窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器

1、广州大学物理与电子工程学院广州大学物理与电子工程学院第五章 FIR数字滤波器的设计5.2 5.2 窗函数法设计线性相位窗函数法设计线性相位FIRFIR数字滤波器数字滤波器主要内容主要内容重点与难点重点与难点重点重点1、难点难点1、问题：问题： 理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应Hd (ejW W )已知，如何设计一已知，如何设计一物理可实现的滤波器，使其频响特性逼近物理可实现的滤波器，使其频响特性逼近Hd (ejW W )? jjjddd1 (e)(e)ed2kh kIDTFT HHWWWW hd k一般情况下是无限长非因果序列，一般情况下是无限长非因果序列，需对其进行需对其进行和和处理

2、。处理。(1) 将将hdk 关于关于k =0对称对称截短，即截短，即hk= hdk, L k L(2) 若若 hk非因果系统，可将其非因果系统，可将其右移右移使其成为因果系统使其成为因果系统hk= hdk L， 0 0 k 2L只能设计只能设计I型或型或III型线性相位型线性相位FIR滤波器滤波器(1) 由下式计算由下式计算hd k：(2) 计算出计算出hdk后，取其在后，取其在0 k M范围的值：范围的值：hk= hdk， 0 0 k M可设计四种类型的线性相位可设计四种类型的线性相位FIR滤波器滤波器jjdd1 (e)ed2kh kHWWWj(-0.5M)jd1( )eed2kAWWWW2

3、d12d02d1khkhkhkhMkMkkWWWd)e ()e (212jjd2HH22khkhdk结论：结论：上述方法所设计的滤波器是在上述方法所设计的滤波器是在积分平方积分平方 误差误差最小意义下的最佳滤波器。最小意义下的最佳滤波器。 1221 ddkk Mh kh k1根据要求确定线性相位根据要求确定线性相位FIR滤波器的滤波器的类型类型2确定理想滤波器的确定理想滤波器的幅度幅度函数函数Ad(W W)和和相位相位函数函数f fd(W W) 3按照下式计算按照下式计算IDTFT得得hdkWWWWfdee )(21j)(jdddkAkh4截短截短hdk得：得：hk= hdk， 0 0 k M

4、f fd(W W)= 0.5MW W + 设计一个幅度响应能逼近理想设计一个幅度响应能逼近理想带通带通滤波器的线滤波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。 (1) 确定线性相位确定线性相位FIR滤波器类型：可选用滤波器类型：可选用I型或型或II型型(2) 确定理想滤波器的幅度函数确定理想滤波器的幅度函数Ad(W W)：其他 0 1)(2c1cdWWWWAf fd(W W)= 0.5MW W (3) 确定理想滤波器的相位确定理想滤波器的相位f fd(W W)：设计一个幅度响应能逼近理想设计一个幅度响应能逼近理想带通带通滤波器的线滤波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。WWWWfdee )(

5、21j)(jdddkAkh(4) 计算计算IDTFT得得hdkWWWWWWWWde21de21)5 . 0(j)5 . 0(jc21c1c2cMkMk)5 . 0(Sa)5 . 0(Sac11cc22cMkMkWWWW(5) 截断截断hdkdkwkhkhN长度为长度为N=M+1的矩形窗的矩形窗设计一个幅度响应能逼近理想设计一个幅度响应能逼近理想带通带通滤波器的线滤波器的线性相位性相位FIR滤波器。滤波器。khk00A(W)W0.30.7单位脉冲响应单位脉冲响应 幅度函数幅度函数 取取W Wc1=0.3 ，W Wc2=0.7 ，M M 3030时，有：时，有： 0514030

6、21100M=14M=30矩形窗矩形窗设计的设计的FIR低通低通滤波器在不同阶数时的幅度函数滤波器在不同阶数时的幅度函数(W Wc= /2) 所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，且最大波纹大约为幅度的且最大波纹大约为幅度的9%9%，这个现象称为，这个现象称为Gibbs 现象。现象。 WWd)e()e(21)e()( jjdjNWHH由于所设计滤波器的单位脉冲响应由于所设计滤波器的单位脉冲响应dkwkhkhNN=M+1利用利用DTFT的性质可得所设计的性质可得所设计FIR滤波器的频率响应滤波器的频率响应 H(ejW W)逼近逼近

