理论力学该(25)

1、12内 容 提 要 1.动量定理 2.动量矩定理 3.动能定理 4.综合应用 5.总结 6.课后练习31.动 量 定 理 1-1.基本概念和定理 rc = mi ri / M P = mi vi P = M Vc P2 - P1 = Ie M ac = dp/dt=Re 1-2.例 题 例题1-1. 例题1-2. 例题1-3.4例题1-1. 水平面上放一均质三棱柱 A,在此三棱柱上又放一均质三棱柱B. 两三棱柱的横截面都是直角三角形,且质量分别为M和m.设各接触面都是光滑的,在图示瞬时, 三棱柱A的速度为v, 三棱柱B相对于A的速度为u, 求该瞬时系统的动量.AB5AB解:取系统为研究对象vu

2、PAx = - M vPAy = 0PBx = - m v + m u cosPBy = - m u sinPx = - (M + m) v + m u cosPy = - m u sinBAPPP6例题1-2.质量为M 的滑块A 在滑道内滑动,其上铰结一质量为m长度为 l的均质杆AB,当AB 杆与铅垂线的夹角为 时,滑块A 的速度为v, 杆AB的角速度为,求该瞬时系统的动量.ABCv 7解:取系统为研究对象.PAx = M v PAy = 0设 杆AB质心 C 的速度为vC由 vc = ve + vrcos21lvvcxsin21lvcycos21lmmvPABxsin21lmPABycos

3、21lmvmMPxsin21lmPyABCv vcvcxvcyABAPPPve = vlvr218例题1-3. 水平面上放一均质三棱柱A, 在此三棱柱上又放一均质三棱柱 B 两三棱柱的横截面都是直角三角形,且质量分别为M 和m,设各接触面都是光滑的,求当三棱柱B 从图示位置沿 A 由静止滑下至水平面时,三棱柱A 所移动的距离s.ABba(水平方向不受外力,质心运动收恒)9 主矢的水平分量为零,水平方向的动量守恒.Px = Pxo = 0 设系统初终位置时质心的x 坐标分别为xc0 和xc1则有 xco = xc1 = cmMMxmxxMmc000mMsxMsbaxmxMmc001mMbams解

4、:取系统为研究对象.ABba a-b102. 动 量 矩 定 理 2-1.基本概念和定理基本概念和定理 LO= ri mi vi LC= ri mi vi LO= LC+ rc P LO= JO LC= Jc JO = Meo JC = MeC 2-2.例 题 例题 2-1. 例题 2-2. 例题 2-3.11例题2-1. 质量为M 半径R为的均质园盘沿着x 轴作纯滚动,在某瞬时盘心 C 的速度为v , 求: (1)园盘在相对盘心平动坐标系运动中对C点的动量矩; (2)园盘在绝对运动中对 x 轴上任一固定点 O的动量矩; (3) 园盘在绝对运动中对瞬心 I 点的动量矩.OICxv12解:CCJ

5、L) 1 (221MRMRv21OICxvPrLLCCO)2(iMvjRixLIC)(iMvjRLCMRvLLCOMRv23CrixIjR13(3)计算对瞬心 I 点的动量矩 ICxvjRmivir ir ciiiiIvmrL iicivmrjR)(iiciiivmrvmjRCCLvMjRMRvLLCIMRv23OL14例题2-2.滑轮O和C为均质圆盘,质量分别为M和m半径分别为R 和r,且R=2r,物块A和B质量分别为M和m , 图示瞬时物块A 的速度为v , 求系统对O点的动量矩.ABOCv15ABOCv解:取坐标如图.xA+2xC = cx得: vA= v =2 vC= RO= 2r C

6、LO= LOA+ LOO+ LOC+ LOBLOA= RMvmRvmrvLcOB41mRvmrLCOC83232mRvmrLoOO21212RMMRvmMLO56811216例题2-3. 小球A质量为m连在细绳的一端 ,绳的另一端穿透光滑的水平面上的小孔O,令小球在水平面上沿半径为 r 的圆周作匀速运动,其速度为v,若将细绳往下拉,使圆周的半径缩小为r/2 ,求此时小球的速度u 和细绳的拉力T.OAT(对0Z轴的力矩为零，则动量矩守恒.)17 解:取小球为研究对象 .由Moe = 0u = 2vumrvmr21OAT得 LO = crvmvmrT228221(2v)2(0.5r)m183. 动

7、 能 定 理 3.1.基本概念和定理 3.2. 例 题 例题 3-1 ; 例题 3-2 ; 例题 3-3221iivmT221riivmT221TvMTcOOJT21d T = WT + V = cIIJT21T2 - T1 = W19例题3-1. 图示坦克履带l质量为M ,每个车轮质量为m ,车轮可视为均质园盘,半径为r,设坦克前进速度为v,求系统的动能.ABlv20解: T = TA + TB + Tl)21(2122mrmrTTBA23221vmMT243vmABlvTMvTcl2212222121MvvmMviC21例题3-2. 均质细杆长为l,质量为m,上端B靠在光滑的墙上,下端A用

