全国初中数学竞赛试题及答案

1、-精品文档word版中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题.)6分，共30分一、选择题(共5小题，每题厂 22可在数轴上的位置如下图，那么代数式1 (甲).如果实数a, b, c|b (c a)ca |a b| ).以化简为(J|Lba0ba 22ac 2a d)a(A) C)(B( 1-22 a 1 1 (乙)如果)的值为(，那么 1 2 a 3，|巧 22 22 ) D ( (C) 2(A )(B )b)的图象有两个交点，其中一 b )与反比例函数 y =工0 (2 (甲).如果正比例函数 y = ax (a 工0_ X .，那么另一个交点的坐标为()个交点的坐标为(一 3

2、, 2) )( 3，2 ( C)(-2，3) ( D (A ) ( 2，3) B) ( 3， 2)22).) (x，y的个数为(< 2x + 2y的整数点坐标xOyy中，+满足不等式(乙).在平面直角坐标系x25(D)(C) 7)(A10(B) 91b a b，a a b1，a 1， 21a，b这四个数据的平均为给定的实数，且，那么3 (甲).如果).数与中位数之差的绝对值是(B C112a 1)(D )( B )( C ( A) 1 424 BD 是对角线，3 (乙).如图，四边形ABCD中，AC, 30ADC , AD ABC是等边三角形.=3, BD = 5)那么CD 的长为(23

3、( B) 4 (A)524.5D)( C )(元，我的钱2 “ 4 (甲)小倩和小玲每人都有假设干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：你假设 给我为正整数，n，其中元，我的钱数将是你的"你假设给我n2倍"；小玲对小倩说：倍数将是你的n )n那么的可能值的个数是(.精品资料分享-精品文档word版4D)(C) 3(B) 2(A) 12q，0(xp px q那么这样的方程的 4(乙).如果关于x的方程 是正整数)的正根小于3，.) 个数是(8(D)7( B)6(C) (A)5掷两次骰子，设 6，5，1，2，3，45 (甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分 别是p, p

4、, pp，,那么2, 3的概率为其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是 0, 1，3012p，p,pp，.)中最大的是(3210pppp (D )(C)(A)(B20311 1 1 ,1,个数5个数字.每次操作先从黑板上的数中选取(乙)黑板上写有2共100 10023a,ba, ba b ab,那么经过99,然后删去，并在黑板上写上数次操作后，黑板上剩下的数是( ).(A) 2021( B) 101( C) 100( D) 99二、填空题(共5小题，每题6分，共30分)6 (甲).按如图的程序进行操作，规定：程序运行为一次？到“结果是否 >487从“输入一个值 x的取如果操作进行四

5、次才停止，那么x操作.ADB F C值范围是9 cab,且满足a乙.如果，b ,c是正数，6 c10ab111 的值，那么ba cc bab cca9ba为15，如图，正方形 ABCD的边长为27 甲DB，的中点，AF与DEE，F分别是 AB，BC.分别交于点M , N，那么 DMN的面积是A C对角线为一条 0上，以OAA7 乙.如下图，点在半径为20的圆12 OC的长度差是那么线假设，DO于、E两点，BC作矩形OBAC ,设直线交圆 DBBDCE段、O 3922根分别的方程如果关于甲8. xx+3k +kx+k= 0的两个实数24精品资料分享word版-精品文档2021X1XX 的值为为

6、，那么 . 212021 N2nn3 n n 3nn 的个数能被假设为整数，且 1 < n< 2021. 58 乙设整除，那么所有.为位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此 m. 2位八年级同学和 9甲比赛结束后，.分；平局各得1分恰好比赛一场记分规那么是：每场比赛胜者得3分，负者得0.所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，那么m的值为 zy，x，a ，b，c假设可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数.9 乙如果正数x，y ,za111,.的取值范围是和均为三角形数，且a< b< c，那么_ _ 一 _ ccabABCD

