机器人学第三章习题

1、z3亠写岀齐次变换矩阵八它表示相对固定坐标系A作以卜变换。1）绕乙轴旋转90 ；2）再绕Xa轴转90 ；T3）最后做移动（379 ；32写岀齐次变换矩阵:T、它表示相对坐标系B做以下变换。DT1）移动3 79 ；2）绕Xb轴旋转90 ；3）绕Zb轴转90 o33 求下面齐次变换的逆变换T 01 0-1T =00-121-10 00.00 01 .34已知0.250.430.865.0ArT =0.87-0.500-4.0B0.430.75-0.503.00001求;T的第（2,4）元素.3-5已知矩阵90-1090019-1029001代表齐次坐标变换，求其中的未知元素值（第一列元素）。3-6

2、设工件相对于参考系U的描述为:T,机器人基座相对于参考系的描述为;八己知010-1姿=00-12-1000.0001.L01591要求机器人手爪坐标系H与工件坐标系P重合，试求变换？T3-7.已知坐标变换矩阵 汀上匚乩0.866-0.5000 111000汀=0.50000.86600-11 8肚=000.8660.500-0.5000.86610-20.000 1 .00010.866 -0.5000-3uT =0.4330.2500.750-0.5 -30.4330.8663.0001.画出空间尺寸链图，并求纟匚3-8如图3-17所示的多面体顶点坐标系.试求4x4的齐次变换矩阵卜护和存(/

3、=1,2,3,4,5) cK3-17多面体各顶点坐标并3-9.如图318所示的多面体各顶点坐标系，试求4x4的齐次变换矩阵和存（#1,234）多面体各顶点坐标系3J0如图319所正方体的顶点和中心坐标系，试求4x4的齐次变换 矩阵一开和和(/=l,2,3)o注：正方形边长为/。0是空间对角线的中 点，。2为棱边的中点。图3-19正方体各顶点坐标系311 如图316a所示的锲块要求变换到图所示的位置,求运动算子。列算子序列，每次运动仅沿某轴平移或绕某轴旋转。图3 16位姿综合3-12图3-20a中所示的两个相同的锲块，要求将其重新变换为图3-20b所示位置。1）列出变换序列，每次变换表示沿某轴平

4、移或绕某轴旋转，变换过程中两锲块不许碰撞；2) 作图说明从右到左的各个变换;3) 作图说明从左到右的各个变换。图3-20検块的运动变换 )b)变拱后3-13用一个描述旋转(或平移)的变换左乘与右乘同一表示坐标系的 变换，所得结果是否相同？为什么？试举例作图说明。3-14 一个物体绕它的X轴转0角，再绕他的新Y轴转p角，按照欧拉 角方法，我们知道其方位可表示为Rot (X,0) Rot (Y/p )假若两次转动是绕固定参考系的坐标轴结果是Rot (乞(p)Rot (X, 0)叮见.变换的顺斥决定于转动是相对于固定框还是相对运动框描述的。 山此叮以得到，相对固定框转动变换与相对运动框描述Z间的关系

5、 Rot (X,0) Rot (Y,(p) Ror1 (X,0)这是“相似变换”。推导这一相似变换的矩阵，它相当于欧拉角表示皺Z(e B，y),见式(3-55)。并利用所得结果导出旋转变换通式(3-68)o3 J6已知位置矢量Bp和坐标系3Bp二 2.1.bT =-10010102011试求:(1) 同一点P在参考系U中的描述Up；(2) 忆其中C是B绕基坐标系U的y轴旋转90 ,再沿基坐标系Ux轴方向平移20所得到的的新坐标系；(3) 点P在坐标系C的描述邛；(4) 作图表示坐标系U、B和C以及、叩、Cp。3-17已知旋转矩阵010R (K, 0)=00-1-100试求其等效转轴K和等效转角

6、9。3-18已知齐次变换矩阵01010H =00-120-10010001把它看成绕某一轴线(不过原点)的旋转变换求轴线K的方向余弦, 等效转角0和轴线上的任一点。3-19编写求旋转矩阵的等效转轴和等效转角的算法，并能处理9 = 0。 和e = 180两种特殊情况(提示：可从(3-75)开始)。3-20编写一个子程序，把旋转矩阵方位表示变为等效转轴一转角表 示。当用PASCAL语言时，子程序说明开始如下：Procedure RMTOAA (VARR； mat33； VAR K； vec3; VAR theta real)； 再编写另一个子程序把等效转轴转角农示变为旋转矩阵表示；Procedur

7、e AATORM (VAR K； vec3; VAR theta real ;VAR R； mat33)； 输入具体数据对所编程序进行考核(包括一些较难的悄况)，验证所 编程序的止确性。3-21仿照上题，编写旋转矩阵与RPY角、欧拉角法相互转变的子程 序。3-22设想使矢屋K旋转0角，得新矢屋Q：即Q=R (K,0) Q应用式(3-68)导岀Rodriques公式Q!=CLcos0+sin0 (KxQ) + (l-cos0) (KQ) K323证明旋转矩阵R的特征值为1, e皿和e加其中i = E 说明与 特征值1对应的特征向量的物理意义。3-24坐标系B诫初与A重合，然后绕过原点的单位矢屋K

8、旋转角， 即职二R (K, 0)试证名7?=护,式中0 一心 心K= Kz 0 -Kx-Ky Kx 0 .3-25证明Proper正交矩阵的Cayley公式。3-26设想刚体上固结有两个单位矢量q和血，因为不论刚体怎样旋 转，此两矢量间的夹角不变，即刚体旋转是保角运算，由此证明，旋 转矩阵的逆等于它的转置，旋转矩阵是止交的。3-27编写构造坐标系？T的算法，坐标系A由三点Pi、叭和呱决 定，其中（1）Pi是A的坐标原点；（2）“P2位于A的X正半轴上；（3）Pg位于3的XY坐标面上，并靠近Y的正半轴。3-28写岀位置矢量的圆柱坐标0、丫和z的表达式。3-29写出位置矢址作的球（级）坐标a、B和

9、丫的表达式，a是经度， B是纬度。3-30对于微分转动，sin0 = 0, cos0 = 1,02=0利式（368）推导 微分转动（绕K轴旋转9）的公式。3-31利用329题所得结果证明两个微分转动（无限小转角）是可交 换的（与转动顺用无关）。3-32用欧拉参数（四元数）也可表示刚体的方位，它与等效转轴一转 角的关系为,0Ei= fcxsin-0e2= ky sin-esin-0G4= CS2这四个数满足，因此称单位四元数，欧拉参数与旋转矩阵的关系为Re = 2(G1G2+G3G4).2(eie3-e2e4)2(E1E2-E3E4)1-2 el-2 ej2岸23+辽4)2(活3+容4)2(e2G3-eie4)1 2 g 2 &r32r23厂 _ r13-r316w十厂11十r22十厂33注意：0 = 180时，e4- o o证明0 180是臼的极限存在，位于3-33编写一种