matlab-曲线拟合 ppt课件

1、曲线拟合工具箱曲线拟合定义曲线拟合定义在实践工程运用和科学实际中，经常需求寻求在实践工程运用和科学实际中，经常需求寻求两个或多个变量间的关系，而实践去只能两个或多个变量间的关系，而实践去只能经过观测得到一些离散的数据点。针对这些分经过观测得到一些离散的数据点。针对这些分散的数据点，运用某种他和方法生成一条延续散的数据点，运用某种他和方法生成一条延续的曲线，这个过程称为曲线拟合。的曲线，这个过程称为曲线拟合。曲线拟合可分为：曲线拟合可分为： 1参数拟合参数拟合 - 最小二乘法最小二乘法 2非参数拟合非参数拟合 - 插值法插值法一、数据预处置一、数据预处置在曲线拟合之前必需对数据进展预处置，去在曲

2、线拟合之前必需对数据进展预处置，去除界外值、不定值和反复值，以减少人为误除界外值、不定值和反复值，以减少人为误差，提高拟合的精度。差，提高拟合的精度。数据预处置包括：数据预处置包括：1数据输入与查看数据输入与查看2数据的预处置数据的预处置传输数据经过数据传输数据经过数据GUI来实现，查看数据点来实现，查看数据点经过曲线拟合工具的散点图来实现。经过曲线拟合工具的散点图来实现。1.输入和查看数据集输入和查看数据集1翻开曲线拟合工具界面翻开曲线拟合工具界面 经过经过cftool命令翻开曲线拟合工具界面命令翻开曲线拟合工具界面5个命令按钮个命令按钮Data按钮：可输出、查看和平滑数据；按钮：可输出、查

3、看和平滑数据；Fitting按钮：可拟合数据、比较拟合曲线和按钮：可拟合数据、比较拟合曲线和数据集；数据集；Exclude按钮：可以从拟合曲线中排除特殊按钮：可以从拟合曲线中排除特殊的数据点；的数据点；Ploting按钮：在选定区间后，单击按钮，按钮：在选定区间后，单击按钮，可以显示拟合曲线和数据集；可以显示拟合曲线和数据集；Analysis按钮：可以做内插法、外推法、按钮：可以做内插法、外推法、微分或积分拟合。微分或积分拟合。2输入数据集输入数据集 在输入数据之前，数据变量必需存在于在输入数据之前，数据变量必需存在于matlab的任务区间。可以经过的任务区间。可以经过load命令输命令输入变

4、量。单击曲线拟合工具界面中的入变量。单击曲线拟合工具界面中的Data按钮，翻开按钮，翻开Data对话框，在对话框中进展设对话框，在对话框中进展设置，可以输入数据。置，可以输入数据。Data对话框对话框包括两个选项卡：包括两个选项卡：Data Sets 和和 Smooth.Data Sets选项卡：选项卡：.Import workspace vectors 把向量输把向量输入任务区，要留意的是变量必需具有一样的入任务区，要留意的是变量必需具有一样的维数，无穷大的值和不定值被忽略。维数，无穷大的值和不定值被忽略。X data 用于选择观测数据用于选择观测数据Y data 用于选择用于选择X的呼应数

5、据的呼应数据Weight 用于选择权重，与呼应数据相联络用于选择权重，与呼应数据相联络的向量，假设没选择，默许值为的向量，假设没选择，默许值为1.Preview 对所选向量进展图形化预览对所选向量进展图形化预览.Data set name 设置数据集的称号。工设置数据集的称号。工具箱可以随即产生独一的文件名，但用户具箱可以随即产生独一的文件名，但用户可以重命名。可以重命名。.Data sets 选项以列表的方式显示一切拟选项以列表的方式显示一切拟合的数据集。中选择一个数据集时，可以合的数据集。中选择一个数据集时，可以对它做如下操作：对它做如下操作： .View 查看数据集，以图标方式和列表方查

6、看数据集，以图标方式和列表方式，可以选择方法排除异常值；式，可以选择方法排除异常值； .Rename 重命名重命名 .Delete 删除数据组删除数据组例：输入数据，采用例：输入数据，采用matlab自带的文件自带的文件censuscensus 有两个变量：有两个变量：cdate和和pop。 cdate是一个年向量，包括是一个年向量，包括1790-1990年，年， pop是对应年份的美国人口。是对应年份的美国人口。 whos -file census Name Size Bytes Class Attributes cdate 21x1 168 double pop 21x1 168 doub

