高三数学（理）专题复习攻略课件专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量（3讲）

1、专题专题 二二 三角函数、三角三角函数、三角变换、解三角形、平面向量变换、解三角形、平面向量第第1讲三角函数的图象与性质讲三角函数的图象与性质要点知识整合要点知识整合1正弦、余弦、正切函数的性质正弦、余弦、正切函数的性质函数函数ysinxycosxytanx定义域定义域RRx|x k，kZ值域值域1,11,1R奇偶奇偶性性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数最小正最小正周期周期222 函数函数ysinxycosxytanx单单调调性性在在 2k，2k(kZ)上递上递增在增在 2k， 2k(kZ)上递减上递减在在2k，2k(kZ)上递上递增在增在2k，2k(kZ)上递减上递减在在( k， k)(

2、kZ)上递增上递增2 2 2 32 2 2 函数函数ysinxycosxytanx最值最值当当x 2k，kZ时，时，y取得取得最大值最大值1. 当当x 2k，kZ时，时，y取得取得最小值最小值1当当x2k，kZ时，时，y取得最大取得最大值值1. 当当x2k，kZ时，时，y取得最小值取得最小值1无最值无最值2 2 函函数数ysinxycosxytanx对对称称性性对称中心：对称中心：(k，0) (kZ)对对称轴：称轴：x k(kZ)对称中心：对称中心：( k，0)(kZ)对对称轴：称轴：xk(kZ)对称中心：对称中心：( ，0)(kZ)2 2 2k 2函数函数yAsin(x)的图象的图象(1)“

3、五点法五点法”作图作图设设zx，令，令z0，2，求出，求出x的值与的值与相应的相应的y的值，描点连线可得的值，描点连线可得(2)图象变换图象变换三角函数的图象变换三角函数的图象变换热点突破探究热点突破探究【答案答案】D(2)任何一个形如任何一个形如yAsin(x)的函数的图象，的函数的图象，经过平移变换之后，都可以变成一个奇函数或经过平移变换之后，都可以变成一个奇函数或偶函数的图象，即可以变换为偶函数的图象，即可以变换为yAsin x或或yAcos x的图象的图象三角函数的性质三角函数的性质【思维升华】【思维升华】求三角函数的周期、单调区间、求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶

4、性时，往往是在定义最值及判断三角函数的奇偶性时，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为域内，先化简三角函数式，尽量化为yAsin(x)B的形式，然后再求解的形式，然后再求解三角函数的图象与解析式三角函数的图象与解析式【题后拓展】【题后拓展】已知图象求函数已知图象求函数yAsin(x)(A0，0)的解析式时，常用的方法是待定系的解析式时，常用的方法是待定系数法由图中的最大、最小值求出数法由图中的最大、最小值求出A，由周期确，由周期确定定，由适合解析式的点的坐标来确定，由适合解析式的点的坐标来确定的值的值(2)在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的

5、性质融于函数的图象之中，将数的性质融于函数的图象之中，将数(量量)与图形结与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数量关合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的思想方法函数问题的一种有效的思想方法高考动态聚焦高考动态聚焦 从近几年高考试题来看，本讲高考命题具有以下从近几年高考试题来看，本讲高考命题具有以下特点：特点：1三角函数图象历来是高考命题的常考内容之一，三角函数图象历来是高考命题的常考内容之一，高考主要以选择题形式考查三角函数图象的画法、图高考主要以选择题形式考查三角函数图象的画

6、法、图象的变换、对称轴、对称中心、解析式等问题，题目象的变换、对称轴、对称中心、解析式等问题，题目难度较小，但图象变换为易错题难度较小，但图象变换为易错题2三角函数的性质是高考命题的热点内容，常三角函数的性质是高考命题的热点内容，常与图象一起进行考查，全国各地考题均有涉及，与图象一起进行考查，全国各地考题均有涉及，主要考查三角函数的周期性、奇偶性、单调性主要考查三角函数的周期性、奇偶性、单调性等问题，难度中等，多为客观性试题，也常常等问题，难度中等，多为客观性试题，也常常以解答题的形式综合考查三角恒等变换，函数以解答题的形式综合考查三角恒等变换，函数图象与性质图象与性质10 解析：选解析：选C

7、。函数。函数y=sinxy=sin(x- )y=xin( x- )向右平移向右平移 个单位长度个单位长度10 横坐标伸长到原来的横坐标伸长到原来的2倍倍纵坐标不变纵坐标不变10 12答案：答案：第第2讲三角变换与解三角形讲三角变换与解三角形要点知识整合要点知识整合3三角恒等变换的基本思路三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同化异为同”，“切化弦切化弦”，“1”的代换是三角的代换是三角恒等变换的常用技巧恒等变换的常用技巧“化异为同化异为同”是指是指“化异名为同名化异名为同名”，“化异次化异次为同次为同次”，“化异角为同角化异角为同角”(2)角的变换是三角变换的核心，如角的变换是三角变换的核心，如

