质数合数分解质因数

1、质数 合数 分解质因数在自然数中，一个数除 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数例如2, 3, 5, 7, 11 ,都是质数一个数除了 1和它本身，还 有别的约数，这个数叫做合数.例如 4, 6, 8, 9, 12,都是合数.1既不 是质数，也不是合数这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数 和1.偶数中只有 2 是质数，而且是所有质数中最小的一个.除 2 以外所有的偶 数都是合数，除 2 以外所有的质数都是奇数.每个合数都可以写成几个质数相乘的形式， 这几个质数就叫做这个合数的质 因数.例如，因为70=2 >5 X7，所以2 , 5, 7是70的质因数.把

2、一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如，60=2 X2X3 X5=22 X3 X5,把60这个合数用2 XX X5或22 X3X5的形式来表示，就是把 60 分解质因数.例 1 两个质数的积是 46,求这两个质数的和.分析：两个质数的积是 46, 46是偶数,只能是一个奇质数与一个偶质数的 积,而偶质数只有 2,因此很容易得出另外的质数,从而问题得以解决.解：因为 46 是偶数,因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数 只有2，另一质数46吃=23，所以2与23的和为25.例 2 用 2, 3, 4, 5 中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几,如果个位

3、数字是 2 或 4,这样的三位数必能 被2整除,因此这样的三位数不会是质数,如果个位数字是5,这样的三位数必能被 5 整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是 3 的三位数为： 243 ，423 ，253 ， 523 ，453 ，543 ，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数解：如果组成的三位数的个位数字是 2、4、5 时，这个数必能被 2 或 5 整 除，因此个位数字只能是 3，而个位数字是 3 的三位数有 243 ，423，253，523， 453 ，543 ，其中243 ，423 ，453 ，543 均能被 3整除，253能

4、被 11整除，所以 只有 523 是质数质数的判断方法是， 当一个数比较小时， 用定义直接判断， 但这个数比较大 时，通常采用查质数表，最好记住 100 以内的所有质数在没有质数表的情况 下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除如果能被其中某一个质数整除， 就说明这个数是合数， 如果除到商已比试除的质数小， 还不能被这些质数中的任 何一个整除，那么这个数一定是质数例如，判断 100 以内的数是否是质数，只需用 2、3、5、7 这四个质数去试 除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数判断 97 是不 是质数，因为 97 不能被 2，3，5，7 中的任何一个整除，因此 97 是质数

5、为什 么不必去试除比 97 小的所有的质数呢？因为 97 不能被 2，3，5，7 中的任何一 个整除，它就一定不能被 4，6，8，9，10 等数（分别为 2，3，5 的倍数）整除， 又因为，如果用11或大于11的质数去试除，97日仁89, 97 13=76，其 商为 8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断 100 以内的数是否是质数只需 用 2， 3， 5， 7 去试除判断200以内的数是否是质数，只需用 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17这七个 质数去试除；判断 300 以内的质数，只需用 2到17这七个质数去试除；判断400 以内的质数，只需用 20 以内的八个质数与去试除；判

6、断 500 以内的质数， 只需 2 到 23 的质数去试除其余可用类似的方法推出，你可以思考一下 1000 以内的质数如何判断？例 3 将 40 ，44，45，63 ，65，78，99 ，105 这八个数平分成两组，使每组 四个数的乘积相等分析：如果采用观察、 计算调整的方法是比较麻烦的 要使两组数的乘积相 等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从 这八个数分解质因数入手， 根据各质因数的个数， 进行适当的搭配， 便能找出问 题的答案解：将八个数分解成质因数：40=23 >544=22 X1145=32 X563=32 X765=5X1378=2X3X139

7、9=32 X11105=3 X5X7这八个数分解质因数后一共有 6 个 2，8 个 3，4 个5，2 个7，2 个 11，2 个 1 3因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有 3 个 2，4 个 3，2 个 5，1 个 7，1 个 11，1 个 1 3 ，这样可以得到两组分别为： 40，63，65，99 和 44， 45，78，105例 4360 有多少个约数？分析：如果先求 360 的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦为 此，先将 360 分解质因数： 360=23 X32X5，360 的任意一个约数均由若干个 2 或 3 或 5 组成，我们将 360 的所有约数列成下面的数阵：12

8、222332 X322 X323 X3322 X3222 X3223 X3252X522X523X53 X52 X3 X522 X3 X523 X3 X532X52X32X522X32X523X32X5这个数阵共 6 行，每行 4 个约数，所以 360 共有 4X6=24 个，而 24=(3+1 )X(2+1) X( 1+1)，这里3,2 , 1恰好是360分解质数式子中2, 3,5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于 1 的整数的约数个数, 等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加 1 的连乘积用数字式子表示为：如果 A 分解质因数为：则 A 的全体约数的个数为：(r1+

9、1) x(r2+1 )xx (n+1 )例5 有30 个约数的最小自然数是多少？分析：设所求的数为 A，则A有30个约数，因为30=30 X=2 X5=6 X5=10X3=2 X3X5,要使A最小，一般使A的质因数的幕指数尽可能小，质因数的个数 尽可能少，所以 A 必为下列形式：其中 a1 ， a2， a3 为互不相同的质数要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样A=24X32X5=720解：因为30=30 X=2 X5=6 X5=10 X3=2 X3X5，而且题中要求a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2 , a2=3 , a仁5 ,所以A=2

10、4X32 >5=720 .例 6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如 1 至 9 中有 2、 3、 5、 7 四个 质数请在 200 以内再找出五组这样的质数分析：9个连续自然数中至多有 5个奇数在两位数中，个位是 5的数必能 被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被 3整除，所以只有当个位数字为 5 的两位数又能被 3 整除时，其余的四个奇数才有可能是质数 当找到一组这样的 两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是 30 的倍数按照上述办 法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果首先容易得出 3， 5， 7， 11；5， 7， 11， 13；在两位数中，按照上面的方 法可得出以下各组数：11， 13， 15， 17， 19；41， 43， 45， 47， 49；71， 73， 75， 77， 79；101，103 ，105，107 ，109；131，133 ，135，137 ，139；161，163 ，165，167 ，169；191，193 ，195，197 ，199；根据质数的判断方法可以得出两位数中还有 11