x04-4几何应用ppt课件

1、4-44-4ab xyo)(xfy 求曲边梯形面积的方法求曲边梯形面积的方法lim( )iinAfx.)( badxxfxdxx (1)分割分割 （2替代替代 （3求和求和 （4取极限取极限定积分的元素法定积分的元素法(微元法）微元法）(1) dA=f(x)dx(2)( )baAf x dx 求分布不均匀的细棒质量求分布不均匀的细棒质量abxxxd x设想把细棒分成许多小段设想把细棒分成许多小段 ()xx已知为细棒上点 处的分布密度 线密度 mx dxd bamx dx总质量xyo)(1xfy )(2xfy abdA=f2(x)-f1(x)dx badxxfxfA)()(121直角坐标系情形d

2、xdx一、积分在几何上应用一、积分在几何上应用1. 平面图形的面积平面图形的面积xyo1( )xg y2( )xgyabdA=g2(y)-g1(y)dy21( )( )dcAgyg y dydydy例例 1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2和和2xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.

3、解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x2xy xxy63 dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.18)24(422dyyyAxy22 4 xy例例4已知函数已知函数y=x2，在区间，在区间0，1上求一点上求一点t,使使S=S1+S2最小

4、？最小？ y解：解：S(t)=t0 (t2-x2)dx+1t (x2-t2)dx =4/3 t3-t2+1/3 S(t)=4t2-2t=0 =t=1/2 S”(1/2)0 xyoabdA=ydxdxdx如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx ( ),( )( )( ).xtyttt dtbaAydx解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab a aoyx解解33cossinxatyat

5、 aydxA0420334sin( cos)atd at224620312(sinsin)8aatt dt 设由曲线设由曲线( )rr及射线及射线 、 围成一曲边扇形，围成一曲边扇形，求其面积这里，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 21 ( )2dArd曲边扇形的面积曲边扇形的面积21 ( ).2Ard2极坐标系情形P222）( )rr例例 1 1 求双纽线求双纽线 2cos22a 所围平面图形所围平面图形的面积的面积. 解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos2

6、2a 1A注意到：注意到：,22202cos44例例 2 2 求心形线求心形线)cos1( ar所围平面图形所围平面图形的面积的面积)0( a. 解解利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 021 ( ).2Ard例例 3 求求r = a sin3所围的面积。所围的面积。解解 这是三叶玫瑰线，由这是三叶玫瑰线，由 sin3 0，有，有 32,30.3534 及及由对称性由对称性 d3sin3d2166022260arA260260246sin6123d)6cos1(213aaa 14AA 22si

7、n2ra-3-2-1123x-3-2-1123y双纽线-112x-112y333 cossincossinar笛卡儿叶形线21 ( ).2Ard222233209cossin2(cossin)ad22223209ctan2(1n)asedta2323203(tan)2(1n)adta22033132 1n2aataxoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是曲线弧上的两是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩

8、向向一一点点时时，此此折折线线的的长长|11 niiiMM的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.二、平面曲线弧长的概念二、平面曲线弧长的概念合理假设：合理假设： 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数xoyabxdxx 以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy22()()dsdxdydxy21 弧微分弧微分弧长弧长.12dxysba 1直角坐标情形例例1 1 计计 算算2332xy 上上x从从 a 到到b 的的 一一 段段 弧弧 的的 长长 度度 解解,21x

9、y dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1设设椭椭圆圆的的周周长长为为2s,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原结论成立故原结论成立.dtta 022cos12曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(d

10、ttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 2参数方程情形弧微分弧微分解：解：参数方程参数方程 taytax33sincos)20( t14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 202222cossin3)sin(cos34dtttatta20242422cossin9cossin94dtttatta-2-112x-2-112y曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有连连续续导导数数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 3极坐标情形解解

11、, ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 xoab三、平行截面面积已知立体的体积三、平行截面面积已知立体的体积P223）xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积例例 1 1 一平面经过

12、半径为一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所，计算这平面截圆柱体所得立体的体积得立体的体积. RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R （x,y)22xRytantan22xRy例例 2 2 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆直直径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积. 解解取坐标系如

13、图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 例例3 已知立体为以长轴已知立体为以长轴a=10 ,短轴短轴b=5椭圆为底椭圆为底, 垂直于长轴的载面都是等边三角形垂直于长轴的载面都是等边三角形,求其体积。求其体积。解：建立坐标系：解：建立坐标系： 取长轴为取长轴为x轴，椭圆中心为原点轴，椭圆中心为原点. 垂直于垂直于x轴截面的边长：轴截面的边长： y 22521010Lx223( )(10)4A xx1010( ).VA x dx立体体

14、积立体体积圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台 四四 、 旋转体的体积旋转体的体积定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线轴旋转一周而形成的立体图形。条直线轴旋转一周而形成的立体图形。取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 1）：小圆柱体法：）：小圆柱体法：体积元素小圆柱体：体积元素小圆柱体：xyo)(1xfy )(2xfy ab2221( )( )xdVfxfx dxdxdxxyo1( )xg y2( )xgyc

15、ddydy2221( )( )bxaVfxfx dx2221( )( )ydVgygy dy2221( )( )dycVgygy dyy例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点 O 及点及点 P(h,r)的直线、直线的直线、直线x=h 及及 x 轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底半径为转构成一个底半径为 r、高为、高为 h 的圆锥体，计算的圆锥体，计算圆锥体的体积圆锥体的体积 r解解hPxhry xo直线直线 方程为方程为OPdxxhrdV2 dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr a aoyx例例 2 2 求求星星形形线线323232ayx

16、)0( a绕绕x轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解33cossinxatyat 202aAy dx237930326(sinsin)105att dtasin0yxxxy求由曲线和 围成的平面图形绕 轴旋转所形成的旋转体的体积.例3参看教材224页oyx1sinyx解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )( xy绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)

17、(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a （2小柱壳法小柱壳法dxxfxVbay| )(|2 abxyox x d x体积元素柱壳） 2dVxfx dx体积为体积为 体积元素为小柱壳：体积元素为小柱壳：dV=2x |f(x)| dx (周长周长高高厚厚)xyo)(1xfy )(2xfy ab212( )( )ydVx fxf x dxX x+dxX x+dxxyo1( )xg y2( )xgycddydy212( )( )byaVx fxf x dx212( )( )xdVy gyg y

18、 dy212( )( )dxcVy gyg y dysin0yxxxy求由曲线和 围成的平面图形绕 轴旋转所形成的旋转体的体积.例1oyx1sinyx02sinyVxxdx柱壳法柱壳法dxxfxVbay| )(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 例例 3 3 求求由由曲曲线线24xy 及及0 y所所围围成成的的图图形形绕绕直直线线3 x旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积. 解解体积元素为：体积元素为：.64 3PQMdxdxxxdxxfxdV)4)(3(2)()3(222 , 2x222)4)(3(2dxxxV2223)1243(2dxxxx 例例4曲线曲线)2)(1( xxy和和x轴围成一平面图形，求此平面图形轴围成一平面图形，求此平面图形绕绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。轴旋转一周所成的旋转体的体积。解解 在在1，2上取积分元素，得上取积分元素，得,|2dxyxdV 21)2)(1(2|22121dxxxxdxyxV0.51.522.5-0.20.20.40.6例例5求由曲线求由曲线y=x2-