8、()，2()()等等4已知两边及其一边的对角，判断三角形解的已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况情况以已知以已知a，b，A为例为例(1)当当A为直角或钝角时，若为直角或钝角时，若ab，则有一解；若，则有一解；若ab，则无解，则无解(2)当当A为锐角时，如下表：为锐角时，如下表：absinAabsinA bsinAaBCabcsinAsinBsinC.(3)abcosCccosB.已知三角函数值求值已知三角函数值求值热点突破探究热点突破探究【题后拓展题后拓展】对于条件求值问题，即由给出的某些对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键角的三角函数值，求另外

9、一些角的三角函数值，关键在于在于“变角变角”使使“目标角目标角”变换成变换成“已知角已知角”，若角，若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用拆角、拼角等技巧的运用已知三角函数值求角已知三角函数值求角【题后拓展】【题后拓展】(1)已知某些相关条件，求角的已知某些相关条件，求角的解题步骤：解题步骤：求出该角的范围；求出该角的范围；结合该角的范围求出该角的三角函数值结合该角的范围求出该角的三角函数值(2)根据角的函数值求角时，选取的

10、函数在这个根据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的范围内应是单调的正、余弦定理的应用正、余弦定理的应用【解解】(1)法一：法一：(2bc)cosAacosC0，由正弦定理，得由正弦定理，得(2sinBsinC)cosAsinAcosC0，2sinBcosAsin(AC)0，即，即sinB(2cosA1)0.解三角形与实际问题解三角形与实际问题 (本题满分本题满分12分分)(2010年高考江苏卷年高考江苏卷) 某兴趣小组要测量电视塔某兴趣小组要测量电视塔AE的高度的高度H(单位：单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度的高度h4 m，仰角，

11、仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组该小组已测得一组、的值，算出了的值，算出了tan1.24，tan1.20，请据此算出，请据此算出H的值；的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离调整标杆到电视塔的距离d(单位：单位：m)，使，使与与之差较大，可以提高测量精度，若电视之差较大，可以提高测量精度，若电视塔的实际高度为塔的实际高度为125 m，试问，试问d为多少时，为多少时，最大？最大？【思维拓展思维拓展】应用解三角形知识解决实际问题需要应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知

12、与所求，尤其分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案舍，得出正确答案3如图所示，上午如图所示，

13、上午11时在某海岛上一观察点时在某海岛上一观察点A测测得一轮船在海岛北偏东得一轮船在海岛北偏东60的的C处，处，12时时20分测分测得船在海岛北偏西得船在海岛北偏西60的的B处，处，12时时40分轮船到分轮船到达位于海岛正西方且距海岛达位于海岛正西方且距海岛5 km的的E港口，如果港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解：轮船从解：轮船从C到到B用时用时80分钟，从分钟，从B到到E用时用时20分钟，分钟，而船始终匀速前进，由此可见而船始终匀速前进，由此可见BC4EB，设，设EBx km，则，则BC4x km.由已知，得由已知，得BAE30，EAC15

14、0.在在AEC中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得【思维升华】【思维升华】本题巧妙地利用三角函数公式推出了本题巧妙地利用三角函数公式推出了tanAtanC的值，然后把的值，然后把tanA、tanC看作方程的根，看作方程的根，利用求根公式便可得出利用求根公式便可得出tanA、tanC的值的值方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程思想是对方程概念

15、的本质认识，要题获得解决方程思想是对方程概念的本质认识，要善于利用方程或方程观点观察处理问题善于利用方程或方程观点观察处理问题高考动态聚焦高考动态聚焦 从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1两角和与差的正、余弦公式是高考的重要考查内两角和与差的正、余弦公式是高考的重要考查内容，高考试题往往以考查考生利用这些公式进行恒等容，高考试题往往以考查考生利用这些公式进行恒等变换的技能和逻辑推理能力以及运算能力为主变换的技能和逻辑推理能力以及运算能力为主2对二倍角公式、半角公式的考查频率相对较对二倍角公式、半角公式的考查频率相对较高，重点考查学生利用这些

