期权定价理论的产生与发展

1、18102 )2000 111© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, #© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 期权定价理论的产生与发展期权理论研究的重点在于两个方向:一个方向是如何构造出新的期权以 满足不断变化的市场投资需要:另一个方向是如何确定口趋复杂的期权 的俭值e在期权定价研究方面.80年代以前的研究一般都假定

2、期权所依 赖的基础资产的价格为一连续随机过程,市场也是“完善”的在这些比较 理想化假设条件下经济学家们获得了许多重要的期权定价模型特别是 布莱克一斯科尔斯模型。近十多年来得益于计算机技术的快速发展期 权定价理论研究在以下两个方面得到很大发展取得了大量研究成果:一 是研究在不完善市场条件下如何确定期权价值问题:二是研究期权所依赖的基础资产价格不是一连续随机过程,而是服从眺吱C散过程的定价间 期权定价模型研究演进发展期权思想萌芽至少可追溯到公元前1800年的汉穆拉比法典.而期权交易在公元前1200年的古希腊和 古腓尼基国的贸易中也已经出现但期权的快速发展到本世纪50年代以后才开始，真正标准化的场内

3、期权交 易还只有不到30年历史。由于期权具有良好的规避风险、风险投资和价值发现等功能且表现出灵活性和多样性特点，故近20年 来特别是九十年代以来,期权成为最有活力的衍生金融产品得到了迅速发展和广泛的应用。期权市场的快 速发展得益于期权理论的不断深化a期权理论研究的重点在于两个方向：一个方向是如何构造出新的期权. 以满足不断变化的市场投资需要:另一个方向是如何确定这些日趋复杂期权的价值C在期权定价研究方面.80年代以前的研究一般都假定期权所依赖的基础资产的价格为一连续随机过程. 市场也是“完善”的，在这些比较理想化假设条件下，指导出各种期权的定价模型。近十多年来.得益于计算机 技术的快速发展期权

4、定价理论研究在以下两个方面得到深化取得了大量研究成果:一是研究在不完善市场 条件下如何确定期权价格问题:二是认为期权所依赖的基础资产的价格是一连续随机过程假设条件过于理 想化,将这个假设条件改进为基础资产的价格服从“跳扩散过程”，研究期权的定价问题。1 B lackScho les期权定价理论并非始于Black-Scholes模型。在此之前许多经济学家就曾经研究过这一问题。虽然某些 尝试被现代标准所取代但没有早期的工作决不可能有后来的发展。最早的期权定价模型的提出者可能要数路易巴舍利耶(LouisBaChelier. 1900年)。1900年.为測定股票 价格波动他涉猎了布朗(Bmwn)运动数

5、学理论的某些方面。假设一个没有漂移和每单位时间具有方差&的 股栗价格过程是绝对的布朗运动他确定到期日看涨期权的预期价值是：收稿日期:2000- 08-18。罗开位:深圳招商银行总行研究部.518001;侯振挺、李致中:均系长沙铁道学院科研所教 授。410075c = s x (k2t 3(1)(55 T(SV T§4 T这里g)和氓)是标准积分正态函数和正态密度函数。为与股票的零预期价格变化假设一致他没有为 得到现值而贴现预期值。这一模型在50多年后被克鲁辛格(Kruizenga. 1956年)再次发现c以现在的标准来看这一模型也许还是领先的。它只在两个方面稍有缺陷:一是绝对

6、布朗运动的应用允许 股票价格为负这是一个与有限债务假设相悖的条件:另一个是平均预期价格变化为零的假设它忽视了资金 的时间价值为正期权和股崇间的不同风险特征以及风险厌恶特征以及风险厌恶程度。虽然有此不足实际 上该公式对预测短期看涨期权的价格非常适用。但在长期期权价格的判断中.因要求期权价格与期限的平方 根成比例增加而失效c在其后的半个多世纪里.期权定价理论上的多数发展集中于特定的经济计量模型c其中典型的例子是卡 苏夫(Kassouf, 1969年)的模型.他用下式估计看涨期权价格：C = X (|(5A)y4- 1 ,/y1),1 WYv OO(2)这一公式限定了看涨期权的价格最高至股票价格最低