7、内接于O, O10 甲如图，四边形，.是直径，AD = DC分别延长 BA，CDAB 作BF丄EC ,并与EC的延长线 E交点为.的CF，BC = 6，那么AE交于点F.假设=AO.长为22 b a，nnnb a成立，那么这样w 100 假设有唯一的正整数对10 乙是偶数，且 1匕使得n的的个数为 一60分4题，每题15分，共三、解答题共231 x y m2x m 3 x0y 二次函数；关于 x的方程，当11时，恒有甲92m0x m 2 x m 3的取值范围.求的 两个实数根的倒数和小于 一 10如下图，在直角坐标系 .11 乙y点在y轴负半轴上，点xOy中，A轴正、负半轴上，xCB、分别在4

8、B08,ABAC,sin CAO Cx5E交CDAB上，连结。点D在线段DSS。试，且轴于点 EyADEcoE A三点的二次、CE求 图像经过B、函数的解析式。AB，如图，0甲12. 0的直径为 精品资料分享word版-精品文档，且交于点11ODDC DEDOFOFE.s，求证：, be的延长线与在BOC12 (乙)如图，O O的内接四边形 ABCD中，AC，BD是它的对角线， AC的中点I是厶ABD 的内心.求证：(1) OI是厶IBD的外接圆的切线；.BD+AD = 2 ) (2ABa的最小值当是完全平方数是素数，且一满足：，整数甲13. ababab.时，求2021a精品资料分享精品文档

9、word版-150n边形中最多有多少个内角等于乙13给定一个正整数，凸？并说明理由. nbnca的最小值.以相同，使得，求x XX , x XX,，且n,使得存在正整数，满足.14 甲求所有正整数2021212021122 0 1 2 1 2n .XXX2021123a, b, cn2 (可)任意参考解答精品资料分享word版-精品文档一、选择题1甲.C解：由实数a, b, c在数轴上的位置可知 1丨c0 b a b c,，且Ja22.1 (乙).B111/ 厂 1 12 12 111.解:所以 )cb (c a) )( |b c| a (a b)a |a b|(c a112 12 2 122

10、 广a 32 12 甲.D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为3，2.2 乙.B22221yx 10 W得，W 2x + 2y < 2.x + y解：由题设x , y均为整数，所以有因为2222(x 1) 1) 1, 1(x 1) 0,，(x 1)(x0,2222(y 1) 0 ； (y 1) 1 ； (y 1) 0 ； (y 1) 1.解得x 1,x 0, x 2, x0,2, xx 1,2,xx 1 ,0, xy 2; y 2;yy 0;y 1; y 0; y 1;y 0; y 2.(x, y).对以上共计93 甲.D1 a

11、 1a b 1 2a b,所以这四个数据的平均数为解：由题设知，1 (a 1) (a b 1) (2a b)3 4a 2b ，44(a 1) (a b 1)4 4a 2b ，中位数为BC1 421b 2 2b34a4 4a .于是 444B.3 (乙).，连接AE解：如图，以 CD为边作等边 CDE，CE, CD = BC由于AC = ，/ ACD + / ACD+ / BCD / =BCA / =DCE / =ACE 精品资料分享word版-精品文档所以 BCDACE， BD = AE.ADC 30 ADE 90 .又因为，所以 AE 5， AD 3， ADE Rt中，在 V22 4 ADA

12、E，所以 CD = DE =于是 DE4.=D.4 甲yx，元、小玲所有的钱数为 y元，均为非负整数.由题设可得 解：设小倩所有的钱数为 xx 2 n(y 2), y n 2(x n),消去 x 得(2y 7)n = y+4 ,(2y 7) 1515 1 .2n =2y 72y 715为正整数，所以2y 7的值分别为1, 3, 5, 15,因为所以y的值只能为4, 5, 6, 11 从2y 7而n的值分别为8, 3 , 2 ,1; x的值分别为14 , 7, 6 , 7 4 (乙).Cq 0,故方程的根为一正一负由二次由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为解：223x 0q 33 y xp

13、x qp 9y 0q 3p qp,由于 函数，所以时，.即的图象知，当，20 4q p) p, q (p p1 2组7,< 2此时都有 < 5;或.于是共有，1W都是正整数，所以 qq, 1 <符合题意.D5 (甲).的余数分别个，其和除以 4解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对a b ab 1 (a 1)(b 1)，解：所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加因为1后的乘积不变.x，那么99设经过次操作后黑板上剩下的数为精品资料分享word版-精品文档1111)1) (1)(1 (1 1)( x ,10023100X x 1 101,.解得二、填空题 x&l

