复变函数第12讲

1、12、 幂级数幂级数 20120()()()nnnczacc zacza 的复函数项级数称为幂级数的复函数项级数称为幂级数, ,其中其中 c0,c1,c2 ,a都是复常数都是复常数. .20120.nnnc zcc zc z 幂级数是最简单的解析函数项级数幂级数是最简单的解析函数项级数, ,为了搞清为了搞清楚它的敛散性楚它的敛散性, ,先建立以下的先建立以下的阿贝尔阿贝尔( (Abel) )定理定理. .形如形如若令若令zz-a,则以上幂级数还可以写成如下形式则以上幂级数还可以写成如下形式2非凡的数学家非凡的数学家阿贝尔阿贝尔Abel,Niels Henrik,1802-1829挪威数学家挪威

2、数学家18241824年，他解决了用根式求年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题解五次方程的不可能性问题18251825年建议克莱尔创办了年建议克莱尔创办了纯粹与应用数学杂志纯粹与应用数学杂志18231823年，发表了关于用积分年，发表了关于用积分方程求解古老的方程求解古老的“等时线等时线”问题的论文。问题的论文。30000(0).nnnc zzzzzz 如如果果级级数数在在收收敛敛，则则对对满满足足的的一一切切 ，级级数数绝绝对对收收敛敛定理定理4.10（阿贝尔定理阿贝尔定理) ：z0 收敛点收敛点0.xyz0发散点发散点0.yx如如果果在在级级数数发发散散，则则对对满满足足的的 ，级

3、级数数发发散散00.zzzzz4(?),2,1 ,0,00 nMzcMnn使使得得于于是是，存存在在常常数数证明证明. 0lim,)1(000 nnnnnnzczc则则收收敛敛, 1|,00 qzzzz所所以以因因为为,00nnnnnnMqzzzczc ,0收收敛敛由由于于 nnMq,0收收敛敛由由比比较较判判别别法法得得 nnnzc.0绝对收敛绝对收敛 nnnzc5(2)(2)用反证法用反证法，收收敛敛，若若存存在在 01011,nnnzczzz.)1(00收收敛敛与与假假设设矛矛盾盾，得得证证知知由由 nnnzc对于幂级数（对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理），请写出相应的阿贝尔定理

4、.的的逆逆否否命命题题呢呢？是是否否可可以以作作为为定定理理中中的的)1()2(Abel处处发发散散？而而在在处处收收敛敛，能能否否在在思思考考题题：30)2()1(0 zzzcnnn.!)2(0的敛散性的敛散性讨论讨论 nnnz67非凡的数学家非凡的数学家阿贝尔阿贝尔阿贝尔（阿贝尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829Abel,Niels Henrik,1802-1829）挪威数学）挪威数学家。家。18021802年年8 8月月5 5日生于芬岛，日生于芬岛，18291829年年4 4月月6 6日卒于日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现

5、在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在亲还是在18151815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，一所中学里读书，1515岁时优秀的数学教师洪堡岁时优秀的数学教师洪堡（Bernt Michael Holmbo 1795-1850Bernt Michael Holmbo 1795-1850）发现了阿）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。学产生了浓厚的兴趣。1616岁时阿贝尔写了一篇解岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。

6、丹麦数学家戴根（方程的论文。丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Carl Ferdinand Degen 1766-1825Degen 1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的）看过这篇论文后，为阿贝尔的8数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：研究，于是他给阿贝尔回信写到：“. .与其着手解决与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会

7、取得成功是很好的题目，相信你会取得成功.”.”。于是阿贝尔。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。开始转向对椭圆函数的研究。阿贝尔阿贝尔1818岁时，父亲去世了，这使生活变得更岁时，父亲去世了，这使生活变得更加贫困。加贫困。18211821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。里斯蒂安尼亚大学。18231823年，他发表了第一篇论文，年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的是关于用积分方程求解古老的“等时线等时线”问题的。问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。的先河。182

8、41824年，他解决了用根式求解五次方程的不年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信都未开封。是高斯连信都未开封。 91825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他与斯坦纳）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物建议克莱尔创办了著名数学刊物纯粹与应用数学纯粹与应用数学杂志杂志。这个杂志头三卷发表了阿贝尔。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。

