厦门大学第景润杯数学竞赛试卷答案理工类

1、 求下列各题极限（每小题 5 5 分，共 1515 分） （1 1）求极限吧0 (32sinx)x-3x 其中:在xln(3+2sinx)与xln3之间,在(3+2sinx)与3之间. 设x1=1,x2=2,Xn=xnj+xn_2(n=2,3,HI,HI) ), ,求极限lim. n-1,xn。，且xn-xn=xni。，即%严格 单增，所以xn=xnJxmD xln(32sinx)-ln3 12sinx 2sinx 3.（两次应用拉格朗日中值定理） 所以0Elim工Mlim1=0,即lim1=0. n一：xnn3nJnf：xn (2) (3)设可微函数f(x)满足lim四=1,求x0 x t/

2、2 0dx，f(,x2y2)2ydy t3 解：由也=1得f(0)=0,f(0)=1. uf(u) du 22 、u-x .tf(t)二f(t)-f(0) =limV=一lim-=f(0)=. t03t23t0t33 1c. 、(8分)设函数 f(u)可导，且满足 af(x)+bf()=,其中 a,b,c 是 xx 常数，且|a|#|b|,求 f(f(x)的导数. lim tp -t2-x2 y2)2ydy=2。 f(x2y2)dy ,2 lim t-0- x2y2)2ydy t3 二lim- t_o- .t,tuf(u), 2dxdu 0 x22 u-x t1 uf(u)du一00. =2l

3、imu t0,t3 J=dx 22 一x T0uf(u)du =2lim2 t 0uf(u)du t3 t3 解: af(x)bf(1)=C,xx 由，1, af()bf(x)=cxx (1) ,(1)a(2)Mb,得 c.a.ca 2-2-(一-2bb)-2-2(一-2-b)(代入U) (a-b)u(a-b)x c2a(a2-b2)2ana =/2；、22-(-bx)b(-2b). (a-b)cxx 三、(8分)设函数 f(x)在0,1上有连续的导数，且 f(0)=1(1)=0, 证明至少存在一点匕(0,1),使得 f(E)=f). . 证明：构造辅助函数 F(x)=eqf(x),则 F(x

4、)在0,1上连续可导，且L(x)=ef0,此时 F(x),F(1)F(0)=0,ef(1)0,从而F(1)0,这与F(1)=limF，(x)之0矛盾, x：1- (ii)(ii) 对 Vxw(0,1),F(x)0,此时 F(x),F(1)F(0)=0,ef(1)0,这与F(1)=limF(x)E0矛盾。 x：1- 从而至少存在一点(0,1),使得 f)=f). 一 sin二 x 四、(8分)证明不等式 sx(1-x)(0 x0 JI 1 1 F(1)=2-n0,故乂=0和1是F(x)的极小值点，x=2是F(x)的极大值点。 由罗尔定理，在区间(0,2)上，F(x)”(2-sinnx)仅有唯一的

5、一个零 2 二 21 点彳，当0 x0,当彳x3时，F(x)F(0)=0 ,一，、，一、1,一,、，2 类似地，由罗尔定理，在区间(Li)上，F”(x)=n(sinnx)仅有唯一2二 的一个零点G,当gcxcj时，F(x)0,当0 x0,又 111 Fg)=F(1)=0,因此在(万,1)上，Fx)F(1)=0,综上所述,F(x)在区间(0,1)上恒大于零,即F(x)在0,1上的最小值为F(0)=0,即F(x)0,Vxw(0,1),从而不等式成立。 五、设 f(x),g(x)是a,b上的连续函数，且对”严a,b有 f(x)-f(y)g(x)-g(y)(b-a)ff(x)g(x)dx;a-a-a

6、(ii)利用(i)证：若 f(x)是0,1上的连续函数，且对 vx0,1有 1 f(x)dx dx1 1 -0f(x)dx 证：(i)(i)由f(x)-f(y)g(x)-g(y)”0 得 f(x)g(x)f(y)g(y)f(x)g(y)f(y)g(x) 不等式两端在 D D 上求二重积分，其中D=(x,y)|ayb,axb,即 .f(x)g(x)dxdy-！f(y)g(y)dxdy三.f(x)g(y)dxdynf(y)g(x)dxdy DDDD bbb 即(b-a)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx aaa (ii)(ii)由于fx-与1-f(x)在上0,10,1具有反序性，则由(i

7、)i)1-f(x)f(x) 1-f(x) 1f(x) (-(1-f(x)dx 三 01 f(x)( 1 0f(x)dx= 1f(x) 01-f(x) 1 dx1-0f(x)dx 2 _ 六、（1010 分）已知曲线C:y=x,在纵坐标为y=1的点处的切线z=3（y.1） 为 L,n是通过 L且与曲面工：x34567+y2=4z相切的平面，求 n的方程. L2 x=y 解：若以y为参数，曲线 C C 的参数方程为C:y=y,C在对应y=1 z=3（y-1） 点（1,1,0）处的切向量为x0,所以 1f(x),-dxdx_ 01-f(x) 1 0f(x)dx 1 1-f(x)dx -0 F 工在点

