2-( 只有当X =:时y11dli=卡.所以3 17图象的顶点坐标为勺,-孑)，是图象的最低点.(2)对称性:3 图象的对称轴是直线4对任意勿>0,当自变量”分别取和±+?时，对应的函数值相等. 44事实上，通过配方确定了抛物线的对称轴后，若利用对称性进行描点会更加的方便.(3)增减性：3在对称轴左侧图象从左到右上升，即当时y随x的增大而减小;4在对称轴右侧图象从左到右下降，即当时，y随x的增大而增大.4归纳：二次函数*2>-3尸1的图象与性质函数性质y = 2x2 -3x-lc, 3、， 17=2(x向上开口最值方向3 17(一亘)顶点坐标48对任意苏0,当自