9、程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的关于一类极广泛的超越函数的一一般性质般性质”的论文，提交给巴黎科学院

10、。阿贝尔在给的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪洪堡的信中，非常自信地说：堡的信中，非常自信地说：“.已确定在下个月的科已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅由柯西审阅,恐怕还没有来恐怕还没有来10得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待在正昂首以待.。” 可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在

11、佛罗伦年在佛罗伦萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年年5月月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（Christine Kemp）欢）欢度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究。争一边继续进行数学研究。他原希望回

12、国后能被聘为大学教授，但是他的他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度11当过代课教师。阿贝尔和雅可比（当过代课教师。阿贝尔和雅可比（Carl Gustav Jacobi 1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始）是公认的椭圆函数论的创始人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了

13、椭圆函数的加法定理、许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。在这个时候，使他成为分析学严格化的推动者。在这个时候，阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传遍阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传遍了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊，在后，非常吃惊，在1

14、829年年3月月14日写信给巴黎科学日写信给巴黎科学12院表示抗议：院表示抗议：“.这在我们生活的这个世纪中，恐这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽然向怕是数学中最重要的发现，虽然向老爷们老爷们的的研研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？位先生的注意，这是为什么呢？.”。而由于阿贝。而由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了 1829年年4月月5日夜间，阿贝尔的病情急

15、剧恶日夜间，阿贝尔的病情急剧恶化，于化，于4月月6日上午日上午11点去世。作为命运捉弄人的点去世。作为命运捉弄人的是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“.我国教育部决定招聘您为柏林大学教授我国教育部决定招聘您为柏林大学教授.，一个，一个月之内就能发出招聘书月之内就能发出招聘书.。”这封信还提到，希望这封信还提到，希望阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用支出。他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满支出。他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满面。面。13000000(0).nnnc zzzzzzzzzzzz 如

16、如果果级级数数在在收收敛敛，则则对对满满足足的的一一切切 ，级级数数绝绝对对收收敛敛 如如果果在在级级数数发发散散，则则对对满满足足的的 ，级级数数发发散散定理定理4.10（阿贝尔定理阿贝尔定理) ：0()nnncza 0| |zaza 0| |zaza 14(1) 对所有的复数对所有的复数z都收敛都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛. .收敛半径为收敛半径为例如例如, 级数级数 nnnzzz2221对任意固定的对任意固定的z, 从某个从某个n开始开始, 总有总有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故该级数对任意的故该级数对任意的z均

17、收敛均收敛.3 3、幂级数的收敛圆与收敛半径、幂级数的收敛圆与收敛半径(2) 除除 z=0 外都发散外都发散.级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.收敛半径为零。收敛半径为零。例如例如,级数级数 nnznzz2221, 0 时时当当 z故级数发散故级数发散.通项不趋于零通项不趋于零, 15.,)0()3(020121发发散散收收敛敛使使得得和和存存在在点点 nnnnnnzczczz显然，显然， .否则，级数将在否则，级数将在 处发散处发散.12:|( |):|( |)AbelCzzCzz 由由定定理理，在在圆圆周周内内，级级数数收收敛敛；在在圆圆周周外外，级级数数发发散

18、散。,.zzz 当当点点 沿沿着着正正实实轴轴由由点点向向运运动动时时 必必定定先先经经过过使使级级数数收收敛敛的的点点，然然后后到到达达使使级级数数发发散散的的点点 160,nnRnc zC 事事实实上上， 对对幂幂级级数数总总存存在在一一个个圆圆使得该级数在圆内绝对收敛，而在圆的外部发散使得该级数在圆内绝对收敛，而在圆的外部发散.xyo1z.2z.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径收敛圆周收敛圆周|zR |zR R0()nnncza 的收敛范围是以的收敛范围是以a点为中心的圆域点为中心的圆域.17 在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出不能作出一般的结论一般的结论,

19、要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?例如例如, 级数级数:1, 1 zR收收敛敛圆圆周周均均为为收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;,1在在其其它它点点都都收收敛敛发发散散在在点点 z在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.0020nnnnnnzznzn 18 如何求幂级数的收敛半径呢如何求幂级数的收敛半径呢? ?我们先我们先讨论下面的一个定理讨论下面的一个定理: :00|.nnnnnnc zcz 定定理理4 4. .1 11 1 级级数数与与有有相相同同的的收收敛敛半半径径.|2100RRz