7、Hd(ejW W)的好坏，取决于窗函数的频谱的好坏，取决于窗函数的频谱WN(ejW W) 窗函数的频谱窗函数的频谱)2/sin()2/sin(e)e (2/ )1(jjWWWWNWN2NN04NW3N)(WW矩形窗的幅度矩形窗的幅度函数函数W(W W)1. W(W W)的主瓣宽度：的主瓣宽度： 4 /N2. 旁瓣相对衰减为常数：旁瓣相对衰减为常数：3()20lg(0)WNAW =13dBjd(e)( )( )NHDTFT h k wkW-j/2-j()/2d1( )e()ed2MMAWWW-j/2d1e( )()d2MAWWWj-j/2dd(e)( )eMHAWWWj-j/2(e)( )eMN

8、WWWWWjj()d1(e )(e)d2NHWWjjd1(e)(e)2NHWWWd1( )( )()d2AAWW WFIR滤波器的幅度函数：滤波器的幅度函数：102/cN W W 、当时：H(ejW W)主要由主瓣的面积确定。主要由主瓣的面积确定。H(ejW W)的波动由旁瓣引起。的波动由旁瓣引起。22/cNW W 、当时：d1( )( )()d2AAWW WFIR滤波器的幅度函数：滤波器的幅度函数：3cW W、当时：H(ejW W)逐渐减小，形成逐渐减小，形成了滤波器的过渡带。了滤波器的过渡带。 FIR滤波器过渡带的宽滤波器过渡带的宽度和窗函数主瓣的宽度度和窗函数主瓣的宽度密切相关。密切相关

9、。 d1( )( )()d2AAWW WFIR滤波器的幅度函数：滤波器的幅度函数：42/cNW W 、当时：H(ejW W)完全由旁瓣的面完全由旁瓣的面积确定。积确定。 旁瓣的大小决定了旁瓣的大小决定了FIR滤波器在阻带的衰减。滤波器在阻带的衰减。 d1( )( )()d2AAWW WFIR滤波器的幅度函数：滤波器的幅度函数： 矩形窗截断产生的波峰大约是矩形窗截断产生的波峰大约是9%，故用矩形窗设，故用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为：计出的滤波器阻带最大衰减为： 20lg0.09 21dB d1( )( )()d2AAWW WFIR滤波器的幅度函数：滤波器的幅度函数：1. 窗函数的窗函数的

10、主瓣主瓣宽度决定了宽度决定了H(ejW W )过渡带过渡带(4(4/N)/N)的宽度的宽度, ,窗函数长度窗函数长度N增大，过渡带减小。增大，过渡带减小。2. 旁瓣旁瓣的大小决定了的大小决定了FIR滤波器在滤波器在阻带阻带的衰减。的衰减。用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为：用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为： 20lg(9%) 21dB其他 001MkkwAp = 20lg(1 d dp) 0.82dB, As = 20lg(d ds ) 21dBd dp=d ds=0.094/N|()|jH e0.50.5cos(2 /)0 0 k MkMw k其他Ap =-20lg(1-dp) 0.0

11、56dB, As=-20lg(ds ) 44dBd dp=d ds =0.00640.540.46cos(2 /)0 0 k MkMw k其他Ap 0.019dB, As 53dBd dp=d ds =0.0022N0.420.5cos(2 /)0.08cos(4 /)0 0 k Mk MkMw k其他Ap 0.0017dB，As 74dBd dp=d ds =0.0002N此处此处 N N 为窗的长度。为窗的长度。dkwkhkhN用非矩形窗设计截频为用非矩形窗设计截频为W Wc =0.5 的线性相位理想的线性相位理想低低通通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。滤波器，并将设计结果与

12、利用矩形窗设计结果比较。(1) 确定线性相位确定线性相位FIR滤波器类型：可选用滤波器类型：可选用I型或型或II型型其他01)(cjdeAWWWf fd(W W)= 0.5MW W(2) 确定理想滤波器的幅度函数确定理想滤波器的幅度函数Ad(W W)和相位和相位f fd(W W)(3) 计算计算IDTFT得得hdk)5 . 0(SaccdMkkhWW(4) 截断截断hdk可以是汉宁可以是汉宁窗、哈明窗或窗、哈明窗或BlackmanBlackman窗窗用非矩形窗设计截频为用非矩形窗设计截频为W Wc =0.5 的线性相位理想的线性相位理想低低通通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。滤波