14、t; 196 (甲).7V解：前四次操作的结果分别为80.x 26) 2 = 81x , 3(9x 8) 2 = 27x 26, 3(272 3x , 3(3x 2) 2 = 9x 8 , x 27 由已 知得 26< 487487.> 81x 80< 19. 7V x解得2 3x8 9x的取值范围是w 487 < 487，故x容易验证，当7v x< 19时，.7V x < 19.76 (乙)101119b c a 在解：得两边乘以 9 aa bb ccbaacbc7 10 3 即ADac bb c a bb cc aa8.7 (甲)BFNABCDaB F

15、C由题设易知.记正方形的边长为2解：连接DF , DAN s，所以2DNADAN , 1BNBFNF2AF ANNF2AN，所以由此得3a , BFAB 2a，所以 ABF中，因为在Rt 22a5AF ABBF， 52AB BAF cos . 于是5AFAFB AED ，由题设可知 ADEBAF，所以0090AFB 180 BAF AME 180 BAF AED.52a AMAE cosBAF于是542a AMAFAMANMN，-153精品资料分享SMN4 MNDword版-精品文档SAF15afd 14822aS S (2a) S 2a (2a).，所以又 AFDMND AFD 21515a

16、 15S 8.因为，所以mnd28.7 (乙) 一 5OMDE OMMDE ，连接解：如图，设的中点为，贝U V2216 12OB 20 ，所以因为 4812OC16 OB OM ， 520BC6436V22 BM OC，OMCM 55283664) BMDM CM) (CE BD(EM BM CM 5552 . 8 (甲)一 3的方程有根据题意，关于x解：9322)k(k 3 4?0=k， 242< 0. 3) (k 由此得93222 3) > 0,所以(k . =x+x=0，解得=3. =0，从而 k 此时方程为 xx+3 又(k 3)2 242021X21 1 =故.一 20

17、21X3X22.1610(乙) 822242229n n 3 nn5 n 3n n 3 n 解：442 1,或5kn 5k )(mod51|5(n 9)n 因此，因此，所以 25 40220212021-402=1610个数所以共有 8.(甲)9b130 3b2aa < 43.解：设平局数为0W,胜(负)局数为，由题设知b,由此得2) 1)(m(m 2)m (m 1)(22a b ba 于是，所以又.22)b m m(130 1)(0<，< 43 精品资料分享精品文档word版-2) (m 1)(m ，87<< 1309 m 8m.，或由此得55ba a 35a

18、5m 9b a 20,8m b 40，.，时，不合题设；当时，当一 228m 故.a53 1 .9(乙)c2(1)ca b a b c，代入(解：依题意得：，所以2)得111 (2) - abc 11111，两边乘以 a 得一 一 一 ccc aabaacaa222 1 0 3aca c c ，两边除以得化简得即a c accc,，25 a33 5aa 0 ) 1 3(所以 2c2cc a3 5a1 1 ，综合得a 另一方面： w bw c 所以一一 c2ca2k 0 1 3kkck) b (1 )化简得，由(1可令)得，解得，代入(2另解：5 3 535 3 k 1k1 k,综合得w c,所

19、以a. 另一方面:wb222, 32 甲.102 . , OD 解：如图，连接 AC, BD. BDA = 90 ° 的直径知/ BCA = / O 由 AB 是O O ABCD 是O BFC = 90 °，四边形依题设/的内接四边形，所以，BADBCF = ZZ BABC . BAD ，因此s 所以 Rt BCFRt ADCFBCODACODCDAD OOD 因为是O的半径，=，所以垂直平分，/,精品资料分享精品文档版-wordOEDE2 .于是因此OBDCAD 32AD, CEDE 2CD .3BABEEC AE CEBDE BA BE , AEAED ,s因为，知由2

20、23BA22BA AD 3AD2AD =，故，BA 所以222BC3AD CF BC .BA22210 乙.1222bb b aa n a依题意得 解：n 4kn, a-b、同奇偶，所以n是4由于的倍数，即是偶 数，a+b (a, b) n时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对当1 W,那么：w 1002p p或kk，其中p是素数，因此，k只能取以下12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、 23、4、9、25,从而这样的 n有12个。三、解答题1 x 3y 0,所以11 (甲).解：因为当 时，恒有2(m 3)(4m 2)0,2m 10 1)(m.，所以即(3 分)x