7、le load census cftool(cdate,pop)散点图散点图单击单击Data按钮按钮在在X data和和Y data两个下拉式列表框中选两个下拉式列表框中选择变量名，将在择变量名，将在Data对话框中显示散点图的对话框中显示散点图的预览效果：预览效果：中选择中选择Data sets列表框中的数据集时，单列表框中的数据集时，单击击View按钮，翻开按钮，翻开View Data Set对话框对话框任务表方式任务表方式2.数据的预处置数据的预处置在曲线拟合工具箱中，数据的预处置主要包在曲线拟合工具箱中，数据的预处置主要包括平滑法、排除法和区间排除法等。括平滑法、排除法和区间排除法等。

8、(1)平滑数据平滑数据翻开拟合工具箱，单击翻开拟合工具箱，单击Data按钮，翻开按钮，翻开Data对话框，选择对话框，选择Smooth选项卡选项卡Smooth选项卡各选项的功能：选项卡各选项的功能：.Original data set 用于挑选需求拟合的用于挑选需求拟合的数据集；数据集；.Smoothed data set平滑数据的称号；平滑数据的称号；.Method用于选择平滑数据的方法，每一个用于选择平滑数据的方法，每一个相应数据用经过特殊的曲线平滑方法所计相应数据用经过特殊的曲线平滑方法所计算的结果来取代。平滑数据的方法包括：算的结果来取代。平滑数据的方法包括：Moving averag

9、e 用挪动平均值进用挪动平均值进展交换；展交换；Lowess部分加权散点图平滑数据，部分加权散点图平滑数据，采用线性最小二乘法和一阶多项式拟合得采用线性最小二乘法和一阶多项式拟合得到的数据进展交换；到的数据进展交换；Loess部分加权散点图平滑数据，采部分加权散点图平滑数据，采用线性最小二乘法和二阶多项式拟合得到用线性最小二乘法和二阶多项式拟合得到的数据进展交换；的数据进展交换；Savitzky-Golay 采用未加权的线采用未加权的线性最小二乘法过滤数据，利用指定阶数的性最小二乘法过滤数据，利用指定阶数的多项式得到的数据进展交换；多项式得到的数据进展交换；Span用于进展平滑计算的数据点的用

10、于进展平滑计算的数据点的数目；数目；Degree 用于用于Savitzky-Golay方方法拟合多项式的阶数。法拟合多项式的阶数。.Smoothed data sets 对于一切平滑数对于一切平滑数据集进展列表。可以添加平滑数据集，经据集进展列表。可以添加平滑数据集，经过单击过单击Create smoothed data set按按钮，可以创建经过平滑的数据集。钮，可以创建经过平滑的数据集。.View按钮按钮 翻开查看数据集的翻开查看数据集的GUI，以散点，以散点图方式和任务表方式查看数据，可以选择图方式和任务表方式查看数据，可以选择排除异常值的方法。排除异常值的方法。.Rename用于重命名

11、。用于重命名。.Delete可删去数据组。可删去数据组。.Save to workspace保管数据集。保管数据集。2排除法和区间排除法排除法和区间排除法排除法是对数据中的异常值进展排除。排除法是对数据中的异常值进展排除。区间排除法是采用一定的区间去排除那些用区间排除法是采用一定的区间去排除那些用于系统误差导致偏离正常值的异常值。于系统误差导致偏离正常值的异常值。在曲线拟合工具中单击在曲线拟合工具中单击Exclude按钮，可以按钮，可以翻开翻开Exclude对话框对话框Exclusion rule name指定分别规那么的称指定分别规那么的称号号Existing exclusion rules

12、列表产生的文件列表产生的文件名，当他选择一个文件名时，可以进展如下操名，当他选择一个文件名时，可以进展如下操作：作： Copy 复制分别规那么的文件；复制分别规那么的文件； Rename重命名；重命名；delete 删去一个文件；删去一个文件； View以图形的方式展现分别规那么的文件。以图形的方式展现分别规那么的文件。Select data set 挑选需求操作的数据集；挑选需求操作的数据集；Exclude graphically允许他以图形的方式去允许他以图形的方式去除异常值，排除个别的点用除异常值，排除个别的点用“标志。标志。Check to exclude point 挑选个别的点挑选

