弹性碰撞后的速度公式

1、如何巧记弹性碰撞后的速度公式一、“一动碰一静”的弹性碰掠公式问题：如图1所示，在光滑水平而上，质量为皿的小球，以速度V与原来静止的质量为M的小球发生对心弹性碰撞，试求碰憧后它们各自的速度?设碰撞后它们的速度分别为刃'和2，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒左律、机械能（动能）守恒宦律得: mwf=mvJ +/J2V2'由厲山叭）=农诂 由廻-评）二叫暗 由/吁+甘二诂联立解得上面式的右边只有分子不同,但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的配合速度V n,由动捲守恒泄律得： niV=（加i+加2）v解岀V共:=创/ （仙比2）o而两球从球心

2、相距最近到分开过程中，球加2继续受到向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即加+叫,而这恰好是式，因此式就可上述推理轻松记住，式也就不难写岀了。如果式的分子容易写成如一仙，则可根据质量皿的乒乓球以速度山去碰原来静止的铅球心碰撞后乒乓球被反弹回，因此叶 应当是负的（W <0）,故分子写成仙一如才行。在“验证动量守恒立律”的实验中，要求入射球的质量刖大于VL=一V1被碰球的质量也 也可由式徨1+叫 解释。因为只有加a心才有w >o。否则，若vr <0,即入射球阳返回，由于摩擦，入射球刖再回来时速度已经变小了，不再是原来的刃 了。另外,若将上而的式变形可得

3、：B二応-X，即碰撞前两球相互靠近的相对速度VI-0等于碰撞后两球相互分开的相对速度必 E。由此可轻松记住式。再结 合式也可很容易解得式。二、“一动碰一动”的弹性碰掠公式问题：如图2所示，在光滑水平而上,质量为 m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为VI和V2,求两球碰撞后各自的速度？图2设碰撞后速度变为刃'和吃，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒左律、机械能守恒建律得: mV】+加2巾=加|V1 r +/W2V2 "（D彳啸 +£礦二為必2 +£曲2222旬由型1何-引）二廻仏-诂） 由1（12 -甘）=扯2也-评）由/Y+乃二+匕由式可以解出1“

4、 +迅pr _ （g - 邂>2 + 2 哪型14朋21/1要记住上而式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下而等效的方法则可轻松记住。竹、加2两球以速度VI和V2发生的对心弹性碰撞，可等效成仙以 斗二（巾_Ti2妙汨速度申去碰静止的牝球，再同时加上m球以速度勺碰静止的心球。因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式,可得两球碰撞后各自的速度十沟+他：2哪 呢_血1办2 诂二沟+空+渔“2 ，即可得到上面的式。另外,若将上而的式变形可得：卩厂乞=卩；一£，即碰撞前两球相互靠近的相对速度叶巴等于碰撞后两球相互分开的相对速度必-叫。由此可轻松记住式， 再结合式可解得式。例题：如图

5、3所示，有大小两个钢球，下而一个的质量为m2,上而一个的质呈:为杓,加2=3柏。它们由地平面上髙h处下落。假泄大球在和小球碰撞之前，先和地而碰 撞反弹再与正下落的小球碰撞,而且所有的碰撞均是弹性的，这两个球的球心始终在一条竖直线上，则碰后上面竹球将上升的最大髙度是多少？解法1：设两球下落h后的速度大小为vb则v2=2gh选向上为正方向，加2球与地面碰撞后以速度V!反弹并与正在以速度一刃下落的M球发生弹性碰撞，设阳和皿2两球碰撞后瞬间的速度分别变为M和T，在弹性 碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：m （ VI ） +/ZZ2V1=W1VI +9H2V2f扬才+黑才二騙呼

6、+扬诂22 2 2 2 将皿2=3杓代入，得2vi=vjr +3T钢二评恥审由式消去E得：0 = v；2 - 3vlv； + 2»2即 0 二（v； - 2片）（斗 一 ）故解出刃 =v.（舍去，因为该解就是m球碰前瞬间的速度）力'=2vi设碰后上而球/H1上升的最大高度为h',则0vif 2=_2gh'联立式解出於=4力。解法2：在解法1中，列出式后,可根据前面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公式，求岀m球碰撞后瞬间的速度刃'。选向上为正方向，如、加2两球分别以速度一力和v1发生对心弹性碰撞，可等效成m以速度一力去碰静止的牝球,再同时加上

