27平面向量的数量积与平面向量应用举例ppt课件

1、温馨提示温馨提示: : 请点击相关栏目。请点击相关栏目。整知识整知识 萃取知识精华萃取知识精华整方法整方法启迪发散思维启迪发散思维考向分层突破一考向分层突破一 自主练透型自主练透型考向分层突破二考向分层突破二 互动讲练型互动讲练型考向分层突破三考向分层突破三 分层深化型分层深化型1 1向量的夹角向量的夹角 考点考点 分层整合分层整合(2)图示：图示：(1)定义：已知两个非零向量定义：已知两个非零向量a和和b，作，作OAa，OBb，那么，那么AOB就是就是向量向量a与与b的夹角的夹角(4)共线与垂直：若共线与垂直：若0，则，则a与与b同向；同向；若若180，则，则a与与b反向；若反向；若90，则

2、，则a与与b垂直垂直(3)范围：设范围：设是向量是向量a与与b的夹角，则的夹角，则0180.2 2平面向量的数量积平面向量的数量积定义定义设两个非零向量设两个非零向量a a，b b的夹角为的夹角为，则数量，则数量|a|b|cos |a|b|cos 叫做叫做a a与与b b的数量积，记作的数量积，记作abab投影投影|a|cos |a|cos 叫做向量叫做向量a a在在b b方向上的投影，方向上的投影，|b|cos 叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影方向上的投影几何意义几何意义数量积数量积abab等于等于a a的长度的长度|a|a|与与b b在在a a的方向上的的方向上的投影投影|b|cos

3、|b|cos 的乘积的乘积3.3.平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质4 4数量积的运算律数量积的运算律(1)交换律：交换律：abba.(2)数乘结合律：数乘结合律：(a)b(ab)a(b)(3)分配律：分配律：a(bc)abac.设设a a，b b都是非零向量，都是非零向量，e e是单位向量，是单位向量，为为a a与与b(b(或或e)e)的夹的夹角那么角那么(1)ea(1)eaaeae|a|cos . (2)ab|a|cos . (2)ababab0.0.(3)(3)当当a a与与b b同向时，同向时，abab|a|b|.|a|b|. 当当a a与与b b反向时，反向时，abab|a|b

4、|a|b|，特别地，特别地，aaaa|a|2|a|2或者或者|a|a| . .(4)cos (4)cos (5)ab|a|b|. (5)ab|a|b|.a a aba b 4 4数量积的运算律数量积的运算律5平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示(1)交换律：交换律：abba.(2)数乘结合律：数乘结合律：(a)b(ab)a(b)(3)分配律：分配律：a(bc)abac.设向量设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量，向量a与与b的夹角为的夹角为，那，那么么 1 1明确两个结论：明确两个结论： 考点考点 分类整合分类整合2 2利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最利

5、用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧值问题常用的方法与技巧(1)两个向量两个向量a与与b的夹角为锐角，则有的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立，反之不成立(因因为夹角为为夹角为0时不成立时不成立)；(2)两个向量两个向量a与与b的夹角为钝角，则有的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立，反之不成立(因因为夹角为为夹角为时不成立时不成立)(2)(2)在边长为在边长为1 1的正方形的正方形ABCDABCD中，中，M M为为BCBC的中点，点的中点，点E E在线段在线段ABAB上运动，那么上运动，那么 EC EM EC EM 的取值范围是的取值范围是( () )(2)将

6、正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0 x1.又又MC(1,1)，131 3A. ,2B.0, C. , D.0,1222 21(1, )2 考向分层突破一：平面向量数量积的运算考向分层突破一：平面向量数量积的运算例例1 1：2 (20192 (2019江西卷江西卷) )设设e1e1，e2e2为单位向量，且为单位向量，且e1e1，e2e2的夹角的夹角为为 ，若，若a ae1e13e23e2，b b2e12e1，则向量，则向量a a在在b b方向上的射影为方向上的射影为_解析：解析：(1)依题意得依题意得|e1|e2|1 且且e1e2

7、，ab(e13e2)2e12e1 2 6e1e226 5，|b|2，所以向量所以向量a在在b方向上的射影为方向上的射影为|a|cosa，b1212312 + 6a b52=22b 3(20193(2019江苏卷江苏卷) )如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，知中，知ABAB8 8，ADAD5 5，CPCP3PD3PD，APAPBPBP2 2，则，则ABABADAD的值是的值是_又因为又因为AD225，AB264，所以，所以ABAD22.答案：答案：22因为因为APBP2，所以，所以AD AB）（AD AB）2，即即AD2 ADAB AB22.143431612解析：由解析：

8、由CP3PD，得，得DP DC AB，APADDPAD AB，BPAPABAD ABABAD AB.1414141434平面向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解例例1 (1)(2019重庆卷重庆卷)已知向量已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且，且(2a3b)c，则实数，则实数k()A B0 C3 D. 考向分层突破二：平面向量数量积的

9、性质考向分层突破二：平面向量数量积的性质解析：解析：(1)因为因为a(k,3)，b(1,4)， 所以所以2a3b2(k,3)3(1,4)(2k3，6)由于由于(2a3b)c，所以所以(2a3b)c(2k3，6)(2,1)2(2k3)60，解得解得k3.故选故选C.15292(2)因为因为AD (ABAC) (2a2b2a6b)2a2b，所以所以|AD|24(ab)24(a22bab2) 4(322 cos 4) 4，那么那么|AD|2.612123(2)已知平面向量已知平面向量a，b的夹角为的夹角为 ，且，且|a| ，|b|2，在，在ABC中，中，AB2a2b，AC2a6b，D为为BC中点，那

