微分方程例题选解

1、微分方程例题选解1. 求解微分方程x ln xdy ( yln x )dx0 , y |x3e。2解：原方程化为dy 1 dx x ln x1，x通解为 y e1dx 1x ln xex1 dxxln x dxCln x dx ln x x3由 x e ， y，得 C 1 ，2C 11 ln ln x 2所求特解为2. 求解微分方程 x2 y ' xy y0。解：令 yux ， yu xu ，原方程化为分离变量得du2u1 dx ，xCln x12lnx。xu2u，1 积分得uln x原方程的通解为x。ln x C3. 求解微分方程(x322 xy ) dx ( x yy3)dy。解：

2、此题为全微分方程。面利用“凑微分”的方法求解。原方程化为x3dxxy2dx x2 ydyy3dy 0 ，x3dxxy2dx x2 ydy y3dy1 4 1 2 2 2 2 1 4dx ( y dx x dy ) dy4 2 41 4 2 2 4 d(x 2x y y ) ，4d(x4 2x2 y2 y4) 0，原方程的通解为 x4 2x2y2 y4 C 。注：此题也为齐次方程。4. 求解微分方程 y '' 1 (y')2。解：设 py ，则 ydp dxdp 2，原方程化为 1 p2 ， dx分离变量得dp1 p2dx，积分得 arctan p x C1 ，于是 yp

3、 tan( xC1)， 积分得通解为 y ln cos(x C1) C2 。5. 求解微分方程 y ''2y'2 y 0 。解：特征方程为 r 22r2 0 ，特征根为 r 1 i ，通解为 yex(C1 cosxC2sin x) 。6. 求解微分方程 y'' y' (2x 1)e2x 。解：对应齐次方程的特征方程为2 rr 0 ，特征根为 r1 0， r2 1，齐次通解为 Y C1Cex。可设待定特解y*(ax2x b)e，代入原方程得3a 2( axb)2x1，比较系数得 a 1 ，b1，从而 y* (x2x1)e ，原方程的通解为 yC1C

4、2ex ( x1)e2x 。7. 求解微分方程 y'' y 4xex 。解：对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 ，特征根为 r1 1， r21 ，齐次通解为 Y C1ex C2e x 。x可设待定特解 y* x(ax b)ex ，代入原方程得2a 2(2ax b) 4x ，比较系数得 a 1 ， b 1，从而 y* (x2 x)ex ， 原方程的通解为 y C1ex C2e x (x2 x)ex 。8. 求解微分方程 y'' 6y' 9y e3x(6x 2) 。解：对应齐次方程的特征方程为 r 2 6r 9 0 ，特征根为 r1 r2 3 ， 齐次

5、通解为 Y (C1 C2x)e3x 。2 3x 可设待定特解 y* x 2 (ax b)e3x ，代入原方程得6ax 2b 6x 2 ， 比较系数得 a 1， b 1，从而 y* (x3 x2)e3x ， 原方程的通解为 y (C1 C2x)e3x (x3 x2)e3x 。9. 利用“凑微分”的方法求解微分方程 (xy y sin y)dx (x cos y)dy 0 。 解： 由 (xy y sin y)dx (x cos y)dyxydx ydx sin ydx xdy cos ydyxydx sin ydx ( ydx xdy) d sin y( xy sin y)dx d( xy si

6、n y) ，原方程化为 d(xy sin y)dx，xy sin y积分得 ln( xy sin y )x ln C ，从而通解为xy sin yCe10. 选择适当的变量代换求解微分方程 x yy ( x2 y2 1) tan x 。解：设 u x2 y2 ，则 u x yy ，原方程化为 uu (u 1) tan x ，u1分离变量得 (1 )du tan xdx，u1积分得 u ln(u 1) ln cos x C ，原方程的通解为 x2 y2 ln( x2 y2 1) ln cosx C 。11. 利用代换 y u 将方程 y cosx 2y sin x 3ycosx ex 化简，并求

7、出原方程的通 cosx解。解：由 u ycosx ，得y cos x y sin x ，y cos x2y sinx ycosx 。原方程化为u 4uxe，其通解为 u C1cos2x C2sin 2xx e 5，原方程的通解为 y C1 cos2xcos x2C 2 sin xxe。5cos x12. 设二阶常系数线性微分方程 yaybycex 的一个特解为 y e2x (1 x)ex 。试确定常数 a,b, c ，并求该方程的通解。解：由题设特解知原方程的特征根为1 和2，所以特征方程为将 y12(r 1)(r 2) 0，即 r2 3r2。xe x代入方程，0，x( x 2)exxx3(