20、czcnnnnnn和和收收敛敛半半径径分分别别为为的的和和设设级级数数证证明明： 因因为为收收敛敛，0|nnncz 12.RR 所所以以则则收收敛敛，0nnnc z 1RxyO2R191RxyO2R如如 果果则则 说说 明明存存 在在 这这 样样 的的 点点：位位 于于收收 敛敛 圆圆 内内 ， 但但 级级 数数 在在处处 不不 绝绝 对对 收收 敛敛 ， 这这 与与定定 理理 不不 符符 ， 从从 而而12*12,.RRzzzAbelRR 0|.nnncz 因因为为为为实实的的幂幂级级数数，注注意意到到定定理理4 4. .1 11 1，则则求求复复幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径可可以以转转

21、化化为为求求实实幂幂级级数数收收敛敛半半径径 联联系系在在数数学学分分析析中中已已经经学学过过求求幂幂级级数数收收敛敛半半径径的的方方法法，我我们们有有*z20limn1nncc l limnnncl R 1l0,ll 0l ( 0l ( (达朗贝尔）达朗贝尔） 柯西柯西定理定理4.124.121nnnc z nc合于合于的系数的系数如果幂级数如果幂级数)()()(比值法比值法)(根值法根值法)21例例1.120的收敛范围及和函数的收敛范围及和函数求幂级数求幂级数 nnnzzzz121 nnzzzs又又),1(11 zzzn解解; 11lim1 Rccnnn.11lim, 0lim1zszzn

22、nnn 时时，当当.,0lim1级级数数发发散散时时，当当 nnzz 所以所以且且的收敛范围是的收敛范围是, 1|0 zznn22201111(| |).nnnzzzzzz .1,;1,11,0时时当当发散发散时时当当且和函数为且和函数为收敛收敛zzzznn2461.zzz求求幂幂级级数数的的收收敛敛范范围围及及和和函函数数思考题:提示提示: :本题不能直接利用定理本题不能直接利用定理4.124.12（为什么？）（为什么？）. .综上综上23例例2 求下列幂级数的收敛半径：求下列幂级数的收敛半径：解解 (1); )0() 1 (1 npnpnz;)1()2(1 nnnz.!)3(1 nnnnz

23、nnnncc1lim , 1)1(lim pnnn; 1 R. 1| z收收敛敛圆圆nnncc1lim)2( , 11lim nnn; 1 R. 1|1| z收收敛敛圆圆也可以利用绝对收敛比值判别法的思想，直接计算。也可以利用绝对收敛比值判别法的思想，直接计算。24nnncc1lim)3( 1(1)lim(1)!nnnnnnn .1eR .)ln(1的收敛半径的收敛半径思考题：求思考题：求nninz ，提提示示：根根据据0lim nnnc. R.!)3(1 nnnnzn1lim 1,nnen 254 4、幂级数的性质、幂级数的性质0000101( )() () ();nnnnnnnnnfzcz

24、zczznczz 00( )()4.13 (1)nnnf zczz 在在其其收收敛敛圆圆内内定定理理幂幂级级数数的的和和是是一一个个解解函函数数析析函函数数; ;00( )( )2(nnnf zczz 在在其其收收敛敛圆圆内内可可以以逐逐项项求求导导和和幂幂逐逐级级项项数数的的和和函函数数积积分分，即即-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算26.)()()()2(0000zdzzcdzzzcdzzfncnncnnnc ,1)()(0100 nnnzznzzcdf或或-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算 实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导至任意阶导数至任意阶导数.注：定理注：定理4.13为今后将函数展开成幂级数提供了为今后将函数展开成幂级数提供了极大的方便极大的方便.275 5、 幂级数的运算幂级数的运算与实幂级数一样，复幂级数也可以进行与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算代数运算.|),(,|),(2010rzzgzbrzzfzannnnnn 设设,),()()(000Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn ).,min(21rrR 其其中中-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算则则28).,min(21rrR