13、个别的点进展排除，可以经过在数据表中打勾来选进展排除，可以经过在数据表中打勾来选择要排除的数据。择要排除的数据。Exclude Sections 选定区域排除数据：选定区域排除数据： Exclude X选择预测数据选择预测数据X要排除的数据要排除的数据范围；范围； Exclude Y选择呼应数据选择呼应数据Y要排除的数据要排除的数据范围。范围。3其他数据预处置方法其他数据预处置方法其他的预处置方法不便经过曲线拟合工具箱其他的预处置方法不便经过曲线拟合工具箱来完成，主要包括两部分：来完成，主要包括两部分：呼应数据的转换和去除无穷大、缺失值和异呼应数据的转换和去除无穷大、缺失值和异常值。常值。呼应

14、数据的转换普通包括对数转换、指数转呼应数据的转换普通包括对数转换、指数转换，用这些转换可以使非线性的模型线性换，用这些转换可以使非线性的模型线性化，便于曲线拟合。变量的转换普通在命令化，便于曲线拟合。变量的转换普通在命令行里实现，然后把转换后的数据输入曲线拟行里实现，然后把转换后的数据输入曲线拟合工具箱，进展拟合。合工具箱，进展拟合。无穷大、不定值在曲线拟合中可以忽略，如无穷大、不定值在曲线拟合中可以忽略，如果想把他们从数据集中删除，可以用果想把他们从数据集中删除，可以用isinf和和isnan置换无穷大值和缺失值。置换无穷大值和缺失值。二、曲线拟合二、曲线拟合Matlab提供两种曲线拟合方法

15、：提供两种曲线拟合方法：1以函数的方式，运用命令对数据进展以函数的方式，运用命令对数据进展拟合。这种方法比较繁琐，需求对拟合函拟合。这种方法比较繁琐，需求对拟合函数有比较好的了解。数有比较好的了解。2用图形窗口进展操作，具有简便、快用图形窗口进展操作，具有简便、快速，可操作性强的优点。速，可操作性强的优点。1.多项式拟合函数多项式拟合函数(1)Polyfit函数P=polyfit(x,y,n)用最小二乘法对数据进展拟合，前往n次多项式的系数，并用降序陈列的向量表示，长度为n+1.1121)(nnnnpxpxpxpxpp,s=polyfit(x,y,n)前往多项式系数向量前往多项式系数向量p和矩

16、阵和矩阵s。s与与polyval函数一同用时，可以得到预测值的函数一同用时，可以得到预测值的误差估计。如数据误差估计。如数据y的误差服从方差为常数的的误差服从方差为常数的独立正态分布，独立正态分布，polyval函数将生成一个误函数将生成一个误差范围，其中包含至少差范围，其中包含至少50%的预测值的预测值.p,s,mu=polyfit(x,y,n)前往多项式的系数，mu是一个二维向量u1,u2,u1=mean(x),u2=std(x),对数据进展预处置 x=(x-u1)/u2(2)Polyval函数函数利用该函数进展多项式曲线拟合评价利用该函数进展多项式曲线拟合评价y=polyval(p,x)

17、前往前往n阶多项式在阶多项式在x处的值，处的值，x可以是一个矩可以是一个矩阵或者是一个向量，向量阵或者是一个向量，向量p是是n+1个以降序个以降序陈列的多项式的系数。陈列的多项式的系数。.y=polyval(p,x,mu)用用x=(x-u1)/u2替代替代x，其中，其中mu是一个是一个二维向量二维向量u1,u2,u1=mean(x),u2=std(x),经过这经过这样处置数据，使数据合理化。样处置数据，使数据合理化。y,delta=polyval(p,x,s)y,delta=polyval(p,x,s,mu)产生置信区间产生置信区间ydelta。假设误差结果服从。假设误差结果服从规范正态分布，

