函数的单调性与最值专题练习

1、函数的单调性与最值专题练习一、选择题1 .若函数f(x)=|2x+ a|的单调递增区间是3, +8),则a的值为()A. 2B.2C.-6D.6aa斛析 由图象易知函数f(x)= |2x+a|的单调增区可是2，+00),令5=3,. .a= - 6.答案 C2.(2019北京卷)下列函数中，在区间(一1, 1)上为减函数的是()A. y=7-B.y=cos x1 1-xC.y= ln(x+1)D.y=2 x1 ,解析 ' y= 与y=如仪+1)在(一1, 1)上为增函数，且y= cos x在(-1, 1) 1-x上不具备单调性.A, B, C不满足题意.只有y= 2-x=；X在(1,

2、1)上是减函数.答案 D3.定义新运算“”：当a>b时，ab = a2;当a<b时，ab=b2,则函数f(x)=(1x)x(2x),在区间 2, 2上的最大值等于()A. -1B.1C.6D.12解析 由已知得当一2<x<1时，f(x) = x 2,当 1<x02 时，f(x) = x32.f(x) = x 2, f(x) = x3 2在定义域内都为增函数.f(x)的最大值为 f(2) = 232=6.答案 C4.已知函数v= f(x)的图象关于x=1对称，且在(1, +°°)上单调递增，设a=1 f 2 , b=f(2), c=f(3),则

3、a, b, c 的大小关系为()A. c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c15斛析，.,函数图象关于x=i对称，.a=f 2 =f 2 ,又y=f(x)在(1, + °°)5上单调递增，f(2)<f 2 <f(3),即 b<a<c.答案 B5 .f(x)是定义在(0, +8)上的单调增函数，满足 f(xy) = f(x)+f(y), f(3)= 1,当f(x) + f(x8)02时，x的取值范围是()A.(8, +oo)B.(8, 9C.8, 9D.(0, 8)解析 2=1 + 1=f(

4、3) + f(3)=f,由 f(x)+f(x 8)<2,可得 fx(x 8)&f(9),x>0,因为f(x)是定义在(0, +8)上的增函数，所以有x-8>0,解得8<x0 9.x (x 8) < 9,答案 B.、填空题1, x>0,6 .(2019 关B州,K拟)设函数 f(x)= 0, x= 0,g(x) = x2f(x1),则函数 g(x)的递1, x<0,减区间是解析由题意知g(x) =x2 (x<1),函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的减区间是0, 1).答案0, 1)7.(2019石家庄调研)函数f(x) =-

5、log2(x+ 2)在区间1, 1上的最大值为解析 由于y= 3在R上递减，y= iog2(x+ 2)在 1, 1上递增，所以f(x)在1, 1上单调递减，故f(x)在1, 1上的最大值为f(1) = 3.答案 3-x2 + 4x, x< 4,8 .(2020潍坊模拟)设函数f(x)=若函数y= f(x)在区间(a, a+log2x, x>4.1)上单调递增，则实数a的取值范围是.解析 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知 f(x)在(a, a+1)上单调递增，需满足a>4或a+102,即a01或a>4.答案 (一8, 1U4, +oo)三、解答题9 .已知函数

6、f(x) = 11(a>0, x>0). a x'，'(1)求证：f(x)在(0, +00)上是增函数；,11,，(2)若f(x)在2，2上的值域是2，2 ,求a的值.(1)证明设 x2>x1>0,则 x2 x1>0, x1x2>0,111111x2 x1代人尸 ax2 a-x；=7x2=R>0，f(x2)>f(x1),f(x)在(0, + 00 )上是增函数.11 一，1(2)解二叶a)在2，2上的值域是2, 2 ,又由(1)得f(x)在2上是单调增函数，一 11 一 一 2 f 2 =2，f(2) = 2，勿知 a = 5，1

7、0 .已知函数f(x)=2xa的定义域为(0, 1(a为实数). x当a= 1时，求函数y=f(x)的值域；(2)求函数y=f(x)在区间(0, 1上的最大值及最小值，并求出当函数 f(x)取得最 值时x的值.1 ，一解 (1)当 a=1 时，f(x) = 2x,任取 1>xi>x2>0, x则 f(xl)-f(x2) = 2(xi-x2)- 11 =(x1x2) 2+-1-. x 1 x2x1 x21x1>x2>0, .x1x2>0, x1x2>0.；f(x1)>f(x2),，f(x)在(0, 1上单调递增，无最小值，当 x=1时取得最大值1,

8、所以f(x)的值域为( 8, 1.(2)当a>0时，y=f(x)在(0, 1上单调递增，无最小值，当x=1时取得最大值2-a；.一 a当 a<0 时，f(x)=2x+,x当_0> 1,即aC( oo, 2时，y= f(x)在(0, 1上单调递减，无最大值，当x=1时取得最小值2-a；当7-a< 1 ,即aC ( 2 , 0)时，y= f(x)在0,上单调递减，在, 1上单调递增，无最大值，当x=42时取得最小值2"a.11 .(2020郑州质检)若函数f(x) = ax(a>0, aw 1)在1, 2上的最大值为 4,最小值为m,且函数g(x) = (1

9、 4m)/x在0, +00)上是增函数，则a=()-11A.4B.2C.2D.41斛析 当a>1,则y=a为增函数，有a2=4, a-1 = m,此时a = 2, m=2,此时g(x) = 心在0, + 0°)上为减函数，不合题意当0<a<1,则y= ax为减函数,11有 a =4, a =m,止匕时 a = 4，m=R.此时g(x)=3G在0, + 8)上是增函数.故a = 4.答案 D12.(2019枣阳第一中学模拟)已知函数f(x) = ex1, g(x)= x2 + 4x 3,若存在f(a) = g(b),则实数b的取值范围为()A.0 , 3B.(1 ,

10、3)C.2-2, 2 + 的D.(2-夜，2 +钩解析由题可知 f(x) = ex 1>-1, g(x)= x2 + 4x 3=-(x-2)2+1<1,若 f(a) = g(b),则 g(b)(-1, 1,即一b?+4b 3> 1,即 b24b+ 2<0,解得 2 42<b<2 + 42.所以实数b的取值范围为(2 啦，2 + 72).答案 Da, a< b,13.对于任意实数a, b,定义mina, b=设函数f(x)= -x+ 3, g(x)b, a>b.= log2x,则函数 h(x) = minf(x), g(x)的最大值是.log2x,

11、 0<x< 2,解析依题意，h(x) =x+ 3, x>2.当0<x02时，h(x) = log2x是增函数，当x>2时，h(x) = 3 x是减函数，.力仅)在乂= 2时，取得最大值h(2)=1.答案114.已知函数f(x)=lg(x+a2),其中a是大于0的常数. x(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a (1, 4)时，求函数f(x)在2, +oo)上的最小值；若对任意x 2, +oo)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.解(1)由 x+m_2>0,得X ?+ao, XX当a>1时，x2 2x+a>0恒成立，定义域为(0, +0°),当a= 1时，定义域为x|x>0且xw 1,当 0<a<1 时，定义域为x0< x< 1 5 a或 x> 1 + a,o(2)设 g(x) = x+7一2,当 aC(1, 4), x2, +oo)时，2_ g，(x)=1-4= X x2 a>0.因此g(x)在2, +s)上是增函数,：f(x)在2, +oo)上是增函数.11a则 f(X)min = f(2) = In对任意x 2,+8),恒有f(x)&g