初二数学最短路径问题知识归纳+练习

1、初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题.确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、

2、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】【问题1作法图形原理A*lB在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.连AB,与l交点即为P.AVlB两点之间线段最短.FA+PB最小值为AB.【问题 2 2】“将军饮马”作法图形原理A.Bl在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.作B关于l的对称点B，连AB与l交点即为P.A A5P P BB两点之间线段最短.PA+PB最小值为AB【问题 3 3】作法图形原理liAll2在直线 l li、l l2上分别求点M、N,使PMN的周长最小.分别作点P关十两直线的对称点P，和P，

3、连P，P,与两直线交点即为M,N.P两点之间线段最短.PM+MN+PN的最小值为线段，的长.l2N:P【问题 4 4】作法图形原理li/,Q*P乙l2在直线 l li、l l2上分别求点M、N,使四边形PQMN的周k取小.分别作点Q、P关于直线 l l1、l l2的对称点Q/和P，连QP,与两直线交点即为M,N.Ql1Q,/42N!.P两点之间线段最短.四边形PQMN周长的最小值为线段P的长.【问题 5 5】“造桥选址”作法图形原理A*M:B直线m/n,在m、n,上分别求点M、N,使MN，m,且AM+MN+BN的值最小.将点A向下平移MN的长度单位得A连AB,交n于点N,过N作NM，m于M.【

4、问题 6 6】作法ABMaN-1在直线 l l 上求两点M、N（M在左） ，使 MNa,MNa,并使AM+MN+NB的值最小.将点A向右平移a个长度单位得A，作A，关于 1 1 的对称点A ，连AB,交直线 1 1 于点N,将N点向左平移a个单位得M.【问题 7 7】作法ll12在 1 11上求点 A,A,在 1 12上求点B,使PA+AB值最小.作点P关于11的对称点P/,作PB12于B,交12于A.【问题 88作法JX11AA12MBA为 1 11上一定点，B为 1 12上/E点，在12上求点M,在11上求点N,使AM+MN+NB的值最小.作点A关于 1 12的对称点A工作点B关于 1 1

5、1的对称点B连AB交12于M,交11于N.【问题 99作法A.,B1在直线1上求一点P,使pAPB|的值最小.连AB,作AB的中垂线与直线1的交点即为P.AA,-m士两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为AB+MN.图形原理AA聿faii2WI1M:，N：/vA两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为AB+MN.图形原理1 11B12点到直线，垂线段最短.PA+AB的最小值为线段，B的长.图形原理BfjMB12A两点之间线段最短.AM+MN+NB的最小值为线段AB，的长.图形原理B1yP垂直平分上的点到线段两端点的距离相等.PAPB=0.【问题 1010作法图形原理A.Bl在直线l上

6、求一点P,使pAPB|的值最大.作直线AB,与直线1的交点即为P.AP三角形任意两边之差小于第三边.PAPB|AB.PAPB的最大值=AB.【问题 1111作法图形原理A.1*B在直线1上求一点P,使PAPB的值最大.作B关于1的对称点B，作直线AB与1交点即为P.AIPB三角形任意两边之差小于第三边.PAPBABZ.PAPB最大值=AB【问题 1212“费马点”作法图形原理ABQABC中每一内角都小于120,在ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小.所求点为“费马点”，即满足/APB=/BPC=/APC=120,以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE,连CD、BE相交于P,点P即为所求

7、.D出-”AwBC两点之间线段最短.PA+PB+PC最小值=CD.【精品练习】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12,ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为()A.2氏B,2而C.3D.几2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，/ABC=60,若将交于点E、F,则ACEF的周长的最小值为()A.2B,23C.23D.4ACD绕点A旋转，当AC、AD分别与BC、CD3 .四边形ABCD中，/B=ZD=90,/C=70,在BC、CD上分别找一点M、N,使AMN的周长最小时,5 .如图，RtAABC中，/C=90,/B=30,AB=6

8、,点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），6 .如图，/AOB=30,点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是.（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即RtAABC中，/C=90,则有 ACAC2BCBC2ABAB2)7 .如图，三角形AABC中，/OAB=/AOB=15,点B在x轴的正半轴，坐标为B（6V3,0）./AMN+/ANM的度数为(A.120B.130)C.110D.1404.如图，在锐角ABC中，AB=44万，/BAC=45,/BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和A

9、B上的动点，则BM+MN的最小值是且ED=AE,则线段AE的取值范围是OC平分/AOB,点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA+MN的最小值是10.点C为/AOB内一点.(1)在OA求作点D,OB上求作点E,使CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若/AOB=30,OC=10,求CDE周长的最小值和此时/DCE的度数.8.已知此时A(2,C、D4)、B(4,2).C在 y y 轴上，D在x轴上，则四边形两点的坐标分别为ABCD的周长最小值为9.已知A(1,1)、B(4,2).(1) P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;y*O(2) P为x轴上一动点，求PAPB的值最大时P点的坐标;yiBA*OQ(3) CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD=1,求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标;A A11 .(1)如图，ABD和ACE均为等边三角形，BE、CE交于F,连AF,求证：AF+BF+CF=CD;(2)