13、器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。051-80-60-52-200Square Hamming用非矩形窗设计截频为用非矩形窗设计截频为W Wc =0.5 的线性相位理想的线性相位理想低低通通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。051-100-75-60-40-200Square Blackman用非矩形窗设计截频为用非矩形窗设计截频为W Wc =0.5 的线性相位理想的线性相位理想低低通通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。200(1

14、1 2 / ) , 0( )Ik Mw kkMI 是一可调参数，调节窗函数的形状。是一可调参数，调节窗函数的形状。I0 0( (x ): ): 零阶第一类修正贝塞尔函数。零阶第一类修正贝塞尔函数。I0 0( (x ) )可用幂级数表示为：可用幂级数表示为：210!)2/(1)( nxxInn一般求一般求20项项就能达到所需精度。就能达到所需精度。0246810121416182000.51 =00246810121416182000.51 =10246810121416182000.51 =3其中，其中，A= 20lg (mind dp，d ds )21 ,285. 295. 7spAAMWW

15、21 , 05021 ),21(07886. 0)21(5842. 050 ),7 . 8(1102. 04 . 0AAAAAA 表示需设计的表示需设计的FIR滤波器的频带。滤波器的频带。 B个元素的向量个元素的向量, 表示表示FIR滤波器在滤波器在B个频带中的个频带中的 幅度值。一般对通带取值为幅度值。一般对通带取值为1，阻带取值为，阻带取值为0。 B个元素的向量个元素的向量, 表示表示FIR滤波器在滤波器在B个频带中个频带中 的波动值。的波动值。返回参数返回参数及及，分别表示，分别表示FIR滤波器阶数滤波器阶数M及及Kaiser窗的参数窗的参数 。返回参数返回参数和和是函数是函数fir1的

16、调用参数。的调用参数。表示滤波器的阶数。表示滤波器的阶数。表示理想表示理想FIR滤波器的滤波器的B个频带。个频带。表示滤波器的类型，缺省值为空。表示滤波器的类型，缺省值为空。是一长度为是一长度为N+1的向量的向量, 默认为默认为Hamming窗。窗。用用Kaiser窗设计满足下列指标的窗设计满足下列指标的I型线性相位型线性相位FIR低低通滤波器。通滤波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。(1) 由给定指标确定待逼近理想低通的截频由给定指标确定待逼近理想低通的截频W Wc 由于理想低通滤波器的由于理想低通滤波器的|H(ejW W)|在截频在截频W Wc

17、处收敛于处收敛于0.5，因此，因此常将常将截频截频W Wc取在过渡带的中点取在过渡带的中点W Wc =(W Wp + W Ws )/2=0.4 (2) 由给定指标确定由给定指标确定Kaiser窗的参数窗的参数N和和 0114. 0101p05. 0pAd01. 010s05. 0sAdA= 20lg(mind dp，d ds )=As=40dB3 .22285. 295. 7spWWAMI型线性相位滤波器阶数必须是偶数，取型线性相位滤波器阶数必须是偶数，取M=243953. 3)21(07886. 0)21(5842. 04 . 0AA用用Kaiser窗设计满足下列指标的窗设计满足下列指标的I

18、型线性相位型线性相位FIR低低通滤波器。通滤波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。(3) 设计截频设计截频W Wc =0.4 的的I I型型线性相位线性相位FIR低通滤波器低通滤波器其他01)(cdWWWjeA)5 . 0(SaccMk WWf fd(W W)= 0.5MW WWWWWfdee )(21j)(jdddkAkh()d2525 0.4Sa 0.4(12) h kh k wkkwk用用Kaiser窗设计满足下列指标的窗设计满足下列指标的I型线性相位型线性相位FIR低低通滤波器。通滤波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1d

19、B, As=40dB。单位脉冲响应单位脉冲响应设计结果设计结果增益响应增益响应 G(W W)= 20lg |H(ejW W)|用用Kaiser窗设计满足下列指标的窗设计满足下列指标的I型线性相位型线性相位FIR低低通滤波器。通滤波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通高通滤波器。滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗1) 由由过渡带过渡带宽度确定滤波器长

