高中数学：数列求和方法归纳教师版

1、数列求和方法一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 21(2 (11-+=+=2、等比数列求和公 式:-=-=1(11 1( 1(111q q q a a q q a q na S n nn例 1 已知 3log 1log 23-=x ,求 +n x x x x 32的前 n 项和 . 解:由 212log log 3log 1log 3323=-=-=x x x 由等比数列求和公式得:n n x x x x S +=32= xx x n-1 1(=21111(1-n =1-n 21 例 2 设 S n =1+2+3+n, n N *, 求 1

2、32( (+=n nS n S n f 的最大值 .解:由等差数列求和公式得 1(21+=n n S n , 2(1(21+=n n S n 1 32( (+=n n S n S n f =64342+n n n =n n 64341+=50 8(12+-nn 501 当 8-n ,即 n =8时, 501 (max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用 于求数列 an · b n 的前 n 项和,其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列 . 例 3 求和:132 12(7531-+=n n x n x x x S

3、解:由题可知, 1 12(-n x n 的通项是等差数列 2n-1的通项与等比数 1-n x 的通项之积:设 n n x n x x x x xS 12(7531432-+= (设制错位-得 n n n x n x x x x x S x 12(222221 1(1432-+=-(错位相减再利用等比数列的求和公式得:n n n x n xx x S x 12(1121 1(1-+=-。211(1( 12( 12(x x x n x n S n n n -+-=+ 例 4 求数列 , 22, , 26, 24, 2232n n 前 n 项的和 . 解:由题可知, n n22的通项是等差数列 2n

4、的通项与等比数列 n 21的通项之积设 n n nS 2226242232+= 14322226242221+=n n nS -得1432222222222222 211(+-+=-n n n nS 1122212+-=n n n 1224-+-=n n n S三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列(反序 ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (1n a a +. 例 5 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+的值解:设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+=S . 将式右边反序

5、得: 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+=S 又因为 1cos sin , 90cos(sin 22=+-=x x x x , +得 : 89cos 89(sin 2cos 2(sin 1cos 1(sin2222222 +=S =89 S =44.5四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可 .例 6 求数列的前 n 项和:231, , 71, 41, 1112-+-n a a a n , 解:设 231( 71( 41( 11(12-+=-n aa a S

6、n n将其每一项拆开再重新组合得23741( 1111(12-+=-n aa a S n n (分组 当 a =1时, 2 13(n n n S n -+=2 13(nn +(分组求和当 1a 时, 2 13(1111n n aS n -+-=2 13(11n n a a a n -+- 例 7 求数列 n(n+1(2n+1的前 n 项和 .解:设 k k k k k k a k +=+=2332 12(1( =+=nk n k k k S 112(1(= 32(231k k k nk +=将其每一项拆开再重新组合得:S n =k k k nk nk nk =+1213132 = 21( 21

7、(3 21(2222333n n n += 21(2 12(1(2 1(22+n n n n n n n =22( 1(2+n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中 的每项(通项 分解, 然后重新组合, 使之能消去一些项, 最终达到求和的目的 . 通项分解(裂项如:(1 ( 1(n f n f a n -+=(2n n n n tan 1tan( 1cos(cos 1sin -+=+ (3 111 1(1+-=+=n n n n a n(4 (4 121121(211 12(12( 2(2+-+=+-=n n n n n a n(5 2(1(

8、11(121 2(1(1+-+=+-=n n n n n n n a nnn n n n n n n S n n n n n n n n n a 21(11, 2 1(12121 1( 1(221 1(21+-=+-=+-+=+=-则例 8 求数列+, 11, 21,211n n 的前 n 项和 .解:设 n n n n a n -+=+=111,则1121211+=n n S n= 1( 2( 2(n n -+-+- =11-+n 例 9 在数列 an 中, 11211+=n n n n a n ,又 12+=n n n a a b ,求数列 bn 的前 n 项的和 .解: 211211n

9、n n n n a n =+= 111(82122+-=+=n n n n b n数列 bn 的前 n 项和:111( 4131( 3121( 211(8+-+-+-+-=n n S n = 111(8+-n = 18+n n例 10 求证:1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+解:设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+=S n n n n tan 1tan(1cos(cos 1sin -+=+89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+=S =88tan 89tan 2t

10、an 3(tan 1tan 2(tan 0tan 1(tan1sin 1-+-+-+- =0tan 89(tan1sin 1 -=1cot 1sin 1= 1sin 1cos 2 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此, 在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 S n .例 11 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值 .解:设 S n = cos1°+ cos2°+ cos3