7、皿2球以速度力碰静止的m球。因此 斗_他1-刚）（-乃）2邂旳皿球碰撞后的速度1 购】+廻+叫+廻将"?2=3仙代入得Vf =2vio以下同解法1。解法3：在解法1中，列出式后，也可根据前面介绍的用等效法得到的“ 一动碰一动”的弹性碰撞公式,求出加2球碰撞后瞬间的速度V2Z。选向上为正方向,m、川2两球以速度一力和V!发生的对心弹性碰撞，可等效成如以速度一V】去碰静止的m球,再同时加上加2球以速度V,碰静止的m球。因此碰 撞后加2球的速度些（-匕）卩；二廻+代 + 廻+加2将加2=3加代入解得=0c从刖球开始下落到仙球上升的最大高度，对殆、也两球组成的系统，由能量守恒得：gh=mgh

8、f故解出於=4/：o解法4：设两球下落h后的速度大小为V）,则vr=2/?1/1选向上为正方向，加2球与地而碰撞后以速度山反弹并与正在以速度一刃下落的皿球发生弹性碰撞，若以切球为参考系，则切球以相对川2球为一 2内的速度去碰静 止的加2球，由"一动碰一静”的弹性碰撞公式得：科_他1 -刚）（-2耳）叫+叫由于碰前加2球对地的具有向上的速度VI,斗_ （衢-乜）（一2耳）故碰后初球对地的速度为：叫+廻 + vi=2vio以下同解法1 °上而的解法1属于常规的数学解法，求解比较麻烦，用时间也比较长而且容易出错。而解法2、3、4直接应用巧记得到的弹性碰撞速度公式求解，简单而不易岀

9、错, 是比较好的选择。（一）弹性碰撞和非弹性碰撞1、碰撞碰撞是指相对运动的物体相遇时,在极短的时间内它们的运动状态发生显著变化的过程。2、碰撞的分类（按机械能是否损失分类）（1）弹性碰撞：如果碰撞过程中机械能守恒，即为弹性碰撞。（2）非弹性碰撞：碰撞过程中机械能不守恒的碰撞。3、碰撞模型相互作用的两个物体在很多情况下皆可当作碰撞处理,那么对相互作用中两物体相距恰“最近”、相距恰“最远”或恰上升到“最髙点”等一类临界问题，求解的关 键都是“速度相等”，具体分析如下：（1）如图所示，光滑水平而上的A物体以速度v去撞击静止的B物体,A、B两物体相距最近时，两物体速度必左相等,此时禅簧最短，其压缩量最

10、大。VA WWV B77777TrT777777f7777T（2）如图所示，物体A以速度滑到静止在光滑水平而上的小车B上八当A在B上滑行的距藹最远时,A、B相对静止,A、B两物体的速度必宦相等。（3）如图所示，质量为M的滑块静止在光滑水平而上，滑块的光滑弧而底部与桌而相切，一个质量为m的小球以速度向滑块滚来,设小球不能越过滑块，则小球到 达滑块上的最高点时（即小球竖直方向上的速度为零），两物体的速度肯上相等（方向为水平向右）。（二）对心碰撞和非对心碰撞1、对心碰撞碰撞前后物体的速度都在同一条直线上的碰撞，又称正碰。2、非对心碰撞碰撞前后物体的速度不在同一条直线上的碰撞。3、散射指微观粒子的碰撞

11、。（三）反冲反冲运动（1）楚义：原来静止的系统八当其中一部分运动时,另一部分向相反方向的运动，就叫做反冲运动。（2）原理：反冲运动的基本原理仍然是动量守恒立律八当系统所受的外力之和为零或外力远远小于内力时，系统的总量守恒，这时，如果系统的一部分获得了某一方向 的动量，系统的剩余部分就会在这一方向的相反方向上获得同样大小的动量。（3）公式：若系统的初始动量为零,则动量守恒泄律形式变为：O=miViZ + m2v21 此式表明，做反冲运动的两部分尼们的动量大小相等，方向相反，而它们的速率则与质量成反比。（4应用：反冲运动有利也有害，有利的一而我们可以应用，比如农田、园林的喷灌装置、旋转反击式水轮发

12、电机、喷气式飞机、火箭、宇航员在太空行走等等。 反冲运动不利的一而则需要尽力去排除，比如开枪或开炮时反冲运动对射击准确性的影响等。（四）火箭1、火箭：现代火箭是指一种靠喷射髙温髙压燃气获得反作用向前推进的飞行器。2、火箭的工作原理：动量守恒泄律当火箭推进剂燃烧时，从尾部喷岀的气体具有很大的动量，根据动量守恒左律，火箭获得大小相等.方向相反的动呈;因而发生连续的反冲现象,随着推进剂的消耗。火 箭的质量逐渐减小，加速度不断增大，当推进剂燃尽时，火箭即以获得的速度沿着预定的空间轨道飞行。3、火箭飞行能达到的最大飞行速度，主要决定于两个因素：（1）喷气速度：现代液体燃料火箭的喷气速度约为2.5km/S