18、那么实测数据落在规范正态分布，那么实测数据落在ydelta区区间内的概率至少为间内的概率至少为50%。例例 x=0 0.0385 0.0963 0.1925 0.2888 0.385; y=0.042 0.104 0.186 0.338 0.479 0.612; p,s,mu=polyfit(x,y,5)输出结果为：p = Columns 1 through 5 0.0193 -0.0110 -0.0430 0.0073 0.2449 Column 6 0.2961阐明拟合的多项式为：2961. 02449. 00073. 0043. 00110. 00193. 02345 xxxxxs =

19、R: 6x6 double df: 0 normr: 2.3684e-016mu = 0.1669 0.1499自在度为自在度为 0 规范偏向为规范偏向为 2.3684e-016例例:根据表中数据进展根据表中数据进展4阶多项式拟合阶多项式拟合X1345678910F(x) 10 54211234 x=1 3 4 5 6 7 8 9 10; y=10 5 4 2 1 1 2 3 4; p,s=polyfit(x,y,4); y1=polyval(p,x); plot(x,y,go,x,y1,b-)1234567891012345678910 poly2str(p,t)ans = -0.00499

20、45 t4 + 0.11461 t3 - 0.61143 t2 - 1.1005 t + 11.5499例：电阻和温度的关系数据如下例：电阻和温度的关系数据如下求求60度时的电阻度时的电阻.温度温度 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻 765 826 873 942 1032 T=20.5 32.7 51 73 95.7; R=765 826 873 942 1032; a=polyfit(T,R,1); y=poly2str(a,t) y = 3.3987 t + 702.0968 y=polyval(a,T) %计算多项式在某一计算多项式在某一点处的值点处的值y =

21、1.0e+003 *0.7718 0.8132 0.8754 0.9502 1.0274 plot(T,R,k+,T,y,r*) hold on plot(T,y,b) polyval(a,60)ans = 906.0212203040506070809010075080085090095010001050例：知年龄和运动才干的一组数据，试确定二例：知年龄和运动才干的一组数据，试确定二者的关系者的关系(根据图形指定次数根据图形指定次数)年龄年龄 17 19 21 23 25 27 29第一人第一人20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35第二人第二人24.35

22、 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3 x1=17:2:29; x=x1 x1; y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3; plot(x,y,r+)16182022242628301820222426283032 a=polyfit(x,y,2)a = -0.2019 8.9782 -72.2150 poly2str(a,x)ans = -0.20191 x2 + 8.9782 x - 72.215 x1=17:0.1:29; y1=-0.20191*

23、x1.2+8.9782*x1-72.215; hold on;plot(x1,y1,b)16182022242628301820222426283032数据拟合函数表数据拟合函数表cfit产生拟合的目标产生拟合的目标fit用库模型、自定义模型、平滑样条或用库模型、自定义模型、平滑样条或内插方法来拟合数据内插方法来拟合数据fitoptions产生或修改拟合选项产生或修改拟合选项fittype产生目标的拟合形式产生目标的拟合形式cflibhelp显示一些信息，包括库模型、三次样显示一些信息，包括库模型、三次样条和内插方法等。条和内插方法等。disp显示曲线拟合工具的信息显示曲线拟合工具的信息get

24、返回拟合曲线的属性返回拟合曲线的属性set对于拟合曲线显示属性值对于拟合曲线显示属性值数据拟合函数表数据拟合函数表excludedata指定不参与拟合的数据指定不参与拟合的数据smooth平滑响应数据平滑响应数据confint计算拟合系数估计值的置信区间边界计算拟合系数估计值的置信区间边界differentiate对于拟合结果求微分对于拟合结果求微分integrate对于拟合结果求积分对于拟合结果求积分predint对于新的观察量计算预测区间的边界对于新的观察量计算预测区间的边界datastates返回数据的描述统计量返回数据的描述统计量feval估计一个拟合结果结果或拟合类型估计一个拟合结果

25、结果或拟合类型plot画出数据点、拟合线、预测区间、异画出数据点、拟合线、预测区间、异常值点和残差常值点和残差2.曲线的参数拟合曲线的参数拟合第一步：在命令行键入第一步：在命令行键入Cftool翻开翻开 curve fitting tool对话框；对话框；第二步：第二步： 在在curve fitting tool对话框中对话框中 单击单击Data按钮翻开按钮翻开data对话框指对话框指 定要分析的预先存在任务区间定要分析的预先存在任务区间 数据；数据；第三步：在第三步：在curve fitting tool对话框中对话框中 单击单击fitting按钮翻开按钮翻开fitting对话对话 框，进展