20、度宽度确定滤波器长度Nps750NW W可选可选I型型滤波器，取滤波器，取N=51；或选；或选IV型滤波器，取型滤波器，取N=502) 由给定指标确定待逼近理想高通的截频由给定指标确定待逼近理想高通的截频W Wc=0.62/ )(spcWWW一、采用一、采用Hamming窗截断，设计过程如下窗截断，设计过程如下3) 确定线性相位确定线性相位FIR滤波器类型：滤波器类型：ps7NW W 4) 设计截频设计截频W Wc =0.6 的的线性相位线性相位FIR高通滤波器高通滤波器由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截断，设

21、计过程如下窗截断，设计过程如下采用采用I型线性相位滤波器，型线性相位滤波器，N=51，M=50其他 021)e(ccjdWWWWAfd(W)= 0.5MW设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。4) 设计截频设计截频W Wc =0.6 的的线性相位线性相位FIR高通滤波器高通滤波器由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截断，设计过程如下窗截断，设计过程如下采用采用I型线性相位滤波器，型线性相

22、位滤波器，N=51，M=50WWWWfdee )(21j)(jd2ddkAkhWWWWWdee21j5 . 0j2cckM)5 . 0(Sa5 . 0ccMkMkWWd截断，得截断，得I型线性相位型线性相位FIR高通滤波器的单位脉冲响应高通滤波器的单位脉冲响应hk=hdkw51k设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。4) 设计截频设计截频W Wc =0.6 的的线性相位线性相位FIR高通滤波器高通滤波器由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或

23、窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截断，设计过程如下窗截断，设计过程如下采用采用IV型线性相位滤波器，型线性相位滤波器，N=50，M=49其他 021)e(ccjdWWWWAfd(W)= 0.5MW0.5设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。4) 设计截频设计截频W Wc =0.6 的的线性相位线性相位FIR高通滤波器高通滤波器由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截断，

24、设计过程如下窗截断，设计过程如下采用采用IV型线性相位滤波器，型线性相位滤波器，N=50，M=49WWWWfdee )(21j)(jd2ddkAkhWWWWWdeje21j5 . 0j2cckM()5 .0()5 .0(coscMkMkW截断，得截断，得IV型线性相位型线性相位FIR高通滤波器的单位脉冲响应高通滤波器的单位脉冲响应hk=hdkw50k设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。用用Hamming窗设计的窗设计的W Wc=0.6 FIR HP滤波器的幅度响应

25、滤波器的幅度响应0111080530Gain response of highpass FIR filterNormalized frequencyGain, dBtype I type IVI 型型 N=51 IV型型 N=50由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗二、采用二、采用Hamming窗截断，利用窗截断，利用MATLAB实现实现%Program:利用利用hamming窗设计窗设计FIR高通滤波器高通滤波器%filter specificationWp=0.67*pi;Ws=0.53*pi;Ap=0.3;As=50;%d

26、etermine the length of the filter N=ceil(7*pi/(Wp-Ws);N=mod(N+1,2)+N;M=N-1;fprintf(N=%.0fn,N);%generate windoww=hamming(N);设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As确定截断所用窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗二、采用二、采用Hamming窗截断，利用窗截断，利用MATLAB实现实现%cutoff freque

27、ncy of ideal highpass filterWc=(Wp+Ws)/2;k=0:M;hd=-(Wc/pi)*sinc(Wc*(k-0.5*M)/pi);hd(0.5*M+1)=hd(0.5*M+1)+1;h=hd.*w;omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,1,omega);magdb=20*log10(abs(mag);plot(omega/pi,magdb);设计一满足下列指标的线性相位设计一满足下列指标的线性相位 FIR高通滤波器。高通滤波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As确定截断所用

28、窗函数确定截断所用窗函数:Hamming窗或窗或Kaiser窗窗三、采用三、采用Kaiser窗截断，利用窗截断，利用MATLAB实现实现%Program:利用利用Kaiser窗窗设计设计FIR高通滤波器高通滤波器Ap=0.3;As=50;Rp=1-10.(-0.05*Ap);Rs=10.(-0.05*As);f=0.53,0.67;a=0,1;dev=Rp,Rs;M,Wc,beta,ftype = kaiserord(f,a,dev);%使滤波器为使滤波器为I型型M=mod(M,2)+M;h = fir1(M,Wc,ftype,kaiser(M+1,beta)omega=linspace(0,pi,51