转化灵活的圆中角

1、第十九讲转化灵活的圆中角角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形 法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化.根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对 的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来.熟悉以下基本图形、基本结论.注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶 点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系巧卖者可自行

2、作一番探讨.【例题求解】【例1】 如图，直线AB与O O相交于A , B再点，点0在AB上，点C在O O上，且/ AOC = 40°,点E是直线AB上一个动点（与点O不重合），直线EC交O O于另一点D,则 使DE=DO的点正共有个.思路点拨 在直线AB上使DE=DO的动点E与O O有怎样的位置关系？分点E在AB上（E在O O内）、在BA或AB的延长线上（E点在O O外）三种情况考虑，通过 角度的计算，确定 E点位置、存在的个数.注：弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法.【例2】 如图，已知 ABC为等腰直角三形，D为斜边BC的中点，

3、经过点 A、D的O O与边AB、AC、BC分别相交于点 E、F、M ,对于如下五个结论： / FMC=45 ° ;AE+AF=AB :史EFBA2:2BM =BF X BA :四边形 AEMF为矩形.其中正确结论的个数是 BCA . 2个 B . 3个 C. 4个 D . 5个思路点拨 充分运用与圆有关的角,寻找特殊三角形、注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择.【例3】 如图，已知四边形 ABCD外接O O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E, 且 AB2=AE X AC , BD = 8,求厶

4、ABD 的面积.思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得 A为弧BD中点，这是解本例的关 键.【例4】 如图，已知AB是O O的直径，C是O O上的一点，连结 AC,过点C作直线CD 丄AB于D(AD<DB)，点E是AB上任意一点(点D、B除外)，直线CE交O O于点F,连结 AF与直线CD交于点G.2(1) 求证：AC =AG X AF ;(2) 若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立.请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明 ACGAFC ;(2)判断上述结论在 E点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形

5、是关键.注：构造直径上 90°的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件.【例5】 如图，圆内接六边形 ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于 一点Q,设AD与CF的交点为P.求证：(1)QD ACED ECCPPEACCE思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形.(1)证明 QDEACF ; (2)易证CP QCPEDE,通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明.注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点, 就能运用圆的丰

6、富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有：利用圆的定义判定；利用圆内接四边形性质的逆命题判定.学历训练1一条弦把圆分成 2: 3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 2 .如图，AB是O O的直径，C、D、E都是O O上的一点，则/ 1 + / 2=3. 如图，AB是O O的直径，弦 CD丄AB , F是CG的中点，延长 AF交O O于E, CF=2 ,AF=3，贝U EF的长为（第4題）B . 136°C. 144°D. 150 °弦 AD / BC ,DA=DC，/ AOC=160 °B. 30°C. 40°D . 50

7、76;0必一/ E7 一中,，则/ BOC等于（第（第5題）（第7题）7.如图,BC为半圆O的直径,D为半圆O上两点，AB= 3 , BC=2 ,则/ D的度数为（）A . 60&如图，连结PC、2c c2CH =AH X BH ;AD=AC ;AD =DF X DP; / EPC= / APD ,其中正确的个数是 （A . 1B . 2C. 3D. 49.如图，已知 B正是 ABC的外接圆 O的直径，CD是厶ABC的高.（1）求证：AC BC=BE CD;（2）已知CD=6 , AD=3 , BD=8，求O O的直径BE的长.B. 120°C.135°D. 150

8、°O O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点（点P不与A、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F.给出下列四个结论：c c 一2一一 一 ：）C两点重合）,4. 如图，已知 ABC内接于O O, AB+AC=12 , AD丄BC于D , AD = 3,设O O的半径为y ,AB的长为x，用x的代数式表示y , y =.5. 如图，ABCD是O O的内接四边形，延长 BC至U E,已知/ BCD :/ ECD = 3: 2,那么 / BOD等于（A . 120°6. 如图，O OA. 20°第目逼）9（第10题:10 .如图，已知 AD是厶