8、x 1)e 2xexce ，1。原方程的通解为 yC1e x C 2e2xxxe 。13. 已知 y1 xe x2 xx xe ， y2 xe e ，y3xxee2x e x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。解：由题设特解知原方程的通解为 yC1ex C2e2 xxex ，特征根为 1和 2，所以特征方程为2(r 1)(r 2) 0，即 r2r20，故可设此微分方程为y y 2 y f (x) ，将 y xex代入方程，得 f (x) (1x2x)ex，故所求方程为 y y 2 y (1 2x)ex。14. 设 uf (r ) 满足方程22uu22x2y 24 ，其中

9、rx22y2 ，求 f (r) 。解：x f (r)， r2u2x2x2r(r)2y3r(r)，2u2y2y2rf (r )2x3rf (r) ，15.2u2x2u2y(r)f (r )4，f (r )f(r)设函数 f (t)在 0,4f (t) e4e r1dr 1(2r2t24e1drr drC1)drC1)上连续，且满足方程1f ( 12 x x2 y 2 4t 21(2r2C1)，C1 ln r C2 。) dxdy求 f (t) 。解：由于22 xyf (12 x4 t2 2y 2 )dxdy2t所以f (t)e42t求导得f (t)te4t2f (t )tdttdt 8te4f

10、( 1 r )rdr2trf0(1 r )dr由 f (0)1，得 C1 rf ( r )dr ，2t f (t) ，t2e8 tdtdtCe4 t (4 t 2C)，1 ，因此 f (t ) (4t21)e4t2。f ( x) ，使曲线积分16. 设 f (x) 连续可微， f (0) 1，确定Lx f ( x) ydx f(x)dy(1,1)与路径无关，并计算 I x f (x)ydx f (x)dy 。解：由曲线积分与路径无关，得 f (x) x f (x) ，dx dx xf ( x) e ( xe dx C) (x 1) Ce x ，由 f (0) 1，得 C 2，从而 f (x)

11、x 1 2e于是(1 2e x)ydx (x 1 2e x)dy2e1dy 2。17. 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差， 若室温 为 200 c时，一物体由 1000c 冷却到 600c 须经过 20分钟，问共经过多少时间方可使此 物体的温度从开始时的 1000 c降低到 300c 。解：设在时刻t 物体的温度为 T(t) ，则有dTdtk(T 20)，且 T(0) 100，T(20) 60分离变量得dTkdt ，T 20积分得ln( T 20)kt ln C ，T 20 Cekt由 T( 0)100 得 C 80，kt20 80e kt ，再由 T(20

12、) 60 得 60 20kt80e kt ， kln 220 ，ln 2t故 T 20 80e 20 ，ln 2 t 令 T(t) 30 ，得 30 20 80e 20 ， t60。共经过 60 分钟方可使此物体的温度从开始时的1000 c降低到 300c 。18. 设物体 A从点 (0,1)出发，以速度大小为常数 v沿y轴正向运动。 物体B从点 ( 1,0)与A同时出发，其速度大小为 2v ，方向始终指向 A 。试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件。dydx(1 vt) y ，x两边对 x 求导，得xddx22ydtv，dx1)由于2v dsdt2dy dx dx dt

13、dtdx21v 12dydx解：设在时刻 t， B位于点 (x,y)处，则代入( 1)式得所求微分方程为xddx22y12 1 (ddxy)20，其初始条件为y |x 1 0, y |x 1 1。19. 在 xOy 面的第一象限内有一曲线过点(1, 1) ，曲线上任一点 P处的切线与 x 轴及线段OP所围三角形的面积为常数 k ，求此曲线的方程。解：设 P(x,y)处的切线方程为 Y y ddyx(Xx) ，在 x轴上的截距为ydxdy由题设知(xydx)y2kdx 1，化为 x2k2dydy yy其通解为1 dy12k y dykxey( 2k2 )e y dy CCy，yy由 x 1 ，y1，得C1k ，所求曲线方程为xk2(1 k)y，即xy (k 1)y2 k 。y20. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/ h 。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例6系数为 k 6.0 106 )。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ 解：由题设，飞机的质量 m 9000kg ，着陆时的水平速度 v0 700km /