21、 1x 300yy，即ww当时，；当时，2021)m (m 3)( 1), w202m m 3( 3) 3 w,且8分)(202x mx 3m xx,由一元二次方程根与系数的关，的两个实数根分别为设方程21, XX m XX 3m 2.系得2211X x119m 39i2，因为，所以 xxIOxxm 2102211精品资料分享word版-精品文档m 12m 2.解得，或m 12.因此15 分AO4AO 8，=解：因为 sin / ABC ，11 乙.%5AB226 AOBO AB .由勾股定理，得所以AB = 10 ACOABO.= BO = 6， 因此易知 CO06，C 8B6，0A0，,于

22、是.nm，的坐标为.设点 DS SSS .由，得 AOBADEACOECDB 1111 丨 68 n BC n AO BO 12所以， 22224n解得 4，3.因此D为AB的中点，点 D的坐标为BC的重心，的两条中线，点 E为厶A因此CD , AO分别为AB , BC8 0,.来求得.所以点E的坐标为也可由直线 CD交y轴于点 L 36x y ax 6设经过B，C三点的二次函数的解析式为.，E2将点E的坐标代入，解得a =.27822 xy 三点的二次函数的解析式为E 故经过 B，C，.327OBO的直径，所以为 证明：连接BD，因为12 甲.1DE ODB 90 DC 是等腰三角形.，所以

23、 CBE 又因为 分 5OMB 90BCOM 又OM与，连接交于点，那么设iOBOC因为，所以DBC 2 BOC 2 DOM F DO 2 DBFi 分10BOCFDOFDOBOC ， 又因为的顶角， 所以分别是等腰厶， 等腰 iiFDOBOC 1 15分如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等1 乙12.证明：IDA IAD CID ，的性质知：精品资料分享word版-精品文档CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA .CID CDI, CI = CD 所以.同理，CI = CB .故点C是厶IBD的外心.连接OA , OC ,因为I是AC的中点，且 OA = OC ,所以

24、OI丄AC，即Ol丄CI .故OI是厶IBD外接圆的切线.(2)如图，过点I作IE丄AD于点E，设OC与BD交于点F.BC CD，知 OC 丄 BD 由RtA BCF也Rt AIE 所以 BF = AE .，所以因为/ CBF = / IAE，BC = CI=AIAB AD BD 2AE BD BD 2BF BD. ABD的内心，所以又因为I是厶AB AD 2BD .故AB CD AD BC ACAC 2BC 2CD BD代入即得结论也可由托勒密定理得：，再将AB AD 2BD。2 (n 是自然数).m 是素数)，ab = n13 (甲).解：设 a b = m (22， b) 4ab = (

25、a+b)a因为22 2，= 4nm (2a m)所以2.) = m +2n)(2a m 2n (2a m (5 分)n 1 时，因为 2a m+2n 与 2a m 2n 都是正整数，且 2a m+2n >2a m( 1)当2n (m 为素 21.n2 mm ， 2a 数)，所以 2a m+2n22 1)1m(m n .，a 解得442 m 1 b .a= m于是4 10 分21m > 2021.，即?2021又a 421 89又因为m是素数，解得89.此时，a>=2025. 4a 2025m 89b 1936n 1980.时，当，此时，a的最小值为 2025.n 0b 0 a

26、,从而得a的最小值为2021，所以2021 素数当2。时，因为 综上所述，所求的 a的最小值为2021。15分精品资料分享-精品文档word版150 °内角的外角k个内角等于150 °，那么每个13 乙.解：设凸n边形最多有 30°，都等 于36012 n12 k ，只有当个外角和为 360 °，所以时，而凸n边形的n 3012 n分下 面我们讨论时的情况：k才有最大值12. 512 n ； k 1当的值是11时，显然，3,4,5,6,7 n ； 4，5 时，k 的值分别为 1，2，3,当28,9,10,11 n10 分时，k的值分别为7，8，9，3当10. 11n n3 n 7 28边边形最多有综上所述，当时，凸n个内角等于150 °；当时，凸n12 nn