11、76;+···+ cos178°+ cos179° 180cos(cos n n -= (找特殊性质项 S n = (cos1°+ cos179° +( cos2°+ cos178° + (cos3°+ cos177° +···+(cos89°+ cos91° + cos90°= 0 (合并求和例 12 数列 an :n n n a a a a a a -=+12321, 2, 3, 1,求 S 2002.解:设 S 2002

12、=2002321a a a a +, 由 n n n a a a a a a -=+12321, 2, 3, 1可得,2, 3, 1654-=-=-=a a a , 2, 3, 1, 2, 3, 1121110987-=-=-=a a a a a a 2, 3, 1, 2, 3, 1665646362616-=-=-=+k k k k k k a a a a a a 0665646362616=+k k k k k k a a a a a a S 2002=2002321a a a a +=( ( (66261612876321+k k k a a a a a a a a a a 200220

13、0120001999199819941993 (a a a a a a a + =2002200120001999a a a a +=46362616+k k k k a a a a =5 例 13 在各项均为正数的等比数列中,若103231365log log log , 9a a a a a +=求 的值。解:设 1032313log log log a a a S n +=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =+=+和对数的运算性质 N M N M a a a =+l o g l o g l o g 得:log (log log (log log (log6

14、353932310313a a a a a a S n +=高老师个性化教学 高中数学 数列基础知识和方法 (log3 a1 × a10 + (log3 a2 × a9 + × × × + (log3 a5 × a6 log3 9 + log3 9 + × × × + log3 9 10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用 数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法. 例 14 求 1 + 11+ 111+ × ×

15、; × + 111 ×3 × ×1 之和. 1 2 n个1 解：由于 111 ×× ×1 = 12 3 k个1 1 1 ´ 999 ×4 ×3 × 9 = (10k - 1 1 4 2 9 9 k个1 n个1 1 + 11+ 111+ × × × + 111 ×3 × ×1 1 2 1 1 1 1 1 (10 - 1 + (10 2 - 1 + (10 3 - 1 + × × × + (10 n

16、- 1 9 9 9 9 1 1 (101 + 102 + 103 + × × × + 10n - (1 + 14 +1 +4 ××× + 1 2 4 3 9 9 14 n个1 1 1 10(10n - 1 n - (10 n +1 - 10 - 9n × 9 10 - 1 9 81 例 15 已知数列an： an = ¥ 8 , 求å (n + 1(a n - an+1 的值. (n + 1(n + 3 n =1 解： (n + 1(a n - a n +1 = 8(n + 1 1 1 - (n + 1(

17、n + 3 (n + 2(n + 4 8 × 1 1 + (n + 2(n + 4 (n + 3(n + 4 1 1 1 1 - + 8( - n+2 n+4 n+3 n+4 ¥ ¥ 1 1 1 1 - + 8å ( - n+2 n+4 n+4 n =1 n + 3 4×( å (n + 1(a n =1 ¥ n - an+1 = 4å ( n =1 1 1 1 13 4×( + + 8× 3 3 4 4 人生格言： 世上无难事，只要肯登攀。 第 6 页 共 8 页 高老师个性化教学 专题训练

18、1 、 数 列 an 的 通 项 a n = ( A 高中数学 数列基础知识和方法 1 ， 则 数 列 an 的 前 1+ 2 + 3 +L+ n n 项和为 2n 2n n+2 n B C D n +1 2n + 1 n +1 2n + 1 1 1 1 1 2、数列 1 ,2 ,3 ,4 ,L 的前 n 项和可能为 ( 2 4 8 16 1 1 1 1 A (n 2 + n + 2 - n B (n 2 + n + 1 - n -1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 C ( n - n + 2 - n D (n + n + 2(1 - n 2 2 2 2 2 2 3、已知数列 an 的前 n 项和 S n = 2n - 1 ，则 a12 + a2 等于( + Lan A (2n - 1 2 1 B ( 2 n - 1 3 C 4 n - 1 1 D ( 4 n - 1 3 4、数列 an 的通项公式 an = ( A11 1 n + n +1 (n Î N * ,若前 n 项和为 10，则项数 n 为 B99 C120 D121 5、在数列 an 中， a1 = 1, a2 = 2 且 an+2 - an = 1 + (-1 n (n Î N * ，则 S100 = 6、已知 S n = 1 - 5 + 9 -