10、么中点，那么|AD|等等于于()A2 B4 C6 D863答案：答案：(3)a2(3e12e2)294232 9，13b2(3e1e2)291231 8，13ab(3e12e2)(3e1e2)92911 8，13(3)(2019(3)(2019江西卷江西卷) )已知单位向量已知单位向量e1e1与与e2e2的夹角为的夹角为，且，且coscos ，向量，向量a a3e13e12e22e2与与b b3e13e1e2e2的夹角为的夹角为，那么，那么cos cos _._.13同类练同类练1 1(2019(2019武汉调研武汉调研) )已知向量已知向量a a，b b，满足，满足|a|a|3 3，|b|b

11、| ，且，且a(aa(ab)b)，则，则a a与与b b的夹角为的夹角为( () )A. B. C. D. A. B. C. D. 232233456解析：解析：a(ab)a(ab)a2ab |a|2|a|b|cosa，b0， 故故cosa，b ， 故所求夹角为故所求夹角为 .答案：答案：D3256解析：解析：ab(4,3)(2,1)(42，3)同类练同类练2 2已知向量已知向量a a(4,3)(4,3)，b b( (2,1)2,1)，如果向量，如果向量a abb与与b b垂直，那么垂直，那么|2a|2ab|b|的值为的值为( () )A A1 B.5 C1 B.5 C D D 555(ab)

12、b，(42，3)(2,1)2(42)(3)0.解得解得1.2ab(8,6)(2,1)(10,5)|2ab|答案：答案：D2210 + 5= 55答案：答案：B变式练变式练3 3(2019(2019山东卷山东卷) )已知向量已知向量a a(1(1，3)3)，b b(3(3，m)m)若向若向量量a a，b b的夹角为的夹角为 ，则实数，则实数m m( () )A A B. C B. C0 D0 D 3-3236变式练变式练4 4(2019(2019新课标全国新课标全国)设向量设向量a a，b b满足满足|a|ab|b| ，|a|ab|b| ，则，则a ab b( () )A A1 B1 B2 C2

13、 C3 D3 D5 5610解析：由解析：由|ab| ，|ab| ，得得a22abb210，a22abb26，两式相减，得两式相减，得4ab4，ab1.答案：答案：A610故故SOAB =1答案：答案：11222解析：由题意得，解析：由题意得，|a|1，又又OAB是以是以O为直角顶点的等腰直角三角形，为直角顶点的等腰直角三角形，所以所以OA OB ，|OA |OB |.变式练变式练5 5已知向量已知向量a a ， OA OA a ab b，OB OB a ab b，假设假设OABOAB是以是以O O为直角顶点的等腰直角三角形，那么为直角顶点的等腰直角三角形，那么OABOAB的面的面积为积为_1

14、3(-,)22由由OA OB 得得(ab)(ab)|a|2|b|20，所以，所以|a|b|，由由|OA|OB|得得|ab|ab|，所以，所以ab0.所以所以|ab|2|a|2|b|22，所以，所以|OB|OA| ，2即即|AB|AC|，而，而cos A ，A60，ABC为等边三角形为等边三角形答案：答案：CABAC1=2AB AC 解析：解析：(AB2AC)AB(AB2AC)AB0，拓展练拓展练6 6已知已知ABAB、ACAC是非零向量，且满足是非零向量，且满足(AB(AB2AC)AB2AC)AB，(AC(AC2AB)AC2AB)AC，那么，那么ABCABC的形状为的形状为( (）A A等腰三

15、角形等腰三角形B B直角三角形直角三角形C C等边三角形等边三角形D D等腰直角三角形等腰直角三角形即即ABAB2ACAB0.(AC2AB)AC(AC2AB)AC0，即即ACAC2ABAC0.ABABACAC2ABAC因为因为E点在线段点在线段BD上，上，所以所以AE在在AC上的投影上的投影d的取值范围的取值范围|AF|d|AG|，而而|AF|AB|cos 602 1，|CG|2|CF|2(31)4，|AG|CG|AC|437，所以所以d1,7，故选，故选B.12拓展练拓展练7 7(2019(2019安徽合肥二模安徽合肥二模) )设设|AB|AB|2 2，|AC|AC|3 3，BACBAC60

16、60，CDCD2BC2BC，AEAExADxAD(1(1x)ABx)AB，x0,1x0,1，则，则AEAE在在ACAC上的投上的投影的取值范围是影的取值范围是( () )A A0,1 B0,1 B1,7C1,7C7,9 D7,9 D9,219,21解析：由解析：由AExAD(1x)AB，x0,1，可知可知B，D，E共线，且共线，且E点在线段点在线段BD上，如下图上，如下图平面向量数量积应用的技巧平面向量数量积应用的技巧 考向大突破三：平面向量与三角函数考向大突破三：平面向量与三角函数因为因为0Ab，所以，所以AB，则，则B ，由余弦定理得，由余弦定理得42223(42) = 5 + c - 2

17、5c(-)53535解析：解析：(1)由由mn ，得，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B ，所以所以cos A .35故向量故向量BA在在BC方向上的投影为方向上的投影为|BA|cos Bccos B12222例例2 (20192 (2019广州摸底考试广州摸底考试) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c c，向量，向量m m(cos(A(cos(AB)B)，sin(Asin(AB)B)，n n(cos B(cos B，sin B)sin B)，且且m mn n . .(1)(1)求求sin Asin A的值；的值；(2)(2)若若a a4 4 ，b b5 5，求角，求角B B的大小及向量的大小及向量BABA在在BCBC方向上的投影方向上的投影352解析：(1)a(cos x，sin x)，c(1,0)，跟踪练跟踪练(2019(2019广东揭阳一中摸底广东揭阳一中摸底) )已知向量已知向量a a(cos x(cos x，sin x)sin x)，b b( (cos xcos x，cos x)cos x)，c c( (1,0)1,0)(1)(1)若若x x ，求向量，求