26、设置，实现曲线拟合。框，进展设置，实现曲线拟合。Fitting对话框对话框包括两个面板：包括两个面板：“Fit Editor面板和面板和“Tabe of Fits面板。面板。1Fit editor 选择拟合的文件名、数据选择拟合的文件名、数据集，选择排除数据的文件，比较数据拟合集，选择排除数据的文件，比较数据拟合的各种方法，包括库函数、自定义的拟合的各种方法，包括库函数、自定义的拟合模型和拟合参数的选择。模型和拟合参数的选择。2Table of Fits 同时列出一切的拟合同时列出一切的拟合结果。结果。两个面板的详细描画：两个面板的详细描画：New fit 和和 Copy fit 按钮：开场进

27、展曲线按钮：开场进展曲线拟合是，单击拟合是，单击New fit按钮，它采用默许按钮，它采用默许的线性多项式拟合数据。在原有的拟合方的线性多项式拟合数据。在原有的拟合方式上，选择不同的曲线拟合方法，可以用式上，选择不同的曲线拟合方法，可以用Copy fit 按钮。按钮。Fit name 选项为当前拟合曲线的名字。单选项为当前拟合曲线的名字。单击击New fit 按钮时系统会产生默许的文件按钮时系统会产生默许的文件名。名。Data set 选项为当前的数据集。选项为当前的数据集。Exclusion rule 排除异常值的文件名，在排除异常值的文件名，在数据预处置前建立的文件名。数据预处置前建立的文

28、件名。Center and scale X data 可对观测数据可对观测数据进展中心化和离散化处置。进展中心化和离散化处置。Type of fit 拟合的类型，包括参数拟合和拟合的类型，包括参数拟合和非参数拟合两种。详细包括：非参数拟合两种。详细包括：1Custom Equations 自定义拟合的自定义拟合的线性或非线性方程；线性或非线性方程；2New equation 运用运用Custom Equations 按钮钱，必需单击按钮钱，必需单击New equation 按钮选择适宜的方程；按钮选择适宜的方程；3Exponential指数拟合包括两种方式： y=a*exp(b*x) y=a*

29、exp(b*x)+c*exp(d*x)4Fourier傅立叶拟合，正弦和余弦之和共8个多项式 )*8sin()*8cos()*sin()*cos()*2sin()*2cos()*sin()*cos()*sin()*cos(8811022110110wxbwxawxbwxaawxbwxawxbwxaawxbwxaa 5Gaussian 高斯法，包括8个公式：)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*888111111cbxacbxacbxa 6Interpolant 内插法，包括线性内插、最近邻内插、三次样条内插和shape-preserving内插；7Polyno

30、mial多项式，从一次到九次；8Rational有理拟合，两个多项式之比，有理拟合，两个多项式之比，分子与分母都是多项式；分子与分母都是多项式；9Power指数拟合，包括两种方式：指数拟合，包括两种方式： y=a*xb y=a*xb+c10Smoothing spline 平滑样条拟合，平滑样条拟合，默许的平滑参数由拟合的数据集来决议，默许的平滑参数由拟合的数据集来决议，参数是参数是0产生一个分段的线性多项式拟合，产生一个分段的线性多项式拟合，参数是参数是1产生一个分段三次多项式拟合；产生一个分段三次多项式拟合；11Sum of Sin Functions 正弦函数正弦函数的和，采用以下的和，

31、采用以下8个公式：个公式： a1*sin(b1*x+c1) a1*sin(b1*x+c1)+ a8*sin(b8*x+c8)12Weibull 两个参数的两个参数的Weibull分布，分布，表达式如下：表达式如下： Y=a*b*x(b-1)*exp(-a*xb)Fit options 包括一些拟合方法，如线性拟包括一些拟合方法，如线性拟合、非线性拟合，以及其他选项；合、非线性拟合，以及其他选项；单击单击Apply按钮：采用上述所选各种方法进按钮：采用上述所选各种方法进展拟合；展拟合；单击单击Immediate apply按钮，在选择一个按钮，在选择一个拟合方式后立刻输出结果并存储；拟合方式后立