16、公式进行恒等变换的高，重点考查学生利用这些公式进行恒等变换的能力能力3正、余弦定理的简单应用正、余弦定理的简单应用4三角恒等变换及解三角形大都与向量结合在三角恒等变换及解三角形大都与向量结合在一起考查，考查形式既有选择、填空题，也有解一起考查，考查形式既有选择、填空题，也有解答题答题第第3讲平面向量讲平面向量要点知识整合要点知识整合(5)向量的投影：向量的投影：|b|cosa，b叫做向量叫做向量b在向量在向量a方方向上的投影向上的投影2向量的运算向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律应熟练掌握其运算规律(2)

17、平面向量数量积的结果是实数，而不是向量要平面向量数量积的结果是实数，而不是向量要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律平面向量的数量积不满足结合律与消去律ab的运的运算结果不仅与算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与的长度有关，而且也与a，b的夹的夹角有关，即角有关，即ab|a|b|cosa，b3两非零向量平行、垂直的充要条件两非零向量平行、垂直的充要条件若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则则ababx1y2x2y10.abab0 x1x2y1y20.平面向量的线性运算平面向量的线性运算热点突破探究热点

18、突破探究【答案】【答案】6(2)待定系数法：在向量等式的两边点乘任一向量，待定系数法：在向量等式的两边点乘任一向量，构造关于构造关于，的实系数方程组得解的实系数方程组得解1(2010年高考四川卷年高考四川卷)设点设点M是线段是线段BC的中点，点的中点，点A在直线在直线BC外，外， 216，| | |，则则| |()A8B4C2 D1AB ACAB ACAM BC 平面向量的数量积平面向量的数量积2已知平面内三个向量：已知平面内三个向量：a(3,12)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足求满足am bn c的实数的实数m，n；(2)若若(akc)(2ba)，求实数，求实数k.平面向量与三角函

19、数平面向量与三角函数【解】【解】(1)法一：法一：bc(cos1，sin)，则，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos)1cos1.0|bc|24，即，即0|bc|2.当当cos1时，有时，有|bc|2，所以向量，所以向量bc的长度的长度的最大值为的最大值为2.法二：法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当当cos1，sin0时，有时，有bc(2,0)，即，即|bc|2，所以向量所以向量bc的长度的最大值为的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得法一：由已知可得bc(cos1，sin)a(bc)coscossinsincoscos()cosa(bc)，a(bc)0，即，即co

20、s()cos.【题后拓展【题后拓展】向量与三角函数的综合，实质上向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性是借助向量的工具性(1)解这类问题的基本思路解这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；方法是将向量转化为代数运算；(2)常用到向量的常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想3(2009年高考江苏卷年高考江苏卷)设向量设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若若a与与b2c垂直，求垂直，求tan()的值；的值；(2)求求|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tantan16，求证：，求证：

21、ab.解：解：(1)由已知得由已知得b2c(sin2cos，4cos8sin)，因为因为a与与b2c垂直，所以垂直，所以a(b2c)4cossin8coscos4sincos8sinsin4sin()8cos()0，因此因此tan()2.(2)由由bc(sincos，4cos4sin)，平面向量与解析几何平面向量与解析几何【题后感悟【题后感悟】向量与解析几何都具有数形结合向量与解析几何都具有数形结合的特征，在它们的知识交汇处的命题通常涉及到的特征，在它们的知识交汇处的命题通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、长度等解决向量与夹角、平行、垂直、共线、长度等解决向量与解析几何相结合的问题，通常是用向量

22、的坐标运解析几何相结合的问题，通常是用向量的坐标运算把已知条件中的两向量平行、垂直、共线、长算把已知条件中的两向量平行、垂直、共线、长度等问题转化为解析几何中的条件，使问题坐标度等问题转化为解析几何中的条件，使问题坐标化、代数化、符号化，从而应用代数运算来处理化、代数化、符号化，从而应用代数运算来处理解析几何中的相关问题解析几何中的相关问题【题后感悟【题后感悟】本题由于直角顶点的位置不确定，本题由于直角顶点的位置不确定，需要分类讨论由图形的位置或形状变动引发的需要分类讨论由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变

23、动；函数图象形状的变动；直线由题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等点、线、面的位置变动等高考动态聚焦高考动态聚焦从近几年高考看，本讲高考命题具有以下特点：从近几年高考看，本讲高考命题具有以下特点：1对向量的加减运算及实数与向量的积的考查对向量的加减运算及实数与向量的积的考查向量的加减运算以及实数与向量的积是高考中常考常向量的加减运算以及实数与向量的积是高考中常考常新的问题，常以选择题的形式考查，特别是以平面几新的问题，常以选择题的形式考查，特别是以平面几何为载体综合考查向量加减法的几何意义，以及实数何为载体综合考查向量加减法的几何意义，以及实数与向量的积的问题经常出现在高考选与向量的积的问题经