极限的运算法则(22)课件

1、2.3 2.3 极限的运算法则极限的运算法则 四则运算法则四则运算法则 复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则 小结、作业小结、作业一、四则运算法则一、四则运算法则定理定理1都都存存在在，和和设设 )(lim )(lim tgtf则则)()(limtgtf )()(limtgtf; )(lim)(limtgtf )()(limtgtf ; )(lim)(limtgtf 存存在在，时时当当 )()(lim 0)(lim 3)(tgtftg 且且. )(lim)(limtgtf （1）（2）证证由定义由定义,，使得，对任意给定的正数21, ;2)(|010 axfxx时，恒有当 ,min21 取

2、时，有则当 |00 xx证毕证毕.,)(lim,)(lim00bxgaxfxxxx 因为| )()()( |baxgxf .)()(lim 0baxgxfxx 从而有.)(0时函数和的极限的情形下面仅证明xx .2)(|020 bxgxx时，恒有当,22|)(|)(| bxgaxf推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面. .)( Zn推论推论2 2)(limtcfntf)(lim推论推论3 3则则，设设1.1.1 10 0nnnaxaxaxP 1)()(lim0 xPxx.xP)(0 则则0 0, ,满满足足设设有有理理函函数数2 2. . )()()(0 xQ

3、xQxP)()(lim0 xQxPxx.)()(00 xQxP ).(limtfc .)(limntf 例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 例例2 2)2)(1(lim)sin(lim00 xx ex xxx除除法法)2)(1(sinlim0 xx ex xx)2(lim)1(limlimsinlim0000 x xe x xxxxx乘乘法法 加加法法

4、.21 注注只要极限运算与四则运算交换顺序后的算式有意义(包括出现)，就可交换顺序。2)1(10 注注 不能直接用四则运算法则时，可考虑将函数不能直接用四则运算法则时，可考虑将函数适当变形，再考虑能否用该法则。适当变形，再考虑能否用该法则。例例3 3321lim221 xxxx)1 1后后再再求求极极限限( (先先约约去去 x) 1)(3() 1)(1(lim1 xxxxx31lim1 xxx.21 )00(（消零因子法消零因子法）常用的变形方法有：常用的变形方法有：通分，约去非零因子，通分，约去非零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化

5、，等等理化，等等。) 1)(1() 1)(2(lim21 xxxxxx12lim321 xxxx例例4 414213lim22 nnnnn)( 22/1/42/1/13limnnnnn .23 （无穷小因子分出法无穷小因子分出法)例例5 5)1311(lim31xxx ) )( ( ) )通分通分( (321131limxxxx ) )0 00 0( (（消零因子法消零因子法）. 1 例例6 6xxx11lim0 )00(（分子有理化分子有理化）)11()11)(11(lim0 xxxxx)11(1)1(lim0 xxxx111lim0 xx.21 例例7 73662lim3 xxx) )0

6、00 0( (（分母有理化分母有理化）)36)(36()36)(62(lim3 xxxxx9)6()36)(62(lim3 xxxx)36(2lim3 xx.12 ?例例8 8)21(lim222nnnnn )11(21limnn .21 . 0lim2lim1lim222 nnnnnnn221limnnn （通分通分）（无穷多项无穷多项之和）之和）2)1(21limnnnn 例例9 9nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim , 0, 000时时、当当Nnmba )(lim110110nnmmnmxxbxbbxaxaaxx nmxxba lim00 ;mn ,/00ba;mn

7、.mn , 0, 总结总结(2)(2) )()(limxQxPnmx)()(lim0 xQxPnmxx ;nm ;nm .nm 最最高高项项系系数数比比， ，0 (1)(1),)()(00 xQxPnm, 时时； 0)(0 xQ时时；且且 0)( 0)(00 xPxQ. 0)( )(00时时 xPxQ,0再再定定约约去去xx 定理（复合函数的极限运算法则）定理（复合函数的极限运算法则）,)(0axxxu时时的的极极限限存存在在且且等等于于当当设设函函数数 ,)(lim0axxx 即即的的某某去去心心邻邻域域内内但但是是在在点点0 x,)(ax ,)(limAufau 又又)(xf 则则复复合合

8、函函数数时时的的极极限限也也存存在在，当当0 xx 且且Axfxx )(lim0 二、复合函数极限运算法则二、复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则-极限过程代换法则极限过程代换法则有变化过程，的某个设对 连续x)(lim xfx 的变化过程 )( xu令.)(limAufu “趋近于” )(xu; ) , , 0 , (00 uu为Aufu)(时则则),( 或或为为RA例例1010211ln lim )1(xx2/1 xy yyln lim1. 0 xxe 0lim )2(xy yye 0lim. 1 三、小结三、小结极限的四则运算法则极限的四则运算法则（注意除法注意除

9、法）,有理函数的极限；有理函数的极限；2. 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则（过程代换过程代换）。）。._33lim132 xxx、一、填空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、练练 习习 题题._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:);21.41211(lim1nn 、._1sinlim520 xxx、._coslim6 xxxeex、;231lim438xxx 、);(lim5xxxxx 、;1412lim6 xxx、.2lim71 nmnmxxxxx、;)(lim2220hxhxh 、);1311(lim331xxx 、一、一、1 1、- -5 5； 2 2、3 3； 3 3、2 2； 4