8、铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连,在图示位置圆柱中心速度为v,杆与水平线的夹角=45o,求该瞬时系统的动能.vABC22vABC解: T = TA + TABII 为AB杆的瞬心222432321MvMRTAAsinlv222312121mllmmlJI222231sin621mvmvJTABIAB249121vmMT23例题3-3. 质量为m长为l的均质杆AB,在铅直平面内一端沿着水平地面 ,另一端沿着铅垂墙面由与铅垂方向成角的位置无初速地滑下.不计接触处的摩擦力,求在图示瞬时杆的角加速度 .AB24解:取杆AB 为研究对象,系统机械能守恒.22261)2(12121mll

9、mmlTcos21mglVcmglmlcos21612两边同时求导并化简得:lg4sin ABI254. 综 合 应 用4-1.动量定理和动量矩定理组合,求加速度, 角加速度和约束反力.4-2.动量定理和动能定理的微分形式组合, 求加速度,角加速度和约束反力.4-3.动量矩定理和动能定理的微分形式组合, 求加速度,角加速度和约束反力.4-4.动量定理和动能定理的积分形式组合, 求速度和角速度.例题4-1. 例题4-2. 例题4-3. 例题4-4. 26 例题4-1.质量为 m长为 l 的均质杆AB,在铅直平面一端沿着水平地面, 另一端沿着铅垂墙面由与铅垂方向成角的位置无初速地滑下. 不计接触处

10、的摩擦力, 求在图示瞬时杆所受的约束反力. AB27把上式分别向x、y轴投影得:cos21lacxNA- m g = m acy (1)NB = m acx (2)2121cossin21mlNlA(3)sin431 (2mgNA aA= aC + aAC解: acacyacxyxCNANBaAC ABsin21lacycossin43mgNBaB= aC + aBCaBC 28例题4-2. 水平面上放一质量为M 的三棱柱A 其上放一质量为m 的物块 B,设各接触面都是光滑的,当物块B 在图示位置由静止滑下的过程中, 求三棱柱A的加速度.BA水平方向动量守恒.机械能守恒29BA解:取系统为研究

11、对象.水平方向动量守恒.-(M+m)vM + mvrcos = 0 (1)-(M+m)aM + marcos = 0 (2)T = TM + Tm221MMvMTcos22122rMrMmvvvvmTvMvrvBvMvrcos22122rMrMvvvmvmMT(3)302sincossinmMmgaM把(3) (4)式代入(5)式求导并与(6)式联得:V = m g y (4)由系统机械能守恒:T + V = c (5)BAsinrvy (6)vBy=y31例题4-3. 图示机构位于铅垂平面内,曲柄长OA= 0.4m,角速度 = 4.5rad/s (常数).均质直杆AB长AB=1m质量为10k

12、g ,在 A、B 端分别用铰链与曲柄、滚子 B 连接.如滚子B 的质量不计,求在图示瞬时位置时地面对滚子的压力.0.8mOAB C（ AB杆应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理;运动学公式。）32解:AB杆作平面运动I为瞬心.0.8mOAB CIIA = 0.6mvA = (OA) = (IA)AB36 . 05 . 44 . 0AB取A为基点B为动点.aaanA2 OAan= 8.1a = 0BAnBAABaaaa(1)an2)(ABnBAABa= 9ABBAABa)(ABnBAaBAa AB33把(1)式向BI方向投影得:0.8mOAB CIannBAaBAaBAnBAaa6 .08

13、.000AB = -12 rad/s2 ABCAnCAACaaaa(2)aAnCAaCAa2)(ABnCAACa= 4.5ABCAACa)(= 6aA = 8.1CAnCAACxaaaa8 . 06 . 0= -0.6CAnCACyaaa6 . 08 . 00= 0aC = 0.634 取AB杆为研究对象,应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理.0.8mOAB C ABaCXA YA 10kg NB NB + YA 109.8 = 0121101214 . 0)( 3 . 02ABAXNY联立解得:XA = - 100.6NB = 36.33 N35 例题4-4. 一质量为M半径为R的均质圆盘O的边缘上刚连一质量为m的质点A,今将圆盘放在一光滑的水平面上 ,并令质点A在最高位置如图示,求当圆盘由静止滚过180O 而A 在最低位置时圆盘的角速度.AOAO(应用动能定理) (质心运动分析）（定瞬心）36 解:取系统为研究对象. 由于Rxe =0, vCx= vCxo= 0 质心在水平方向没有运动,在初瞬时的位置如右图所示.在下图中设OC = smMRmsAOAO 在终瞬时的位置如下图所示,且C在终瞬时