8、M0（x0,y0,z0）处的法向重为 x F 3M0 ,F -:z =2x0,2y。,-4, M0 由于所求的平面 n n 与工相切，因此九应满足 3-2,-1 2x0-2y;-4 并且与线段 OA围成的闭区域 D的面积为 1,求关于坐标的曲线积分 I=1(3+by+exsiny)dx+(ax+excosy)dy(其中 L为逆时针方向)L 解：先确定 a,b,再计算 I. f兀 sinx-cosx0Hx:一 2由 f(x)的积分表达式f(x)=|sinx|-|cosx卜冗 sinxcosx_x三二 2 于是f(x)=0的根为x=J之，并且44 3-:-：3三尺B_ f()=J 工 cost|d

9、t=:+J；1cost|dt=sinx|2sinx|；=2V2 444242 3二立二三二三二 f()=L4|cost|dt 二L2，89|cost|dt=sinx|2.-sinx 广=2-2 4工 4,515 JIJIJI f(0)=plcost|dt=p2costdt=sinx|(2=1 8二3二3二 f(二)=_2|cost|dt=-2costdt=-sinx|2二 1JIJ 所以 a=maxf(-) .二.3二.、一 b=minf(4),f(34),f(0),f(-)=2-2 =.(3(2-、2)yexsiny)dx(2xexcosy)dy L (,2xecosy);3(2-、2)ye

10、siny.：一：dxdy Dxy -.(3(2-2)yexsiny)dx(2xexcosy)dyOA =H(2拒-2)dxdy-13dx=(22)-3=2啦-5.D(由格林公式) QQ 八、(10(10 分)设哥级数anxn的系数满足a0=2,nan=an+n_1,n至1, n=0 QQ 则Sx)=nanxn，由条件nan=an+n1,有 n4 oOoOoO 八(n-1)xn=S(x)八nxn=S(x)xnxn nz4n=4n=4 解此一阶线性微分方程，得S(x)=cex+.由S(0)=2,得c=1,故 1-x S(x)*七. 九、(12(12 分)设L是过原点，方向为 3 3, ,昆丁)(其

11、中 222 直线， 均匀椭球勺+胃+勺E1(其中0cba,密度为1)绕L旋转abc (1)(1)求其转动惯量; (2)(2)其转动惯量关于方向3,比Y)的最大值和最小值. 解：(1)设旋转轴L的方向向量为(B,P,Y),椭球内任意一点P(x,y,z)到 旋转轴L的距离的平方为 d10=x2y2z2-(x,y,z)(二，：，)2=x2y2z2-(x，二y：z)2 二(1T-2)X2(1-,2)y2(11;2)z2-2xy-：2yz.：；,-2xz: 由积分区域的对称性，W2xytP+2yzW+2xzadxdydz=0, Q 222 其中C=(x,y,z)|x7十七十、E1,而abc 10a2 求

12、此募级数的和函数 S(x). . =S(x)x( iS(x)七 解：设S(x)anx1 0 OO S(x)=，anx n4 a2十02”2=1)的 ,x2-4a11bc： /)dx= 11ixdxdydz=xdxiiya1 七21Kdydz=x .22-2 bca (2)(2)设考虑目标函数(1ot12a2+(邛2b)2+(42c在约束条件 1+片+21下的条件极值.设拉格朗日函数为 L(:,-,)=(1-:2)a2(1-2)b2(1-2)c2(:22-1) 令L-=2二(a2)=0,=2(b2)=0,L=2。一c2)=0,二2：22=1 求得极值点为Q1(-1,0,0,a2),Q2(0,-1

13、,0,b2),Q3(0,0,-1,c2) 通过比较可知，当(a,B,)=(0,0, 1)时，即绕z轴转动惯量最大，即 iiidv=0dz!dxdy=：0 同理y2dxdydz= 4ab3c二 15 2. ,11izdxdydz= Q 4abc3二 15 所求的转动惯量为I：md2dxdydz二 4abc二 15 (1-12)a2(1-2)b2(1-2)c2. Imax 4abc： 15 (a2+b2),当(a,PJ)=( 1,0,0)时，即绕x轴转动惯量最小, 即I. 4abc二 15 22 (b2c2). . 十、(9(9 分)在不断抽打下，陀螺会飞快地旋转，但当一旦停止对它进行抽打，它也就

14、不再转动而停下来.设陀螺材质均匀，且旋转体所 占的立体区域为C=(x,y,z)|?(x2+y2)z0,试求当陀螺停止a 转动后，在稳定平衡状态下它的中心轴与水平地面的夹角 8 8. .如图(轴截面)(其中 A A 为陀螺停止转动后， 在稳定平衡状态下与地平面的接触点)解：首先求陀螺的质心坐标.由于陀螺材质均匀的旋转体，所以它的质心就是几何体的形心，根据对称性可知, inzdv 必有x=y=0,而z=-Q!dvQ2a二az.3 dz=a 2a G(0,0,4na4).当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下时，它的质心到水3 平地面的距离应达到最短。 从而得到义周178a,2轴截线z曰13与y轴在点A噂吟a)处的切线与y轴的夹角为 132 2a2a zdv=zdzdxdy=0 JDz 2 二dzga4所以有陀螺的质心坐标为 如轴截面，设陀螺在稳定平衡状态下, 它与水平地面的切点为A(y,z) 于是问题就转化为一个条件极值问题, 其目标函数为 L=(GA)*2=y2+(z-3a)2,约束条件为 4 22z=_ya (陀螺侧面的轴截线) 将其代入目标函数，有L=y2(2y2.3a)2,a4 解驻点，令dL=乌(24丫2.13a2).=0,y0= dx3a 78 a