32、刻输出结果并存储；Results罗列进展拟合的各种参数：罗列进展拟合的各种参数：1SSE-sum of squares due to error 误差平方和，越接近误差平方和，越接近0曲线的拟合曲线的拟合效果越好效果越好2R-square 越接近越接近1，曲线的拟合效，曲线的拟合效果越好果越好3Degree of Freedom Adjusted R-Square 调整自在度以后的残差的平方，调整自在度以后的残差的平方，数值越接近数值越接近1，曲线的拟合效果越好，曲线的拟合效果越好4Root Mean Square Error 根的均根的均方误差方误差Table of fits 拟合曲线的列表

33、，可以对每拟合曲线的列表，可以对每个列表做如下操作：个列表做如下操作：Delete fit 删除所选的拟合曲线；删除所选的拟合曲线；Save to workspace 储存一切的拟合信储存一切的拟合信息；息；Table options 选择与拟合相联络的信息。选择与拟合相联络的信息。例：用三次和五次多项式拟合以下数据例：用三次和五次多项式拟合以下数据rand(state,0) %重置生成器到初始形状x=1:0.1:3 9:0.1:10;c=2.5 -0.5 1.3 -0.1;y=c(1)+c(2)*x+c(3)*x.2+c(4)*x.3+(rand(size(x)-0.5);cftool(x,

34、y);建立一个M文件，并运转上述文件，翻开曲线拟合工具点击点击fitting按钮按钮new fitcubic polynomial-applyresultsLinear model Poly3: f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -0.09837 (-0.1095, -0.08729) p2 = 1.275 (1.113, 1.437) p3 = -0.4351 (-1.092, 0.2222) p4 = 2.56 (1.787, 3.332)Goodness of f

35、it: SSE: 2.587 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9993 RMSE: 0.3039Results：Linear model Poly5: f(x) = p1*x5 + p2*x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.00 9 (-0.003589, 0.006367) p2 = -0.03441 (-0.1601, 0.09125) p3 = 0.1934 (-0.9131, 1.3) p4 = 0.2733 (-3.8

36、56, 4.402) p5 = 1.013 (-5.785, 7.811) p6 = 1.835 (-2.167, 5.837)Goodness of fit: SSE: 2.552 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9992 RMSE: 0.3133拟合图形：拟合图形：例：用有理拟合方法拟合数据例：用有理拟合方法拟合数据hahn1.mhahn1.m是是matlab自带，描画铜的热膨自带，描画铜的热膨胀与热力学温度的相关性，包括两个向量胀与热力学温度的相关性，包括两个向量temp与与thermex。 load hahn1 cftool(temp,the

37、rmex) 分子分母均为分子分母均为2次次分子分母均为分子分母均为3次次分子三次、分母二次分子三次、分母二次分子三次、分母二次的有理多项式拟合效果分子三次、分母二次的有理多项式拟合效果很好，拟合曲线充分表达了整个数据，残很好，拟合曲线充分表达了整个数据，残差随机分布在差随机分布在0附近。附近。3.非参数拟合非参数拟合 有时我们对拟合参数的提取或解释不感有时我们对拟合参数的提取或解释不感兴趣，只想得到一个平滑的经过各数据点的兴趣，只想得到一个平滑的经过各数据点的曲线，这种拟合曲线的方式称之为非参数拟曲线，这种拟合曲线的方式称之为非参数拟合。合。 非参数拟合的方法包括非参数拟合的方法包括1插值法插值法Interpolants2平滑样条内插法平滑样条内插法Smoothing spline 内插法：内插法：在知数据点之间估计数值的过程，包括在知数据点之间估计数值的过程，包括Linear 线性内插，在每一队数据之间用不线性内插，在每一队数据之间用不同的线性多项式拟合；同的线性多项式拟合；Nearest neighbor 最近邻内插，内插点最近邻内插，内插点在最相邻的数据点之间；在最相邻的数据点之间；Cubic spline 三次样条内插，在每一队数三次样条内插，在每一队数据之间用不同的三次多项式拟合；据之间用不同的三次多项式拟合；Shape-preserving 分段三次艾尔米特内