9、ABC外角/ EAC的平分线，交 BC的延长线于点 D，延长 DA交 ABC的外接圆于点 F，连结FB, FC.（1）求证：FB=FC ;2求证：FB =FAFD ;若AB是厶ABC的外接圆的直径，/EAC=120 ° , BC=6cm，求AD的长.11.如图，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点（B、C点除外），贝U tan/ APB tan/ CPD=.12.如图，在圆内接四边形 的面积为.g 11 S)第 12（第13番）13.如图，圆内接四边形 ABCD 中，/ A = 60°,/ B = 90°, AD=3 , CD=2，贝

10、U BC=14.如图，ABA. 60°是半圆的直径，D是Ac的中点，/ B=40 ° ,B. 50° C . 80°D . 70°则/ A等于（ABCD是一个以AD15.如图，已知和DC,它们相交于 P,若/ APD=60A. 25 nB . 16n为直径的圆内接四边形, 。，则O O的面积为（15nAB=5),PC=4,分别延长AB16.如图，AD是Rt ABC的斜边BC上的高，AB=AC，过A、D两点的圆与 AB、AC分 别相交于点E、F,弦EF与AD相交于点G,则图中与厶GDE相似的三角形的个数为（ ）A . 5B . 4C . 3D .

11、 217 .如图，已知四边形 ABCD外接圆O O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=EC ,AB= .2 AE，且BD= 2 3，求四边形 ABCD的面积.18. 如图，已知 ABCD为O O的内接四边形，E是BD上的一点，且有/ BAE= / DAC .求证：(1) ABEACD ; (2)ABDC+AD B C = AC BD .D(第IP题)19. 如图，已知 P是O O直径AB延长线上的一点，直线 PCD交O O于C、D两点，弦DF 丄AB于点H , CF交AB于点E .(1)求证：PA PB=PO PE;若DE丄CF,/ P=15 ° ,O O的半径为2，求弦C

12、F的长.20 .如图， ABC 内接于O O , BC=4 , S abc=6、3 , / B为锐角，且关于x的方程x2 -4xcosB V =0有两个相等的实数根，D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、C重合),DE平分/ ADC，交O O于点E,交AC于点F.(1) 求/ B的度数；(2) 求CE的长；(3) 求证：DA、DC的长是方程y2 -DE y DE DF =0的两个实数根.(第20题)参考答案国转化灵活的HI中角【例题求解】例1井情能考虑点E的惊世：任门盘的廷也线上.在口4<7不含O点上|在O月的延长钱上共右3牛.可进一步忧定E点也 童"求得4XJH字顶t竽诚哼广W

13、2 3 C结论不成立例 3 Ifi zJtf =AE - ACt=rSLBAE=ZCABr ?. AffEACHABE= ZACBADBt A AB= At».连站 AO. £D 于 F.m iJF-DF-4.il由勾股定理fiOF=3F=QA-OF=2,故 S6D-yBD 乱例4 tl)H+tCG与3门相交祇连ER*证明ACGAFCf时当点E是冲。点掩除外上任一点.戚与D点範合.上述站址仍战立证明略.谢 M “由 AB - CD EF.Ahcb-EF."ED="Ef? + /CED- /DEC 厂 AEBQOE- ACE, :* HQBEsACE./.

14、=<2)EfrC?)'- EFj60，DECFt-.J = "E"EC - £CDQ+ £ DQE= £DQf E EQF - EQDC 十 EQCD- £DEQ = EQCQ、 gQDCsZg J+塞=焉3 =2 DE由矗式待需=籍=咒評工眾=霑【学力训练】L 7旷或 108"2*玉 44. -yjr1 -I-2j S. C 6. B 7+ D 8- Cac nr乳连 CE.由ADCsAECB* 讶資冷 AC BC-HE * CD(2)£=&75.血 GJ +/ ZFAD-ZFrB-ZFBC

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