7、至实值m ax (SX , 0)。当系数A取8时,该式还 给出了精确的看涨期权的到期价值卡苏夫通过到期时间、股票收益和其他变量估计参数X从而确定这一模期权定价方面的主要发展始于60年代。斯普里克尔(Sprekle, 1961年)假设了一个对数分布.该分布中的 股票价格具有固定平均值和方差.且该分布允许股票价格有正向漂移。他的看涨期权价值公式为：In (sA) + (仪+十內彳(17T)X o ln(sA) + (0(- 4)7-(T "T-(3)3© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.

8、All rights reserved, 参数R是市场“价格杠杆”(price for leverage)的调节量。斯普里克尔没有贴现这一预期值来确定期权价值(注意当TT取0时.(3)式给出了期权的最终预期值)。博内斯(Boncss, 1964年)的模型非常相似。他也对股票收益假定了一个固定的对数分布并且认识到风 险保险的重要性。为简明他假定毀资者不在乎风险”。他利用这一假设证明了用股票的预期收益率(X来贴现 最终期权的预期值。他的最终模型是：f 4必)+伽十叫宀(S,)+ g十叫(4)L(T TL(J T这一等式在形式上与后面的布莱克一斯科尔斯公式完全相同。唯一的区别是(X的用法此处是股票的

9、预 期收益率而不是无风险收益率c假如博内斯将投资者不在乎风险的假设代以逻辑结论0(= X他将推导出布莱 克一斯科尔斯方程当然他的推导仍需建立在风险中性的假设基础上。萨缪尔森(Samuelson, 1965年)认识到，由于不同的风险特性.期权和股票的预期收益率一般来说是不同的C虽然他认识到更高深的理论将推导出预期收益率的值,但他还是断定有一个更高的(不变的)期权预期收益率&他还认识到这一假说意味着到期日之前执行看涨期权是最适合的除永久性看涨期权外，它不能解决 最优执行政策问题。他的欧式看涨期权的模型是：In (5 A ) + (0(+ *小彳 厂_1n(s/x) + (CX-(T T前面

10、的博内斯方程是这一方程在0(二B的特例。萨缪尔森和默顿(Merton.R. C. 1969年)用一种资产组合选择的简单均衡模型检验了期权定价理论，这种模型允许内半地确定股票和期权的预期收益率。他们证明了期权问颗可以用函数形式中的“公共概率” J0来表述这种函数形式与用真实概率所表述的问题一样。以这种方式表示时调整过的股票预期收益率和期权 预期收益率是一样的。这一方法使用了现在被认为是理所当然的估价期权的风险中性或偏好自由的发展成 果c布莱克一斯科尔斯期权定价模型建立在市场上不存在套利机会的原则基础上。考克斯、罗斯和鲁宾斯坦 (Cox.J. C , Ross. SA. .Rubinstem.M.

11、 . 1979)的下列简单模型能用来表述隐含在布莱克一斯科尔斯模型 中的原则。假设在一个时间段内.股票价格只能以两种形式中的一种形式变化c从现有水平S.股票价格能上升到 hS或下降到AS。用C(S.n)表示股崇价格为S并且期权到期之前有” “步”价格变化的股票看涨期权价值。考虑一份短期看涨期权和N份长期股票的资产组合。这种资产组合的现值为NSC(S.n)0经过一个时 间段这种资产组合的价值为C (hS1)或C ZS、n1 )。假设N被选定.则最后的两个量 是相等的，即：U ( hS 打1) - U (RS 打-1 )v =(h- k)S那么一个时间段后资产组合的价值是:kC(hS .n 1)