13、/提髙到34km/s需很髙的技术水平。（2）质量比（火箭开始飞行的质咼与火箭除燃料外的箭体质量之比），现代火箭能达到的质量比不超过10。（五）用动量概念表示牛顿第二定律1. 牛顿第二定律的动量表达式1/12、动量变化率山反映动量变化的快慢，大小等于物体所受合力。3、冲量在物理学中，冲量的概念是反映力对时间的积累效果，不难想像,一个水平恒力作用在放置于光滑水平而上的物体，其作用时间越长，速度的改变越大，表明力的累积效 果越大，在物理学中，力和力的作用时间的乘积叫做力的冲量。（1）左义：作用在物体上的力和力的作用时间的乘积，叫做该力对物体的冲量。（2）公式：常用符号I表示冲量点卩l=F - to（

14、3）单位：在国际单位制中力F的单位是N,时间t的单位是s,所以冲咼的单位是Ns,动量与冲量的单位关系是：1N - s=lkg - m/s,但要区别使用。 如果力的方向是恒泄的，则冲量的方向与力的方向相囤如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。 冲量的运算服从平行四边形左则，如果物体所受的每一个外力的冲量都在同一条直线上，那么选左正方向后，每一个力的冲量的方向可以用正、负号表示，此时冲量 的运算就可简化为代数运算。 冲量描述的是力F对作用时间t的累积效果,力越大/乍用时间越长，冲量就越大。 冲量是一个过程虽;讲冲咼必须明确研究对象和作用过程,即必须明确是哪个力在哪

15、段时间内对哪个物体的冲量。 计算冲咼时,一左要明确是计算分力的冲量还是合力的冲鼠如果是汁算分力的冲捲还必须明确是哪个分力的冲量。 在F t图象下的而积，数值上等于力的冲量，如图1所示，若求变力的冲量,仍可用“而积法”表示，如图2所示。4、动量左理（1）（2）(3)图2内容：物体在一个过程中始、末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲虽:。 表达式:l=pr p 或 F ftt=mvfmv.V v得 Eu = mv'-mv 即I = p-p. 推导：设质量为m的物体在合外力F作用下沿直线运动，经过时间t,速度由v变为“侧由F緒ma和并t【典型例题】例1.质量为m】的物体，以速度“与原来

16、静止的物体m2发生完全弹性碰撞，如图所示，设碰撞后它们的速度分别为匚和V',试用口?、"表示匚和口“ _ ifhvi = 一:vi碰撞结束时mi的速度+ *I2“V2 = V1m2的速度+®例2、的是（A、B、C、D、分析：碰撞过程都要遵守动量守恒左律,据此可以列出包含上述各已知疑和未知量的方程，弹性碰撞中没有机械能损失，于是可以列出另一个方程，两个方程联立，把 眄和V2作为未知量解岀来漑可以了。解：根据动量守恒左律：根据完全弹性碰撞过程中机械能守恒有1 . 1 ,2 1 ,2wiV"i = -tnxv） +m2v 2由以上两式解得讨论：（1）当m讦r,即

17、两物体的质量相等时，由两式得儿=叫即两者交换速度。（2）当m1»m2/即第一个物体的质量比第二个物体大得多时,mLmzQmEH+mQmx由©式得叭二勺少2 = 2儿2m（3）当时，即第一个物体的质量比第二个物体小得多时jTU-mza m2,"心0,由式得儿=一5% = °如图所示川、车静止在光滑水平面上，两个质量相等的人A和B,分別站在车的两端,A向前跳后B再向后跳,且两个人跳离车时对地的速度相等，则下列说法中正确 ）两个人跳车后，车向后以一左速度运动,A、B受到的冲量一样大两个人跳车后，车向前以一泄速度运动,A、B受到的冲量一样大两个人跳车后，车速为零

18、月受到的冲量大些两个人跳车后，车速为零,A受到的冲量大些分析：不少同学没有通过分析和推毗就以为：既然B在A后跳，由于反冲，车最终应向前运动：既然质量相等的A. B两个人以相等的对地速率跳离车，由于动量相 等，于是两人所受的冲量大小相等，因此错选了 Bo解：选地作参考系，取向前方向为正方向，以两人和车的整体为对象，设人.车质量分别为m和M,人跳离车时对地速率为s由动量守恒立律得：mvomvo+Mv=O得到v=0,即车最终静1上。再以A和车为研究对象，由动疑守恒左律得：mv0+ （M+m） vi=0m解得v尸M+J1/1于是对A,由动量左理得：h二paFV。一0二nW。innrm l° + 对 B： Ib=Ape= -mvomvi= mvi+ m = M比较得到Ia>|Ib|.答案：D例3.质量是40kg的铁锤从5m髙处落下,打在水泥桩上，跟水泥桩撞击的时间是005撞击时，铁锤对桩的平均冲击力有多大？分析：铁锤与木桩作用过程中是锤自身重力与木桩平均冲击力配合作用使其减速到零的过程，该过程的初速