3-5概率统计经典讲义ppt课件

1、 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论两个随机变量的函数的分布问题.一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的分布律的分布律.解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性此即离散型此即离散型卷积公式卷积公式r=0,1,2, 解：依题意解：依题意 riirYiXPrZP0),()( 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参

2、数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为21,21的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式，i=0,1,2,，j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 riirYiXPrZP0),()(由卷积公式由卷积公式12-120ee!( - )!ir iriir i12()-120!( - )!rir iierri r i ,)(!21)(21rre即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.21r =0,1， 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y), 求求Z=X+Y的密度的密度. 解解: Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: FZ

3、(z)=P(Zz)=P(X+Y z)( , )d dDf x yx y这里积分区域这里积分区域D=(x, y) | x+y z是直线是直线x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.二、连续型分布的情形二、连续型分布的情形 化成累次积分化成累次积分,得得( )( , )d dZx y zFzf x yx y ( )( , )d dz yZFzf x yxy 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令x=u-y,得得( )(, )d dzZFzf uy yuy (, )d dzf uy yyu 变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率密度与分布函数的关系

4、由概率密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的的概率密度为概率密度为: 由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 ( )( )(, )dZZfzFzf zy yy以上两式即是两个随机变量和的概率以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式密度的一般公式.( )( )( ,)dZZfzFzf x zxx( )(, )d dzZFzf uy yyu 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的的边缘密度分别为边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化则上述两式化为为: ( )()( )dZXYfzfzy fyy这两个公式称为卷积公式这

5、两个公式称为卷积公式 .( )( )()dZXYfzfx fzxx 下面我们用卷积公式来求下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度.为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例3 若若X和和Y 独立独立,且具有共同的概率密度且具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 ., 0; 10, 1)(其它xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷积公式由卷积公式1010 xzx也即也即zxzx110为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 ., 0; 21,2; 10,)(110其它z

6、zZzzdxzzdxzf1010 xzx也即也即zxzx110于是于是dxxzfxfzfYXZ)()()( 若若X和和Y 独立独立,且具有相同的分布且具有相同的分布N(0,1),则则Z=X+Y服从正态分布服从正态分布N(0,2).例例422222222()22()422444( )( )()d11d221d21d21122ZXYxz xzzxzt xztzzfzfx fzxxeexeexeetee 证：证： Z N(0,2) Z N(0,2)用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX 那么那么 休息片刻再继续

7、休息片刻再继续三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),我们来我们来求求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为: 即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz) 由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都不大于都不大于z，故有，故有 P

8、(Mz)=P(Xz,Yz) 类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1-P(Nz)=1- P(Xz)P(Yz) 设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 求求M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.)(xFiX(i =1，, n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布

9、函数F(x)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n)(1 1)(1zFzFXN)(1 zFnX)()(1zFzFXM)(zFnX 若若X1,Xn是连续型随机变量，在求是连续型随机变量，在求得得M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的的分布函数后，不难求得分布函数后，不难求得M和和N的密度函数的密度函数. 当当X1,Xn相互独立且具有相同分布相互独立且具有相同分布函数函数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n

10、需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立相互独立且具有相同分布函数且具有相同分布函数F(x)时时, 常称常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值的意义和实用价值. 如下图.设系统L由两个相互独立的子系统L1 ,L2联接而成,联接的方式分别为: (1)串联. (2)并联. (3)备用(开关完全可靠,子系统L2在储备期内不失效,当L1.损坏时, L2开始开始工作).例例 5 解解: 设L1,L2的寿

11、命分别为X，Y，其概率密度函数分别为:其中其中 0, 0, 0, 0,且且 . . 分别对以上三种联接方式写出分别对以上三种联接方式写出L L的寿命的寿命Z Z的概的概率密度函数率密度函数. .,0;( )0,xXexfx其它.,0;( )0,yYeyfy其它.先求先求X,YX,Y的分布函数的分布函数: :1,0;( )( )0,0.xxXXexFxft dtx (1)(1)串联：串联： Z=minX,Y Z=minX,Y FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z) FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)1,0;( )( )0,0.yyYYeyFyft dty ()1,0;0,0.zezz ()(),0;( )( )0,0.zZZezfzFzz(2)(2)并联：并联：Z=maxX,YZ=maxX,Y.0,0;0),1)(1 (zzeezz.0,0;0,)()( )()(zzeeezFzfzzzZZFZ(z)=FX(z)FY(z)(3)(3)备用备用: Z=X+Y: Z=X+Y( )( )()ZXYfzfx fzx dx当当 z 0 z 0时时, ,有有当当z 0z 0时，时，0( )( )()zZXYfzfx fzx dx()0()zxz xzzeedxee( )0Zfz ()0( )00zzZeezfzz 这一讲，我们介绍了求