机械优化设计试题及答案

1、计算题1 试用牛顿法求f X =8x1 5X22的最优解，设X0 =10 101T初始点为X0 =10 10 T，则初始点处的函数值和梯度分别为沿梯度方向进行一维搜索，有f X0 =1700if X0 二16x1 4X2_ 200，4x1 10x2|(140X X0 = _10 -：020010-200： 140*0 1480 一：0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件f X1 二 min f X0 Y f X0 1a-min8 10-200：。2 4 10 -200：。 10-140：。 5 10-140： 0耳 a二 m i n xa f河= 1060000： 0 - 59600 = 0

2、，59600从而算出一维搜索最佳步长:二二0.05622641060000则第一次迭代设计点位置和函数值X1严280= 1.245283010-14g0_2.1283019 一f X1 = 24.4528302，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可 求得最优解。202、试用黄金分割法求函数f- 20的极小点和极小值，设搜索区间aa,- 0.2,11 （迭代一次即可）解：显然此时，搜索区间！a,bl-0.2,11,首先插入两点r和2，由式：=b - （ b a -1o . 6 1 8= 10 . 20.5 0 5 6：2 二a (b a 0 . 20.-61810 . 20.6 9

3、 4 4计算相应插入点的函数值f - = 40.0626, f2 = 29.4962因为f冷.f ：-2 o所以消去区间la-i 1,得到新的搜索区间!：-i,bl,即 bi,bl-a,bl-0.5056,11。第一次迭代：插入点 冷=0.6944,： 2 = 0.5056 0.618（仁0.5056）= 0.8111相应插入点的函数值 f ：, = 29.4962, f ： 2 =25.4690,由于f f ：2，故消去所以消去区间a,、】，得到新的搜索区间l,b 1,则形成新的搜索区间、1,bl- a,bl- 0.6944,1】。至此完成第一次迭代, 继续重复迭代过程，最终可得到极小点。3

4、 .用牛顿法求目标函数f X =16人2 25x；+5的极小点，设X - 12 2。解：由 X 0 - 12 2T，则 I f X0 =-2l2f X0 二-2X1-2；：2f-X - X2?2f32032 I50因此可得：X1 = X.x132X164”50x2I100 一逆矩阵 为_10132y0150 一100一P2f(x)1 可(x)=0T , f X = 520f m :二亠一的极小值的计算过程，请完成Ctf X1 1=5，从而经过一次迭代即求得极小点X” -04.下表是用黄金分割法求目标函数迭代序号aa1a2by1比较y200.211迭代序号a12by1比较y200.20.5056

5、0.6944140.062629.496210.50560.69440.8111129.496225.46905、求二元函数f(Xi,X2)=Xi2+X22-4Xi-2X2+5在xo=0 0T处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值是梯度的模lhf(Xo)ll。求f(Xl,X2)在Xo点处的梯度方向和数值，计算如下：V f(Xo) =-4 _一-4-2-2-ir f(Xo)ii=P=丄f (Xo)-f(Xo)2 5在为-x2平面上画出函数等值线和Xo(0,0)点处的梯度方向P,如图2-1所示。从图中可以看出，在Xo点函数变化

6、率最大的方向 P即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方 向。6、用共轭梯度法求二次函数xx解：取初始点x = 1 1 Tg八 f (x)2xl2x24i4X2-2X1 .x-41：2 .xx取d =-g=2沿d方向进行一维搜索，得1 0x = x +二/I刁+4(l2 一i-2叽d =1 :xx其中的：为最佳步长，可通过 f (x1)=miniCJiC) =0求得i-： =4x1i 4i ：2i-2J-2%2.J4 =为建立第二个共轭方向d i,需计算x1gi= f(2x 2x? 4-Il=14x2 -2xii-2xLJ:值，得点处的梯度及系数x1)xx从而求得第二个共轭方向di=-gi+

7、 - d=再沿d i进行一维搜索，得xx可 -21 =xixi di = i 中0_3.2x其中的:1为最佳步长，通过求得f (X2) = min ：2(： ),2(冷)=0Ct二 1 =1则X 2=计算X2点处的梯度一2_211+a13L2 一.22g2= I f ( X)2x12x244X2-2x, *说明X2点满足极值必要条件，再根据X2点的海赛矩阵G ( x2)=-2-214是正定的，可知 X2满足极值充分必要条件。故X2为极小点，即而函数极小值为f(x*) = -8。7、求约束优化问题2 2Mi nf(x)=(x 1-2) +(X2-1)s.t. h(x)=x i+2x 2-2=0的最优解？解：该问题的约束最优解为x* = 1.6 0.2T, f（x*） =0.8。*由图4-1a可知，约束最优点 x为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。用间接解法求解时，可取丄2 =0.8，转换后的新目标函数为(x, W(X1-2)2(X2-1)2 0.8(X1 2x2-2)可以用解