12、hC (kJ n 1)(/i- k)为避免套利机会资产组合的现值应等于以(I + R)贴现的值。尺是股票价格只作一次变动的时间段内的 无风险利率(而非年利)。即：C(S,n) = < r 1kC (hS, n 1) + ll 1 RC kS, n 1)(8)这一等式表明了第"“步”看涨期权价值与1“步”看涨期权价值的关系，在到期时执行价格为X的看 涨期权价值是(C (5.0) = max (5 - X.0)。因为函数形式已知.故(8)式能用来推导不同股票价格在一期的看 涨期权价值。给定这些值.(8)式又能推导出二期看涨期权价值。任何一期的看涨期权价值均可用(8)式递推 计算出来

13、。第“ “步”看涨期权的导出公式为：C(Sui) =(川 门,'(1 彳)"'(5 孙X)(9)其中.g三(1+7?k)/(h&)且/是满足Sh'k"' * > X的屐小整数。布莱克和斯科尔斯在模型推导过程中，没有假定股臬价格遵循二项步进(binomial seep)过程.他们用的 是儿何或对数布朗运动过程山。儿何布朗运动可被构造这类二顶过程的极限，即当单位时间内步数趋于无穷. 同时步幅力1和1趋于0时的极限。将这些极限代入(8)式便得出了布莱克一斯科尔斯的偏微分方程：(10)S2Css + 冶C 贮 + C=0其中y是无风险资

14、产的连续复合(年)利率是单位时间股票价格对数变化的方差 < 的下标表示偏微分c把这些极限代入(9)式便得出布莱克一斯科尔斯看涨期权定价公式:O In(5A) + (y+ */)彳.eX 9 (ln(S,)+ (X- */)彳厂 JL厂J其中«)是标准积分正态分布函数且T= T是距到期的时间差(布莱克和斯科尔斯直接以连续时间扩(11)散来推导这一微分方程和它的解而不是采用极限)。布莱克斯科尔斯公式与萨缪尔森公式在晴y及博内斯公式在y完全相同。实际上模型最显 菩的特点是不依赖于股票或期权预期收益率和任何市场风险厌恶测度的结论性公式°只有5个变量决定期权 价格:S.TY.X

15、和f。除了方差每个变量都是已知的而且方差可用高确定度来测定。布莱克一斯科尔斯模型中因缺少预期收益率或风险厌恶的测度一度受到怀疑。这一难题被考克斯和罗 斯(1976年)及獸顿(1976年)所解释他们引入风险中性或鞅表示。后来.由哈里森和克雷普斯(Harrison.Kreps. 1979年)以及其他人更正式地发展了这一思想。3布莱克一斯科尔斯模型的推导建立在6个假设基础上：(1)期权的基础资产为一有风险的资产可以被 自由地买进和卖出没有交易成本和税收：(2)无风险收益率是常量：(3)在期权到期日前.基础资产无任何 收益(如股息、利息等)支出：(4)基础资产价格的变动符合几何布朗运动：(5)交易市场

16、是连续开放的：(6)期 权是欧式期权。这6个假设条件使布莱克一斯科尔斯模型建立在与真实市场相差较大的'理想市场”基础上. 近20多年来经济学家们试图在'械松”这些假设条件情况下.寻求更贴近实际市场的期权定价模型,取得了 许多优秀成果极大地丰富和发展了期权定价理论。70- 80年代的重要研究成果有:索普(Thorpe, 1973年)检验了卖空限制条件:默顿(1973年)推广了考虑 股利和随机利率的模型:考克斯、罗斯(1976年)和默顿(1973年)采用了交错随机过程(alternative stockastic process);布莱克和斯科尔斯(1973年)研究了欧式看跌期权:

17、考克斯和罗斯(1976年)以及默顿(1976年)考虑 了股票价格公式展开中不具有连续样本略径时的期权问题;英格索尔(Ingersoll. 1976年)和斯科尔斯(1976 年)考虑到资本收益和股利的不同税率效果:鲁宾斯坦(1976年)和布伦南(Brennan, 1979年)引入了有代表性 的投资者效用函数.得到了关于离散时间交易的布莱克一斯科尔斯方程解。布莱克(1976年)研究了商品期 权:考克斯、英格索尔及罗斯(1985)年)考察了利率期权;利兰(Leland, 1985年)考虑了交易成本叫90年代以来特别是近几年很多经济学家对不完善市场、基础资产的价格存在异常变动跳跃或者基础资 产报酬率的

18、方差不为常数等情况下的期权定价问题进行了广泛研究,取得了许多重要研究成果。不完善市场主要是指对贷款及卖空股票进行限制或者存在交易成本或者市场本身不完备等。不完善 市场假设显然要比完善市场假设更接近真实的金融市场.但这时的期权定价问题就复杂多了。在不完善市场 情况下通常难以得到布莱克一斯科尔斯模型那种期权的公平价格.已有的定价方法也将失去其作用°关于 不完善市场的期权定价问题.目前经济学家采用的主要方法有方差最优套期保值(variance-op (in al hedging)、均值方差套期保值(mean-variance hedging)、超套期保值(supc厂hedging)、有限风

19、险套期保值 ited-risk hedging)等方法。在这方面作出过重要贡献的经济学家主要有Barron & Jensen (1990), Folin er & Schweizer(1989. 1991, 1993), Schweizer(1990, 1991, 1992).Hofriiann 等(1992).Davis 等(1993), Karatzas & Kou (1994), El Karoui & Q uenez( 1995)O较早对基础资产价格变动存在跳跃情况的期权定价问题进行研究的要数Merton (1976).Jarrow & Rose

20、nfeld(1984)和Ball & Torous(1985)等人.近几年.Ahn(1992).Am in (1993).Bates(1991, 1996).Das & Foresi(1996),陈超和邹捷中(1999)等进一步推进了这方面的研究工作。对基础资产报酬率的方差不是常数情况下的期权定价问题进行研究的主要学者有:Hull &White (1987),Melino & Turnbull (1990). Am in & Ng(1993). Heston (1993).Nandi(1998), Kallianpur & Xiong (1999

21、)e美式期权的定价问题要复杂得多美式看跌期权问题的解析解的求解问题还没有取得实际性突破c布伦 南和施瓦兹(Schwartz. 1977年)、帕金森(Parkinson. 1977年)以及其他一些人已经描述了这些问题和其他一 些没有解析解合同的数值解法°期权定价方法具有广泛的应用价值，已被应用于包括股黒公司债郑、期货、可变利率抵押保险、投资在 内的金融证券和合同的广阔领域叫期权定价理论已成为我们理解金融合同的重要因素和普及应用的使用工 具c1 Bhck.F. f and Scholes,M. J. 1973, The pricing ofoptbn and coiporate liab

22、ilities Journal of Political Economy 81 (3),M ay, 637- 542 Cox. J. C . Ross. S A. and Rubinstcin.M 1979. Potbn pricing： a simplified approach Journal of Financial Econom ics 7(3). September 229- 633 Harrison. J. M，and Kreps.D 1979.N4 aitingales and arbitrage in multiperiod securities markets Journal

23、 of econoni ic Theory 20(3).June, 381- 4084 Leland. H. E 1985. Optbn pricing and rcplicatbn w ith transatbns costs Journal of Finance 40(5) December. 1283 13015 V ila. J. L and ZariphopouloT. .Optmal oonsumptbn and portfolio choice w ith borrow ing contraints. Journal of Financial Econom ics 77( 199

24、7), 402 431Option prichg theory: the evolution and developmentL uo Kakvei Hou Zhen ting L i ZhizhongAbstract The research on optbn pricing theory is fbeused on the folfow ing two aspects: one is how to design new op tbns to satisfy the changing investin ent demand; the other is how to price the more and more comp Heated optbns There are two assuinp tbns on op tbn p riciiig re search before 1980s：